Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên - Môn thi: Toán học

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên - Môn thi: Toán học

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH THUẬN NĂM HỌC 2021 - 2022 Đề chính thức Môn: TOÁN ( CHUYÊN) (30/5/2021) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871. 2xy 3 y2 7 (1) Bài 1 (2 điểm). Giải hệ phƣơng trình 22 x 3 y 2 xy 4 x 8 y 3 0 (2) Bài 2 (1 điểm). Gọi A là số tạo nên khi viết liên tục các số tự nhiên từ 1 đến 2021, nghĩa là A = 123 . . . 201920202021 1. Số A gồm bao nhiêu chữ số? 2. Chữ số thứ 2021 (theo chiều từ trái qua phải) của A là số nào? Bài 3 (1 điểm). Cho p, x, y là các số tự nhiên thỏa mãn px2 + x = (p + 1)y2 + y. Chứng minh rằng x−y là một số chính phƣơng. Bài 4 (2 điểm). Cho x, y, z là các số thực dƣơng thõa mãn điều kiện x + y + z = 3. 2zx 2 xy 2 yz Chứng minh rằng 1 x2 2 yz 3 y 2 2 zx 3 z 2 2 xy 3 Bài 5 (3 điểm). Cho đƣờng tròn tâm O, đƣờng kính AB. Trên đƣờng tròn lấy điểm D khác A và B sao cho ∠DAB > 600. Trên đƣờng kính AB lấy điểm C khác A, B và kẻ CH vuông góc với AD tại H. Phân giác trong của góc DAB cắt đƣờng tròn tại E (E khác A) và cắt CH tại F. Đƣờng thẳng DF cắt đƣờng tròn tại điểm thứ hai N. 1. Chứng minh ba điểm N, C, E thẳng hàng. 2. Cho AD = BC, chứng minh DN đi qua trung điểm AC. 1 1 1 1 Bài 6 (1 điểm). Ta viết lên bảng 2021 số:1; ; ; ; ; . Ta thực hiện thao tác: 2 3 4 2021 xóa ba số x, y, z bất kì trên bảng và viết lại trên bảng số x + y + z + xy + yz + zx + xyz. Ta tiếp tục thực hiện thao tác trên cho đến khi trên bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi đó là số nào? Lời giải. 2xy 3 y2 7 (1) Bài 1 (2 điểm). Giải hệ phƣơng trình 22 x 3 y 2 xy 4 x 8 y 3 0 (2) Lời giải. Biến đổi phƣơng trình thứ (2), ta đƣợc x2− 3y2− 2xy − 4x + 8y + 3 = 0⇔x2 − 2xy + y2 − 4x + 4y + 4 = 4y2 − 4y + 1
2. ⇔(x − y − 2)2 = (2y − 1)2 Suy ra x − y − 2 = 2y − 1 hoặc x − y − 2 = 1 − 2y. • Trƣờng hợp 1: x − y − 2 = 2y − 1, tức là x = 3y + 1. Thay vào phƣơng trình (1), ta đƣợc 2(3y + 1)y + 3y2= 7 ⇔ 9y2 + 2y − 7 = 0 ⇔ (y + 1)(9y − 7) = 0. * Khi y = −1, ta đƣợc x = −2. 7 10 * Khi y , ta đƣợc x 9 3 • Trƣờng hợp 2: x − y − 2 = 1 − 2y, tức là x + y = 3. Thay vào phƣơng trình (1), ta đƣợc 2(3 − y)y + 3y2 = 7 ⇔ y2 + 6y − 7 = 0 ⇔ (y − 1)(y + 7) = 0 * Khi y = 1, ta đƣợc x = 2. * Khi y = −7, ta đƣợc x = 10. Vậy hệ phƣơng trình có 4 cặp nghiệm là 10 7 (x, y) = (2; 1),(10; −7),(−2; −1), ; 39 Bài 2 (1 điểm). Gọi A là số tạo nên khi viết liên tục các số tự nhiên từ 1 đến 2021, nghĩa là A = 123 . . . 