Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2018-2019 - Trường THPT năng khiếu

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2018-2019 - Trường THPT năng khiếu

1. TOANTH.NET ĐỂ TOÁN CHUYÊN TUYỂN SINH VÀO 10 PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU NĂM 2018 – 2019 Bài 1. (1,5 điểm) Cho các phương trình x2 x m 0 (1) và mx2 x 1 0 (2) với m là tham số. a) Tìm m để các phương trình (1) và (2) đều có 2 nghiệm dương phân biệt. b) Giả sử điều kiện ở câu a) được thỏa mãn, gọi x1 , x2 là nghiệm của (1) và x3 , x4 là nghiệm của (2). Chứng minh rằng xxx123 xxx 234 xxx 341 xxx 412 5. Bài 2. (2,0 điểm) Cho a, b là hai số nguyên thỏa mãn a 3 + b 3 > 0. a) Chứng minh rằng a3 b 3 ab 0. b) Chứng minh rằng a3 b 3 a 2 b 2 . c) Tìm tất cả các bộ số x, y, z, t nguyên sao cho x3 y 3 z 2 t 2 và z3 t 3 x 2 y 2 . n n n n Bài 3. (2,0 điểm) Cho A n = 2018 + 2032 – 1964 – 1984 với n là số tự nhiên. a) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì A n chia hết cho 51. b) Tìm tất cả những số tự nhiên n sao cho A n chia hêt cho 45. Bài 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Một đường tròn qua B, C cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E và F; BF cắt CE tại D. Lấy điểm K sao cho tứ giác DBKC là hình bình hành. a) Chứng minh rằng Δ KBC đồng dạng với Δ DFE, Δ AKC đồng dạng với Δ ADE. b) Hạ DM vuông góc với AB, DN vuông góc với AC. Chứng minh rằng MN vuông góc với AK. c) Gọi I là trung điểm AD, J là trung điểm MN. Chứng minh rằng đường thẳng IJ đi qua trung điểm của cạnh BC. d) Đường thẳng IJ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN tại T (T I). Chứng minh rằng AD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DTJ. Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q10 1
2. TOANTH.NET Bài 5. (1,5 điểm) Đội văn nghệ của một trường THCS có 8 học sinh. Nhà trường muốn thành lập các nhóm tốp ca, mỗi nhóm gồm đúng 3 học sinh (mỗi học sinh có thể tham gia vài nhóm tốp ca khác nhau). Biết rằng hai nhóm tốp ca bất kỳ có chung nhau nhiều nhất là một học sinh. a) Chứng minh rằng không có học sinh nào tham gia từ 4 nhóm tốp ca trở lên. b) Có thể thành lập được nhiều nhất là bao nhiêu nhóm tốp ca như vậy? GỢI Ý GIẢI. Bài 1. (1,5 điểm) Cho các phương trình x2 x m 0 (1) và mx2 x 1 0 (2) với m là tham số. a) Tìm m để các phương trình (1) và (2) đều có 2 nghiệm dương phân biệt. b) Giả sử điều kiện ở câu a) được thỏa mãn, gọi x1 , x2 là nghiệm của (1) và x3 , x4 là nghiệm của (2). Chứng minh rằng xxx123 xxx 234 xxx 341 xxx 412 5. Giải. a) 1 1 4m 0 1 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dương S1 1 0 0 m 4 P1 m 0 m 0 1 4m 0 1 1 Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương 1 0 m P2 0 m 4 1 S 0 2 m 1 Vậy để phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm dương phân biệt thì 0 m 4 1 1 b) Theo Viet ta có: xx 1; xxmxx ; ; xx 12 12 34m 34 m xxx123 xxx 234 xxx 341 xxx 412 xxx 123 x 4 xxx 341 x 2 Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q10 2
