Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong môn Toán - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Nam Định (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong môn Toán - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Nam Định (Có đáp án)

1. Tên : Trương Quang An Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776.Nguồn gốc :sưu tầm đề và tự tay gõ đáp án Đề thi vào 10 chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định Năm học 2018-2019 Đề chuyên - Dành cho học sinh thi vào chuyên toán Thời gian: 150 phút Câu 1: x2 y 2 x 2 y 2 a) Rút gọn biểu thức: P (x y )(1 y ) ( x y )(1 x ) (1 x )(1 y ) 1 1 1 1 1 1 b) Chứng minh rằng: 1 1 1 2018 12 2 2 2 2 3 2 2017 2 2018 2 Câu 2: a) Giải phương trình: 2 1 x x22 2 x 1 x x 1 x 3 y 2 y ( x y 1) x 0 b) Giải hệ phương trình: 4y 2 3 8 x x 14 y 8 y 11 Câu 3: Cho đoạn thẳng AB và C là điểm nằm giữa hai điểm A,B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn đường kính BC(M ≠ B,M ≠ C). Kẻ MH vuông góc với BC(H∈BC), đường thẳng MH cắt nửa đường tròn đường kính AB tại K. Hai đường thẳng AK và CM giao nhau tại E a) Chứng minh BE2 BC. BA. b) Từ C kẻ CN vuông góc với AB(N thuộc nửa đường tròn đường kính AB), gọi P là giao điểm của NK và CE. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác BNE và PNE cùng nằm trên đường thẳng BP. c) Cho BC=2R. Gọi OO12, lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác MCH và MBH. Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác O12 HO lớn nhất. Câu 4: a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x22 5 y 41 2 xy b) Có bao nhiêu số tự nhiên n không vượt quá 2019 thỏa mãn n3 2019 chia hết cho 6 Câu 5: a) Cho a,b > 0 thỏa mãn ab 1 . 1 Chứng minh rằng: 3(a b )(2 a b )4 ab (3)(3) a b b a 2 b) Cho 100 điểm trên mặt phẳng sao cho trong bất kỳ bốn điểm nào cũng có ít nhất ba điểm thẳng hàng. Chứng minh rằng ta có thể bỏ đi một điểm trong 100 điểm đó để 99 điểm còn lại cùng thuộc một đường thẳng.
2. Câu 4: a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x2 5 y 2 41 2 xy x 2 ( x y ) 2 4 y 2 41 b) Có bao nhiêu số tự nhiên n không vượt quá 2019 thỏa mãn n3 2019 chia hết cho 6 n33 2019 6 ( n n ) ( n 2019) 6 n 2019 6 .Ta có 2019 3(mod6) nn  3(mod6) 3 2019 và n 3;9;15; ;2019.Nên suy ra có 337 số n thỏa đề . Câu 2: a)Giải phương trình: 21 x x2 21 x x x 2 1(1 x x 2 21)(1) x 2 x 2 Câu 5: a) Cho a,b > 0 thỏa mãn ab 1 . 1 Chứng minh rằng: 3(a b )(2 a b )4 ab (3)(3) a b b a 2 1a 3 b b 3 a (a 3 b )( b 3 a ) a b .Mà 24 a b 1 2 ab 1 a b 4 ab (1 a b )2 .Nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 3(a b )(12 a b ) 2 2( a b ) (2 a 21) b 2 0 (luôn đúng). Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh. x 3 y 2 y ( x y 1) x 0(1) Giải hệ phương trình: 4y 2 3 8 x x 14 y 8(2) y 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2018 12 2 2 2 2 3 2 2017 2 2018 2 2 1 1 1 1 1 1 Ta có abc 0 2 2 2 .Thật vậy ta có a b c a b c 2 111 1112(abc )111 2 2 2 2 2 2 (đpcm).Khi đó ta có abc abc abc abc 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 1 1 1 .Nên tương tự ta có : 12 2 2 1 2 ( 2) 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 3 2 2017 2 2018 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2018 2018 1 2 2 3 2017 2018 2018 câu 3. a. Chứng minh được BMKE nội tiếp. suy ra BEC= BKC BAE BE2 BC . BA. b. Theo hệ thức lượng BE22 BC. BA BN kết hợp với BNP= BAP BEP →đpcm. 1 c. POOOHOHPP max khi P max tức là C là điểm chính O1 HO 21 2 1 2 2 CAB O 1 HO 2 CAB giữa nửa đường tròn đường kính BC.
3. Xét ΔABC với A,B,C là 3 trong 100 điểm đã cho. Nếu lấy điểm thứ tư D thì D nằm trên đường thẳng AB,BC hoặc CA. Giả sử D nằm trên BC. Nếu lấy điểm thứ năm E thì E phải nằm trên đường thẳng BC. Thật vậy, nếu E nằm trên AB thì trong 4 điểm A,D,C,E không có 3 điểm nào thẳng hàng. Nếu E nằm trên AD thì trong 4 điểm A,B,C,E không có 3 điểm nào thẳng hàng Nếu E nằm trên AC thì trong 4 điểm A,D,B,E không có 3 điểm nào thẳng hàng Tương tự ta chứng minh được 95 điểm còn lại đều thuộc đường thẳng BC. Cho nên nếu bỏ đi điểm A thì 99 điểm còn lại đều thuộc đường thẳng BC