Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2013-2014 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2013-2014 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

1. Đề thi lớp 10 thanh hoá năm học : 2013 – 2014 Môn : Toán Ngày thi : 12/07/2013 Mã đề : A Bài 1 (2,0 điểm) : 1/ Cho phương trình bậc hai : x2 + 3x – 4 = 0 với các hệ số a = 1 ; b = 3 ; c = -4 a/ Tính tổng : S = a + b + c b/ Giải phương trình trên x 2y 3 2/ Giải hệ phương trình : 3x 2y 1 1 1 x 1 Bài 2 (2,0 điểm) : Cho biểu thức : P : (Với x > 0; x ≠ 1) x x x 1 x 2 x 1 a/ Rút gọn biểu thức P b/ Tính giá trị của biểu thiức P khi x 3 2 2 Bài 3 (2,0 điểm) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = 2ax + 1 và Parabol (P) : y = -2x2 a/ Tìm a để đường thẳng (d) đi qua điểm A(1 ; 5) b/ Tìm a để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt 2 2 là x1; x2 thoả mãn điều kiện x1 + x2 + 4(x1 + x2) + 4 = 0 Bài 4 (3,0 điểm) : Cho (O;R) đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC ( M khác A và C), BM cắt AC tại H; kẻ HK vuông góc với AB ( K thuộc AB). a/ Chứng minh tứ giác CBKH nội tiếp b/ Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh rằng tam giác MCE vuông cân c/ Gọi (d) là tiếp tuyến của (O) tại điểm A. Lấy P là điểm nằm trên (d) sao cho hai điểm P và C nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB và AP.MB = MA.OB. Chứng minh rằng , đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK Bài 5 (1,0 điểm) : Cho x, y, z là ba số thực dương thoả mãn : xy + yz + zx ≥ 3 x4 y4 z4 3 Chứng minh rằng : y 3z z 3x x 3y 4 Hết
2. Lời giải và thang điểm Bài Nội dung Điểm 1/ a/ Ta có : S = a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 0.5 b/ Vì a + b + c = 0. Nên phương trình có hai nghiệm c 4 0.5 x 1 và x 4 Câu 1 1 2 a 1 2.0đ 2/ x 2y 3 4x 4 x 1 x 1 0.75 3x 2y 1 x 2y 3 1 2y 3 y 1 x 1 0.25 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhât : y 1 Câu 2 a/ Rút gọn biểu thức P 2.0đ 1 1 x 1 1 1 x 1 P : : 2 x x x 1 x 2 x 1 x x 1 x 1 x 1 1.0 2 1 x x 1 1 x x 1 x 1 P : 2 . x x 1 x 1 x x 1 x 1 x b/ Tính giá trị của biểu thiức P khi x 3 2 2 2 2 Ta có : x 3 2 2 2 1 x 2 1 2 1 x 1 2 1 1 2 2 => P 2 1.0 x 2 1 2 1 Vậy với x 3 2 2 thì P = 2 Câu 3 a/ Để đường thẳng (d) đi qua điểm A(1 ; 5) => x = 1 thì y = 5, thay 2.0 đ vào đường thẳng (d) ta có 5 = 2a.1 + 1 => 2a = 4 => a = 2 1.0 Vậy với a = 2 thì đường thẳng (d) đi qua điểm A(1 ; 5) b/ Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của phương trình : -2x2 = 2ax + 1 1.0 2x2 + 2ax + 1 = 0 (1) + Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì
3. phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt => ’ > 0 a2 – 2 > 0 => a 2 a 2 0 a 2 0 a 2 TH1 : a 2 a 2 0 a 2 a 2 0 a 2 TH2 : a 2 a 2 0 a 2 => a 2 hoặc a 2 (2) + Khi đó x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1) nên theo viét ta có 2a x x a 1 2 2 (3) 1 x x 1 2 2 2 2 2 x1 + x2 + 4(x1 + x2) + 4 = 0 x1 x2 2x1x2 4 x1 x2 4 0 Thay (3) vào ta có (-a)2 – 1 + 4.(-a) + 4 = 0 => a2 – 4a + 3 = 0 Ta có 1 + (-4) + 3 = 0. Vậy phương trình có hai nghiệm 3 a1 = 1 và a2 = 3 (4) 1 Kết hợp (2) và (4) => a = 3. Câu 4 Hình vẽ 3.0đ (d) D C 1 M 4 H 1 2 3 P E N A B K O
