Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2014-2015 - Sở GD & ĐT thành phố Hồ Chí Minh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2014-2015 - Sở GD & ĐT thành phố Hồ Chí Minh (Có đáp án)

1. CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC: 2014-2015 Môn Thi : TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 22-6- 2014 Thời gian làm bài : 150 phút Câu 1: (2 điểm) a) Giải phương trình: x 2x 3 3x 4 b) Cho ba số thực x, y, z thỏa điều kiện x y z 0; xyz 0 x2 y 2 z 2 Tính giá trị của biểu thức P y2 z 2 x 2 z 2 x 2 y 2 x 2 y 2 z 2 Câu 2: (1.5 điểm) 19 xy yx Giải hệ phương trình: 4 4y xy x x2 Câu 3: (1.5 điểm) Cho tam giác ABC đều và M là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AB và AC. Xác định vị trí của M để tam giác MDE có chu vi nhỏ nhất. Câu 4: (2 điểm) x22 y x y a) Cho x, y là hai số thực khác 0. Chứng minh rằng : yx22yx a22 3ab b b) Cho a, b là hai số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P ab a b Câu 5: (2 điểm) Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AB và OM; I là trung điểm của MH. Đường thẳng AI cắt (O) tại điểm K (K khác A) a) Chứng minh HK vuông góc AI. b) Tính số đo góc MKB. Câu 6 (1điểm) Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình: 2015 x22 y 2014 2xy 1 25  HẾT TS LỚP 10 CHUYÊN TOÁN – TP.HCM (2014-2015) Trang 1/ 5
2. CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG HƯỚNG DẪN GIẢI: Bài 1: a) x 2x 3 3x 4 3 Điều kiện:x 2 Với điều kiện trên, phương trình trở thành: 2 x2 2x 3 3x 4 2x 3 3x 2 9x 2 24x 16 2x3 12x 2 24x16 0 x 3 6x 2 12x 8 0 3 x 2 0 x 2(nhận) VậyS 2. b) Cho ba số thực x, y, z thỏa điều kiện x y z 0; xyz 0 x2 y 2 z 2 Tính giá trị của biểu thức P y2 z 2 x 2 z 2 x 2 y 2 x 2 y 2 z 2 22 Ta có: x y z 0 y z x y z x y2 2yzz 2 x 2 y 2 z 2 x 2 2yz Chứng minh tương tự : z2 x 2 y 2 2zx; x 2 y 2 z 2 2xy 3 3 3 x2 y 2 z 2 x 2 y 3 z 3 x y z 3xyz 3xyz 3xyz 3 2yz 2zx 2xy 2xyz 2xyz 2xyz 2 (Áp dụng bài toán phụ: xyz0 x3 y 3 z 3 3xyz0 ) Bài 2: 19 xy yx ĐK: x 0; y 0 4 4y xy x x2 1 4 9 4y 4y 5 1 4y 4 1 1 4 y 1 1 0 0 10 22 2 y x xxx x y x x x y x x y x 1 9 1 9 19 19 x y x y xy xy y x y x yx yx 4 y x x y 1 4 0 x y 2 0 x x xy xy x 1 9 1 9 x y x y y x y x TS LỚP 10 CHUYÊN TOÁN – TP.HCM (2014-2015) Trang 2/ 5
3. CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG xy x 4y xy 19 x y 0 xy 2 xy x 4y yx 19 19 x 4y xy xy yx yx 19 xy yx xy xy xy xy TH1: x y 2 19 19 2 xy xx 2x 8 0 x2 yx xx x 4y x 4y x 4y TH2 : 1 9 1 9 1 9 x y 4y y 5y 0 y x y 4y y 4y x 4y x 2 x 4y 2 2 11 2y 5 0 yy 42 11 Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x;y 2;2 , 2; 2 , 2; , 2; 22 Bài 3: A D E B H M C Xác định vị trí của M để MDEcó chu vi nhỏ nhất Dễ thấy tứ giác ADME nội tiếp đường tròn đường kính AM ADEnội tiếp đường tròn đường kính AM DE AM.sinBAC (địnhlýhàmsin) 3 DE AM.sin600 AM. 2 3 DM BM.sinABC BM.sin600 BM 2 Mặt khác: 3 ME MC.sinACB MC.sin600 MC 2 TS LỚP 10 CHUYÊN TOÁN – TP.HCM (2014-2015) Trang 3/ 5
4. CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG Gọi H là hình chiếu của A lên BC H cố định AH không đổi 3 3 3 Chu vi ADE= MD + ME + DE = BM CM AM 2 2 2 3 3 3 BM MC AM BC AM BC AH không đổi 2 2 2 Dấu “=” xảy ra MH  M là hình chiếu của A lên BC. Bài 4: x22 y x y a) x 0; y 0 yx22yx x2 y 2 x y x 4 y 4 x 3 y xy 3 00 y2 x 2yx x 2 y 2 2 x y x3 y 3 x y x 2 xy y 2 00 x2 y 2 x 2 y 2 2 2 132 x y x y y 24 0(luônđúng,  x 0; y 0) xy22 a22 3ab b b) Tìm Min P (a 0;b 0) ab a b 22 2 13 22 a b ab a b a 3ab b a b ab P 44 abab abab abab 12 31 2 3 a b ab a b2 a b .ab .2 ab 35 4 4 4 4 1 ab a b ab ab a b ab 22 1 2 a b ab Dấu “=” xảy ra 4 ab ab 5 Vậy Min P a b . 2 * Cách làm khác: 2 a22 3ab b a b ab a b ab 3ab1ab ab 3 15 P . .2 2. ab a b ab a b ab ab 4ab 4 ab a b 4 4 2 Bài 5: TS LỚP 10 CHUYÊN TOÁN – TP.HCM (2014-2015) Trang 4/ 5
5. CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG A K O M H I B a) Chứng minh HK AI Dễ thấy OM là trung trực của AB OM AB tại H. Áp dụng phương tích của điểm I với (O) ta được: IK.IA IO22 R R:bánkính(O) 2 Mà: IH2 IO OH IO 2 2IO.OH OH 2 IO22 OH 2.IO OH IO OH 2IH 2OH OH IO22 OH 2.IH OH IO OH HM OH IO2 OH.OM IO 2 R 2 . IH IA Nên: IH2 IK.IA ; I chung IHA∽ IKH(c.g.c) IK IH IKH IHA 900 HK  AItạiK. a) Tính MKB Ta có: IM22 IH IK.IA; chung IMK∽ IAM(c.g.c) IMK IAM HBK tứ giác HBMK nội tiếp MKB MHB 900 Bài 6: 2015 x22 y 2014 2xy 1 25 (1) 2 2014 x y x22 y 2014 25 2 Nếu x y 0 x y thì pt(1) 2x2 2039 (2) Tacó: 2x2 2; 2039 2 pt(2)vô nghiệm 2 Nếu x y 2thì VT(1) 2014.2 x22 y 2014.2 4028 2039 VP(1) (1) 2 Dođó x y 1 x22 y 25 x y 1 2 x y 1 22 x y 1 x y 1 x y 25 Tacóhệ: x y 1 22 22 x y 25 x y 1 x y 25 22 x y 25 22 x y 25 Vậy cặp nghiệm nguyên của phương trình là: x;y 3;4,4;3, 3; 4, 4; 3 . TS LỚP 10 CHUYÊN TOÁN – TP.HCM (2014-2015) Trang 5/ 5