Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2018-2019 - Đại học Quốc gia Hồ Chí Minh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2018-2019 - Đại học Quốc gia Hồ Chí Minh (Có đáp án)

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2018 – 2019 HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN ( KHÔNG CHUYÊN) Thời gian làm bài 120 phút Bài 1. (1 điểm) Biết 0 x y và 2 2 x y x y y x 5 x . Tính : x y x y 2 x 2y x x y y x y 3 y Bài 2. (2 điểm) 2x2 7 x a) Giải phương trình : x x 7 3 x x 3 x 1 y 2 x 3 b) 2 2 x 1 y 5y 8 y 2 Bài 3. ( 2 điểm) Cho phương trình x2 – x + 3m – 11 = 0 (1) a) Với giá trị nào của m thì phường trình (1) có nghiệm kép? Tính nghiệm đó. b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho 2017 x1 + 2018x2 = 2019. Bài 4 ( 2 điểm) a) Đầu tháng 5 năm 2018 khi đang vào vụ thu hoạch giá dưa hấu bất ngờ giảm mạnh.Nông dân A cho biết vì sợ dưa hỏng nên phải bán 30% số dưa hấu thu hoạch với giá 1500đ/kg. sau đó nhờ phong trào “ giải cứu dưa hấu” nên đã may mắn bán hết số dưa còn lại với giá 3500đ/kg. Nếu trừ tiền đầu tư thì lãi được 9 triệu đồng( không kể công chăm sóc hai tháng của cả nhà). Cũng theo ông nông dân A, mỗi sào dưa hấu đầu tư ( hạt giống, phân bón ) hết 4 triệu đồng và thu hoạch được 2 tấn dưa hấu.Hỏi Ông nông dân A trồng bao nhiêu sào dưa hấu? b) Một khu đất hình chữ nhật ABCD ( AB BC. Dựng CK vuông góc với AD ( K thuộc AD) CK cắt BD tại H và cắt (T) tại E ( E khác C). a) Tính số đo góc COD. CHứng minh các điểm I; C; D và K cùng thuộc một đường tròn. Và AC = BD. b) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHE. Tính IK theo R. c) IK cắt AB tại F. Chứng minh O là trực tâm của tam giác AIK và CK. CB = CF. CD. Hết
2. BÀI GIẢI THAM KHẢO Bài 1. (1 điểm) Biết 0 x y và 2 2 x y x y y x 5 x . Tính : x y x y 2 x 2y x x y y x y 3 y Giải : 2 2 x y x y y x 5 x y x y 2 x 2y x x y y x y 3 x 2 xy y x 2 xy y y y x x 5 x y 2x 4y xy x y 3 3 3 y x y x x xy y 2x 2y 5 2 x y 5 3x 3y xy x y 3 3 x y xy x y 3 2 x xy y 5 x xy y 1 x xy y xy x 2 xy y 0 3 xy 3 xy 2 x x y 0 x y x y t 1 y Bài 2. (2 điểm) 2x2 7 x x 3 x 1 y 2 x 3 a) Giải phương trình : x x 7 ; b) 2 2 3 x x 1 y 5y 8 y 2 2x2 7 x Giải : a) Giải phương trình : x x 7 ( đk: x ≤ 3) 3 x 2x2 7 x x x 7 2x2 7 x x x 7 3 x 3 x 2x2 7 x x x 7 3 x 0 2x2 7 x x 7 x 3 x 0 x 7 x 2 3 x 0 x 0 x 7 x 0 Vì :2 3 x 0 x 7 x = 7 ( loại) vậy phương trình có nghiệm S = { 0 };
3. x 3 x 1 y 2 x 3 1 b) 2 2 x 1 y 5y 8 y 2 2 từ (2) điều kiện x – 1 0  x 1 từ (1) (x + 3)(x – 1) = (y – 2)(x + 3) (x + 3)(x – 1) – (y – 2)(x + 3) = 0  (x + 3) [(x – 1) – (y – 2)] = 0 => x = – 3(loại) hoặc x – 1 = y – 2. + Với: x – 1 = y – 2 , ta được : x 1 y 2 5y 8 y 2 2 y 2 y 2 5y 8 y 2 2 y 2 y 2 5y 8 y 2 2 0 y 2 ( y 2 5y 8 ( y 2)) 0 y 2 y 2 5y 8 y 2 + Với y = 2 => x = 1 ( thỏa điều kiện) + Với : y 2 5y 8 y 2 y 2 5y 8 y 2 4y 4 y 4 + Với : y = 4 => x = 3. Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (1;2); (5;4) Bài 3. ( 2 điểm) Cho phương trình x2 – x + 3m – 11 = 0 (1) a) Với giá trị nào của m thì phường trình (1) có nghiệm kép? Tính nghiệm đó. b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho 2017 x1 + 2018x2 = 2019. Giải : a) Xét phương trình x2 – x + 3m – 11 = 0 (1) Ta có: = b2 – 4ac = (– 1)2 – 4.1.(3m – 11) = 1 – 12m + 44 = 45 – 12m Để phương trình có nghiệm kép thì = 0  45 – 12m = 0  m = 15/4. Khi đó nghiệm kép của phương trình là: x1 = x2 = ½ . b) Trong trường hợp phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì > 0  m < 15/4 theo định lý Vi – et, ta được : x1 + x2 = 1 và x1.x2 = 3m – 11 theo đề: 2017x1 + 2018 x2 = 2019  2017(x1 + x2) + x2 = 2019  2017.1 + x2 = 2019  x2 = 2. Vậy phương trình có 1 nghiệm bằng 2 Suy ra: 22 – 2 + 3m – 11 = 0  3m = 9  m = 3 ( thỏa điều kiện m < 15/4) Vậy m = 3.