201920202021 1. Số A gồm bao nhiêu chữ số? 2. Chữ số thứ 2021 (theo chiều từ trái qua phải) của A là số nào? Lời giải 1. 1. Ta xét các trƣờng hợp sau đây • Từ 1 đến 9, khi viết liền nhau sẽ có tổng cộng 9 chữ số. • Từ 10 đến 99, khi viết liền nhau sẽ có tổng cộng 90 × 2 = 180 chữ số. • Từ 100 đến 999, khi viết liền nhau sẽ có tổng cộng 900 × 3 = 2700 chữ số. • Từ 1000 đến 2021, khi viết liền nhau sẽ có tổng cộng 1022 × 4 = 4088 chữ số. Nhƣ vậy số A sẽ gồm 9 + 180 + 2700 + 4088 = 6977 chữ số. 2. Vì 9 + 180 < 2021 < 9 + 180 + 2700, nên ta suy ra đƣợc chữ số thứ 2021 là một trong 3 chữ số cuối cùng của số B, đƣợc tạo ra khi ta viết liên tục các số tự nhiên từ 1 đến abc , tức là B = 123 . . . abc. Ta sẽ tìm thứ tự của abc trong các số có 3 chữ số (100 đƣợc đánh số thứ tự là 1 và 999 đƣợc đánh số thứ tự là 900) bằng cách: (2021 9 180) 2 Thứ tự củaabc : 610 33 Tức là = 611 + (100 − 1) = 710, mà do số đó chia 2 dƣ 3 nên chữ số thứ 2021 là 1. Lời giải 2 a/ Số chữ số mà ta viết đƣợc khi viết đến số 1999 là: 9+90×2+900×3+1000×4=189+2700+4000=6889 Khi viết từ số 2000 đến 2021 thì số chữ số viết đƣợc là :
3. (2021−2000+1)×4=88. Vậy số chữ số của A là : 6889+88=6977 b/ Số chữ số mà ta viết đƣợc khi viết đến số 99 là: 9+90×2=189 và còn lại số các số có 3 chữ số là : 2021 189 1832 =610 dƣ 2.Nhƣ vậy ta viết đến số: 33 99+610=709. Vậy chữ số thứ 2019 là chữ số 9 (của số 709) suy ra chữ số thứ 2021 là chữ số 11 của số 710. Bài 3 (1 điểm). Cho p, x, y là các số tự nhiên thỏa mãn px2 + x = (p + 1)y2 + y. Chứng minh rằng x−y là một số chính phƣơng. Lời giải. Ta thực hiện phép biến đổi nhƣ sau: px2 + x = (p + 1)y2 + y ⇔(px2 − py2) + (x − y) = y2⇔(x − y)(px + py + 1) = y2. Gọi p là ƣớc chung lớn nhất của x − y và px + py + 1. Hiển nhiên p 2 cũng là ƣớc là y2, hay p cũng là ƣớc nguyên tố của y. Do đó, ta có p|| x y p x p| px py 1 p | px py 1⇒ p | 1. Tức là ƣớc chung lớn nhất của x − y và p|| y p y px + py + 1 là 1, do đó x − y là số chính phƣơng. Bài 4 (2 điểm). Cho x, y, z là các số thực dƣơng thõa mãn điều kiện x + y + z = 3. 