3. TOANTH.NET 11 1 1 m 1 1 5 m m m 1 4 Ta có thể giải cách khác như sau. Với điều kiện câu a) Giả sử a là nghiệm dương của (1), tức là a2 a m 0 2 11 11 1 1m 2 0 m 10 tức là t sẽ là nghiệm của (2). aa aa a 1 1 Khi đó gọi x1, x 2 là nghiệm dương của (1) thì x3; x 4 là các nghiệm dương của (2) x1 x 2 1 1 Khi đó xxxxxxxxx x x x x xxx 1 1 5 123 234 341 412 1 2 3 4 m 1 4 Bài 2. (2,0 điểm) Cho a, b là hai số nguyên thỏa mãn a 3 + b 3 > 0. a) Chứng minh rằng a3 b 3 ab 0. b) Chứng minh rằng a3 b 3 a 2 b 2 . c) Tìm tất cả các bộ số x, y, z, t nguyên sao cho x3 y 3 z 2 t 2 và z3 t 3 x 2 y 2 . Giải. a) ab3 3 0 ab , không đồng thời bằng 0. a33 b aba 2 abb 2 0 2 2 2 2 b 3 b mà ta có: a abb a 0 với mọi a, b không đồng thời bằng 0 2 4 nên suy ra a b 0 Theo trên a2 ab b 2 0 mà a2 ab b 2 ℤ (vì a, b ℤ ) a2 abb 2 1 a 2 abb 2 1 0 Ta có: abaabb 22 1 0 abaabb 22 ab abab 33 Vậy a3 b 3 ab 0 Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q10 3
4. TOANTH.NET b)Vì a b 0 và a b là số nguyên Nếu ab 1 a 1 b Khi đó ab33 1 bb 3 3 13312 bb 2 bb 22 2 bb 1 b 2 b22 bbab 222 bb Ta có : bbbb2 1 0 b 0 hoặc b 1 . Do đó b2 b 0 với mọi số nguyên b Do đó ta có: abab33222 bbab 22 Nếu a b 2 ta có: ab33 abaabb 2 22 2 aabb 222 ab ab 2 ab 22 c) x3 y 3 z 2 t 2 và z3 t 3 x 2 y 2 Ta có x3 y 3 z 2 t 2 0 và z3 t 3 x 2 y 2 0 z t 0 x2 y 2 z 3 t 3 0 Nếu x3 y 3 z 2 t 2 0 x y z t 0 3 3 3 3 x y 0 x y 0 Tương tự nếu zt3 3 0 xyzt 0 x3 y 3 0 x3 y 3 x 2 y 2 Nếu theo trên ta có: xyzt3 333 xyzt 2 222 3 3 3 3 2 2 z t 0 z t x y Mà theo giả thiết xyzt3 333 xyzt 2 223 x3 y 3 x 2 y 2 Do đó điều kiện dấu “ = “ xảy ra, tức là 3 3 2 2 z t z t Vì xy3 3 0 xy 0 Nếu xy 1 x 1 y khi đó 33223 3 2 22 y 0 x 1 xyxy 1 yy 1 yyyy 0 y 1 x 0 Nếu x y 2 Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q10 4
5. TOANTH.NET xy33 xyxxyy 2 22 2 xxyy 222 xy xy 2 xy 22 3 3 2 2 x y 0 x y x y (loại x y 0 ) x y 1 Do đó ta có : xy3 3 x 2 y 2 xy; 1;0 , 0;1 , 1;1  Tương tự zt3 3 zt 2 2 zt; 1;0 , 0;1 , 1;1  Vậy x; y ; zt ; cần tìm 0;0;0;0 , 1;0;1;0 , 1;0;0;1 , 0;1;1;0 , 0;1;0;1 , 1;1;1;1 n n n n Bài 3. (2,0 điểm) Cho A n = 2018 + 2032 – 1964 – 1984 với n là số tự nhiên. a) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì A n chia hết cho 51. b) Tìm tất cả những số tự nhiên n sao cho A n chia hêt cho 45. Giải. nnnn nn nn An 2018 2032 1964 1984 2018 1984 2032 1964 Ta có: 2018n 1984 n ⋮ 2018 1984 hay 2018n 1984 n ⋮ 34 2032n 1964 n ⋮ 2032 1964 hay 2032n 1964 n ⋮ 68 ⋮ Vậy An 17 nnnn nn nn Mặc khác : An 2018 2032 1964 1984 2018 1964 2032 1984 2018n 1964 n ⋮ 2018 1964 hay 2018n 1964 n ⋮ 54 2032n 1984 n ⋮ 2032 1984 hay 2032n 1984 n ⋮ 48 ⋮ Vậy An 3 ⋮ Vì 3;17 1 An 51 ⋮ b)Tìm n để An 5 2018n 2n mod5,2032 nnn  2 mod5,1964  1n mod5,1984 n  1 n mod5 Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q10 5