4. a/ Chứng minh tứ giác CBKH nội tiếp Ta có : ãACB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => Hã CB 900 (1) HK  AB(gt) Hã KB 900 (2) 1.0 Từ (1)và(2)=>Hã CB Hã KB 1800 =>Tứ giác CBKH nội tiếp (đ/l) ĐPCM b/. Chứng minh rằng tam giác MCE vuông cân. Xét MAC và EBC có AM = BE (gt) (3) Xét đường tròn (O) : Mã AC Mã BC (cùng chắn cung MC) (đ/l) => Mã AC Eã BC (4) Do OA = OB = R, COAB => CO là đường trung trực của AB (đ/n) 1.0 => CA = CB (t/c) (5) Từ 3,4,5 => MAC = EBC (c.g.c) => CM = CE => MCE cân tại C (6) 1 1 Ta có : Cã MB Cã OB .900 450 (đ/l) => Cã ME 450 (7) 2 2 Từ 6,7 => MCE vuông cân tại C (ĐPCM) c/ Chứng minh rằng , đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK. Gọi BM kéo dài cắt (d) tại D, HK cắt BP tại N. Ta đi chứng minh NK = NH. AP MA Ta có : AP.MB MA.OB(gt) (8) OB MB Pã AM Mã BA (cùng chắn cung AM) => Pã AM Oã BM (9) Từ (8) và (9) => PAM ~ OBM (c.g.c) ả ả => M1 M 3 (hai góc tương ướng) (10) ả ả ã 0 Ta có : M 2 M 3 AMC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (11) 1.0 ã ả ả 0 Từ (10) và (11) => PMO M1 M 2 90 => PM là tiếp tuyến của (O) => PM = PA (hai tiếp tuyến cắt nhau) (12) Ta có : Mả Mả 900 Do Mả Mả 900 (13) 4 3 1 3 ả ã 0 ABD vuông tại A => D1 ABD 90 (14) ả ã Do OB = OM => M 3 ABD (15)
5. ả ả Từ 13,14,15 => D1 M 4 => PM = PD (16) Từ (12) và (16) => PA = PD (17) Do HK//AD theo talét ta có NK BN NH BN NK NH và => (18) PA BP PD BP PA PD Từ 17,18 => NK = NH => đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK. 2 Câu 5 a2 b2 a b Cách 1 : Bổ đề : C/M . Thật vậy 1.0đ x y x y 2 2 2 a b a b 2 2 a2 y b2 x x y xy a b ay bx 0 x y x y 2 a2 b2 a b (Đúng) => x y x y 2 a2 b2 c2 a b c áp dụng 2 lần , ta có: x y x x y z áp dụng BĐT trên ta có 2 2 2 2 x4 y4 z4 x y z 1.0 (1) y 3z z 3x x 3y 4 x y z x2 1 2x x2 y2 z2 3 2 Ta có : y 1 2y x y z 2 2 y 1 2y Từ (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 x4 y4 z4 x y z x y z => (2) y 3z z 3x x 3y x2 y2 z2 3 2 x2 y2 z2 6 4. 2 x2 y2 2xy 2 2 2 2 2 Ta có : y z 2yz x y z xy yz zx 3 2 2 z x 2zx Đặt : x2 y2 z2 = t ≥ 3 2 2 2 2 x y z t 2 Ta có : (3) 2 x2 y2 z2 6 2t 6 t 2 3 Ta chứng minh với t ≥ 3 thì . Thật vậy 2t 6 4
6. 2 t 3 2 4t 6t 18 0 2t 2 3t 9 0 t 3 2t 3 0 đúng 2t 6 4 t 2 3 do t ≥ 3. => (4) 2t 6 4 x4 y4 z4 3 Từ (2), (3) và (4) => (DPCM) y 3z z 3x x 3y 4 Dấu “=” xảy ra khi : x= y = z = 1 Cách 2 x4 y 3z áp dụng côsi cho hai số không âm : và y 3z 16 x4 y 3z x2 Ta có : (1) y 3z 16 2 y4 z 3x y2 z4 x 3y z2 tương tự (2) (3) z 3x 16 2 x 3y 16 2 Cộng 1,2,3 ta được 2 2 2 x4 y4 z4 x y z x y z (4) y 3z z 3x x 3y 4 2 x2 1 2x x2 y2 z2 3 2 Ta có : Ta có : y 1 2y x y z (5) 2 2 y 1 2y Tù 4, 5 => 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x4 y4 z4 x y z x y z 3 3 x y z 3 (6) y 3z z 3x x 3y 2 8 8 x2 y2 2xy 2 2 2 2 2 Ta có : y z 2yz x y z xy yz zx 3 (7) 2 2 z x 2zx x4 y4 z4 3.3 3 6 3 Từ 6,7 => y 3z z 3x x 3y 8 8 4 x4 y4 z4 3 Hay .Dấu “=” xảy ra khi x = y = z (ĐPCM) y 3z z 3x x 3y 4 Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa Các mã đề khác làm tương tự Giáo viên giải và dự kiến thang điểm : Nguyễn Đức Tính SN: 06/335 - Đường Nguyễn Tĩnh - TP Thanh hoá - DT : 0914.853.901 (Đây là thang điểm tham khảo, thang điểm chính thức theo quy định của HĐCT)