2zx 2 xy 2 yz Chứng minh rằng 1 x2 2 yz 3 y 2 2 zx 3 z 2 2 xy 3 Lời giải. Ta sẽ đi chứng minh x2 + 2yz + 3 2(xy + yz + zx). Thật vậy, ta có x2 + 2yz + 3 2(xy + yz + zx)⇔x2 + 3 2yz + 2zx ⇔3x2 + 3 2x2 + 2yz + 2zx ⇔3(x2 + 1) 2x(x + y + z)⇔3(x2 + 1) 6x (hiển nhiên đúng) Thực hiện các phép biến đổi tƣơng tự, ta cũng suy ra đƣợc y2 + 2zx + 3 2(xy + yz + zx) và z2 + 2xy + 3 2(xy + yz + zx). Khi đó, ta sẽ 2zx 2 xy 2 yz đƣợc x2 2 yz 3 y 2 2 zx 3 z 2 2 xy 3 2zx 2 xy 2yz 1. Vậy ta có điều phải 222 xy yz zx xy yz zx xy yzz x chứng minh. Bài 5 (3 điểm). Cho đƣờng tròn tâm O, đƣờng kính AB. Trên đƣờng tròn lấy điểm D khác A và B sao cho ∠DAB > 600. Trên đƣờng kính AB lấy điểm C khác A, B
4. và kẻ CH vuông góc với AD tại H. Phân giác trong của góc DAB cắt đƣờng tròn tại E (E khác A) và cắt CH tại F. Đƣờng thẳng DF cắt đƣờng tròn tại điểm thứ hai N. 1. Chứng minh ba điểm N, C, E thẳng hàng. 2. Cho AD = BC, chứng minh DN đi qua trung điểm AC. Lời giải 1. 1. Ta có ∠DNE = ∠DAE = ∠EAB. Do đó để chứng minh N, C và E thẳng hàng, ta sẽ chứng minh góc ∠DNC = ∠DNE, hay là ∠F NC = ∠F AC, tức là chứng minh tứ giác ANCF nội tiếp.Thật vậy, do CH k BD nên ∠F CA = ∠ABD = ∠ANF. Vậy ta có điều phải chứng minh. 2. Kẻ CX // AD với X ∈ DN, ta sẽ chứng minh ADCX là hình bình hành, tức là đi chứng minh AD = CX (do AD k CX). Ta có ∠ACX = ∠DAB = ∠DNB. Suy ra tứ giác NXCB nội tiếp, mà ta lại có ∠XNC = ∠CNB, suy ra CX = CB = AD. Vậy ta có điều phải chứng minh. Lời giải 2. 1. Ta có HC//DB=> ∠ACF=∠ABD=∠AND=∠ANF => AFCN nội tiếp=> ∠FAC=∠FNC=> ∠EAB=∠DNC. Mà ∠EAB=∠DNE(gt) => ∠DNC=∠DNE => đpcm 2. Gọi I là trung điểm của AC, F' là điểm giao điểm của DI và AE, CF' cắt AD tại HFHAHFHA'''''' H'. Vẽ hình bình hành CLAF'. Ta có : (tính chất phân CF' AC LA AC HFHD''' HAHD'' giác). Mà (Thales) . Ta lại có: AD=CB (gt) CF' AD CA AD HAHD'' => CH′//DB mà DB⊥AD=> CH′⊥AD=> đpcm CA CB
5. 1 1 1 1 Bài 6 (1 điểm). Ta viết lên bảng 2021 số:1; ; ; ; ; . Ta thực hiện thao tác: 2 3 4 2021 xóa ba số x, y, z bất kì trên bảng và viết lại trên bảng số x + y + z + xy + yz + zx + xyz. Ta tiếp tục thực hiện thao tác trên cho đến khi trên bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi đó là số nào? Lời giải Ta đặt 1 1 1 P (1 1)(1 )(1 ) (1 ) .Ta sẽ chứng minh đại lƣợng này là bất biến khi 2 3 2021 ta thay 3 số x, y, z bất kì thành x+y+z+xy+yz+zx+xyz. Thật vậy, đó là điều hiển nhiên do ta có biến đổi sau(x + 1)(y + 1)(z + 1) = x + y + z + xy + yz + zx + 1. Mặt 3 4 2022 khác, ta cũng tính đƣợc P 2. . 2022. Khi đó, ta gọi x là số cuối cùng 2 3 2021 còn lại trên bảng, hiển nhiên ta có P = x + 1 = 2022. Vậy số cuối cùng còn lại là 2021.