4. Bài 4 ( 2 điểm) a) Đầu tháng 5 năm 2018 khi đang vào vụ thu hoạch giá dưa hấu bất ngờ giảm mạnh.Nông dân A cho biết vì sợ dưa hỏng nên phải bán 30% số dưa hấu thu hoạch với giá 1500đ/kg. sau đó nhờ phong trào “giải cứu dưa hấu” nên đã may mắn bán hết số dưa còn lại với giá 3500đ/kg. Nếu trừ tiền đầu tư thì lãi được 9 triệu đồng( không kể công chăm sóc hai tháng của cả nhà). Cũng theo ông nông dân A, mỗi sào dưa hấu đầu tư ( hạt giống, phân bón ) hết 4 triệu đồng và thu hoạch được 2 tấn dưa hấu. Hỏi Ông nông dân A trồng bao nhiêu sào dưa hấu? b) Một khu đất hình chữ nhật ABCD ( AB 0) Số dưa hấu thu hoạch là: 2000x( kg) Số tiền bán dưa với giá 1500 / kg là: 30%.2000x.1500 = 900 000x ( đồng) Số tiền bán dưa với giá 3500 / kg là: 70%.2000x.3500 = 4 900 000x ( đồng) Số tiền đầu tư là: 4 000 000x ( đồng) ta được phương trình: 900 000x + 4 900 000x – 4 000 000x = 9 000 000  1 800 000 x = 9 000 000  x = 5(thỏa diều kiện) Đáp số : Nông dân A trồng 5 sào dưa hấu. b) Gọi chiều rộng và chiều dài của khu đất là x mét và y mét ( 0 MD = 60 mét. B C Vậy chu vi của vường thả bằng: 2.(40 + 60) = 200 mét. N
5. Bài 5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (T( tâm O, bán kính R; C· AD 450 , AC vuông góc với BD và cắt BD tại điểm I, AD > BC. Dựng CK vuông góc với AD ( K thuộc AD) CK cắt BD tại H và cắt (T) tại E ( E khác C). a) Tính số đo góc COD. Chứng minh các điểm I; C; D và K cùng thuộc một đường tròn. Và AC = BD. b) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHE. Tính IK theo R. c) IK cắt AB tại F. Chứng minh O là trực tâm của tam giác AIK và CK. CB = CF. CD. A a) + Xét đường tròn (T) có tâm là O, ta có: C· OD = 2.C· AD 2.450 900 B + Xét tứ giác DKIC, có: C· KD = C· ID 900 O F Suy ra: tứ giác DKIC nội tiếp được 1 đường tròn (đlý) I 0 E + Ta có: tam giác AID vuông tại I có Â = 45 K H suy ra: AID vuông cân tại I => IA = ID. D C Chứng minh tương tự: tam giác CIB vuông cân tại I suy ra: IB = ID => IA + IC = IB + ID  AC = BD. b) Chứng minh tương tự ta được tam giác AKC vuông cân tại K · 0 · 0 ACK 45 HCB 90 suy ra tam giác BCH vuông cân tại C, mà CI là đường cao suy ra: CI là đường trung trực của HB, Chứng minh tương tự ta cũng được tam giác EDH vuông cân tại D và DK là đường trung trực của EH. Suy ra A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHE. + Do góc ECB vuông nên BE là đường kính của đường tròn (T) => BE = 2R + Ta có: IK là đường trung bình của tam giác BHE => IK = ½ BE => KI = R. c) + Do tam giác BAE vuông cân tại A => AO là trung trực của BE, suy ra: AO vuông góc với BE => AO vuông góc IK( Do IK // BE). + Xét BHE, có: HI = IB (do AC là trung trực của BH) và OB = OE = R suy ra: IO là đường trung bình của tam giác BHE => OI // HE mà HE  AD => OI  AD hay OI  AK + Xét tam giác AKI có AO và OI là các đường cao, vậy O là trực tâm của tam giác AKI. · · + Xét đường tròn (T), có :BAC BDC · · + Do Tứ giác DKIC nội tiếp ( cmt) => FKC BDC · · + Suy ra tứ giác AKCF nội tiếp => DKC BFC ( góc ngoài của tứ giác nội tiếp) · · + Ta có tứ giác ABCD nội tiếp => KDC FBC ( góc ngoài của tứ giác nội tiếp) · · · · + Xét KDC và BFC, có: DKC BFC và KDC FBC KC DC KC.BC KC.DC Suy ra: KDC đồng dạng FBC => FC BC ( đpcm) Hết Đề toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, trên đây chỉ là bài giải tham khảo.