6. TOANTH.NET nn n do đó An  2 2 2. 1 mod5 Nếu n 4 k A n  0 mod5 n 4 k 1 A n  2 mod5 4k n 4 k 2 A n 8.2  2 6 mod5 n 4 k 3 A n  2mod5 ⋮ Vậy An 5 n 4 k ⋮ Tìm n 4 k để An 9 nn nnn n nn An  2 2 2 4mod9  2 4mod9  2 4mod9 (vì n 4 k là số chẵn)  24k 4 4 k mod9  2 k 1mod9 Nếu k 3 m n 12 m thì An  0 mod9 Nếu k 3 m 1 thì An  3 mod9 Nếu k 3 m 2 A n  3 mod9 ⋮ ⋮ Vậy An 45 n 12 m hay n 12 Bài 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Một đường tròn qua B, C cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E và F; BF cắt CE tại D. Lấy điểm K sao cho tứ giác DBKC là hình bình hành. a) Chứng minh rằng Δ KBC đồng dạng với Δ DFE, Δ AKC đồng dạng với Δ ADE. b) Hạ DM vuông góc với AB, DN vuông góc với AC. Chứng minh rằng MN vuông góc với AK. c) Gọi I là trung điểm AD, J là trung điểm MN. Chứng minh rằng đường thẳng IJ đi qua trung điểm của cạnh BC. d) Đường thẳng IJ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN tại T (T I). Chứng minh rằng AD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DTJ. Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q10 6
7. TOANTH.NET Giải. a) Xét tam giác KBC và tam giác DFE ta có: BKC BDC EDF và BCK CBD DEF Do đó tam giác KBC đồng dạng tam giác DFE. CB CK Ta có : KBC đồng dạng DFE EF ED CB AC AEF đồng dạng ACB EF AE CK AC CK ED Do đó ED AE CA EA Ta lại có : KCA KCB BCA FEC FEA DEA Do đó CKA đồng dạng EDA b) Ta có từ giác AMDN nội tiếp đường tròn đường kính AD MNA ADM Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q10 7
8. TOANTH.NET Mà CAK MAD ( vì CKA đồng dạng EDA ) 0 Do đó : MNA CAK MDA EAD 90 MN AK c) Gọi O là trung điểm BC I là trung điểm AD nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMDN J là trung điểm của dây cung MN nên IJ là trung trực của MN hay IJ MN Xét tam giác DAK ta có : I là trung điểm AD, O là trung điểm BC nên IO là đường trung bình tam giác DAK IO/ / AK , mà AK MN IO  MN Ta có: IJ MNIO,  MN IJO , , thẳng hàng. d) Xét tứ giác IMTN nội tiếp đường tròn ITN IMN Vì IJ là trung trực của MN MIT TIN 0 Ta có: 90 MIJ IMN TIN ITN INT vuông tại N. IN IT Ta có : IJN đồng dạng INT IN2 IJ. IT IJ IN Mà IN = ID nên ID2 IJ. IT Khi đó IDJ đồng dạng ITD IDJ ITD ID là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác DTJ hay AD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác DTJ. Bài 5. (1,5 điểm) Đội văn nghệ của một trường THCS có 8 học sinh. Nhà trường muốn thành lập các nhóm tốp ca, mỗi nhóm gồm đúng 3 học sinh (mỗi học sinh có thể tham gia vài nhóm tốp ca khác nhau). Biết rằng hai nhóm tốp ca bất kỳ có chung nhau nhiều nhất là một học sinh. a) Chứng minh rằng không có học sinh nào tham gia từ 4 nhóm tốp ca trở lên. b) Có thể thành lập được nhiều nhất là bao nhiêu nhóm tốp ca như vậy? giải. a)Giả sử có bạn a tham gia 4 nhóm N1; N 2 ; N 3 ; N 4 vì hai nhóm bất kì chỉ có nhiều nhất một bạn chung nên ta có thể giả sử Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q10 8
9. TOANTH.NET Naxy1 ;;, 11 Naxy 2 ;;, 22 Naxy 3 ;;, 33 Naxy 4 ;; 44 Trong đó xxxxyyyy123412,,,,,,, 34 là các bạn học sinh phân biệt. Khi đó ta có nhiều hơn 8 học sinh (mâu thuẩn giả thiết). b)Ta chứng minh có nhiều nhất 8 nhóm. Giả sử có 9 nhóm . Khi đó số lần tham dự vào nhóm của các bạn là 9.3 = 27 Mà có tất cả 8 học sinh, nên theo đirichlet thì có một học sinh tham giá ít nhất 4 lần (điều này mâu thuẩn câu a)). Do đó không thể có 9 nhóm. Ta chỉ ra một cách chia 8 bạn xxxxxxxx12345678,,,,,,, thành 8 nhóm như sau: xxx123;;,;;,;; xxx 145 xxx 167 ,;; xxx 246 ,;;,;; xxx 258 xxx 357 ,;;,;; xxx 368 xxx 478 Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q10 9