Đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán - Dự bị 1 khối B - 2006

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán - Dự bị 1 khối B - 2006

1. Đề DỰ BỊ 1 – khối B – 2006 Phần Chung Cho Tất Cả Các Thí Sinh Câu I (2 đ) x2 −−x 1 Cho hàm số y = x +1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho 2) Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A(0, -5) Câu II (2 đ) 1) Giải phương trình: (2sin2x – 1)tg22x + 3(2cos2x – 1) = 0 2) Giải phương trình: 32x −+xx −= 1492352 −+ xxx2 − +, ∈R Câu III (2 đ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho 2 đường thẳng: ⎧x =+1 t ⎪ x−−31yz Δ=−−1: ⎨yt1 Δ==2 : ⎪ −121 ⎩z =2 1) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng Δ 1 và song song với đường thẳng Δ 2 2) Xác định điểm A trên Δ1 và điểm B trên Δ2 sao cho đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất. Câu IV (2 đ) 10 dx 1) Tính tích phân: I = ∫ 5 x −21x − 11⎛ 7 ⎞ 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: yx=+ +41⎜ +2 ⎟, x > 0 2x ⎝⎠x Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu Va hoặc câu Vb Câu Va (2đ) Theo chương trình THPT không phân ban (2 đ) 1)Trong mp với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B, với A(1, -1) ; C(3, 5). Điểm B nằm trên đường thẳng d: 2x – y = 0. Viết phương trình các đường thẳng AB, BC. 2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau, trong đó có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau? Câu Vb (2 đ) Theo chương trình phân ban THPT thí điểm (2 đ) 13 13 0 1) Giải phương trình: log2 xxx+− log18 ( − ) − log ( − ) = 2 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, B A D = 600, SA vuông góc với mp (ABCD), SA = a. Gọi C′ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC / và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B′, D′ . Tính thể tích của khối chóp S.A B′′′CD . HƯỚNG DẪN GIẢI x2 −−x 1 xx2 + 2 Câu I 1/ KS y= MXĐ: D= R \ {−1} y’= ,'yxhayx= 00⇔= =−2 x +1 ()x +1 2 TC:x=-1, y=x-2 BBT
2. x - ∞ -2 -1 0 + ∞ y’ + 0 - - 0 + y -5 + ∞ +∞ -∞ -∞ -1 2/ Viết pt tiếp tuyến với (C) đi qua A(0,-5) Phương trình tiếp tuyế đi A(0,-5)có dạng: y= kx - 5 ⎧ 1 ⎪xkx−+25 = − ()1 ⎪ x+1 tiếp xúc với (C) ⇔ ⎨ 1 ⎪12−=k () ⎪ 2 ⎩ ()x+1 có nghiệm thế (2) vào (1) ta có pt hđ tiếp điểm: 3x2+8x+4=0 2 ⇔ x=-2 v x= − ⇒ k1= 0 v k2 = - 8 3 vậy có hai tiếp tuyến ( Δ 1):y= -5 và ( Δ 2):y = -8x-5 Câu II 1/ Giải pt : (2sin2x-1)tg22x+3(2cos2x-1)=0 (1) ĐK cos2x ≠ 0 (1) ⇔ - cos2xtg22x+3cos2x=0 ⇔ tg22x=3
3. ⇔ tg2x=± 3 π π ⇔=±+x k (thoả điều kiện) 62 Nhận xét : ta không cần đặt điều kiện cũng được, vì khi tg2x tồn tại nghĩa là đã có cos2x ≠ 0 2/ Giải pt: 32x−+xx −= 1492352 −+ xx2 − + (1) (1) ⇔ 32x−+−=−+−−+xxx 13()() 2 16232 ()( xx − − 1) 2 =−+−−()32xx 1 6 Đặt t = 32x−+x −1≥ 0 (1)thành t = t2- 6 ⇔ t2-t - 6=0 ⇔ t=−23() l hay t = vậy ()1321⇔−+−=xx3 ⇔ 3x-2+x-1+23()(x−− 2x 1)=9 và x ≥1 ⇔ 23()(xx−− 2 1)=12-4x và x ≥1 ⇔ ()(32xx−− 1)= 6-2x và x ≥1 ⇔ (3x-2)(x -1)=(6 -2x)2 và 13≤≤x ⇔ x2-19x +34 =0 và 1≤≤x 3 ⇔ x=2 Câu III ur 1/ 1 đi qua M1(1,-1,2), VTCP a =−(,110 , ) ur 2 đi qua M2(3,1,0), VTCP b =−(,,)121 ur ⎡⎤r r mp(P) cần tìm chứa 1và // 2 nên (P) qua M1 có PVT n ==−−⎣⎦ab,(,,111) do đó pt(P) : -(x-1) - (y+1) + (z-2)=0 ⇔ x + y – z + 2= 0 2/ AB ngắn nhất AB ⊥ ( 1, 2) x=+1 t 3 ⎪⎧ ⎪⎧ x=−t ' Δ : y=−1 −t Δ : yt=+12' 1 ⎨ 2 ⎨ ⎩⎪ z=2 ⎩⎪ zt= ' A ∈ 1=> A(1+t,-1-t,2);B∈ 2=>B(3-t’ ,1+2t’ ,t’) uuur ⇒ AB =(2-t’-t,2+2t’+t,t’-2) uuurr ⎧ AB.' a=+=0230⎧ t t Vì AB ⊥ , ⎪⎪⎪ ()12⇔⇔⎨⎨ ⇔tt= '=0 ⎪⎪uuurr ⎩⎪ ABb. =0 ⎩36tt+=' 0 ⇒ A(1,-1,2) , B(3,1,0) (trùng với M1, M2) Câu IV 10 dx 1/ Tính I= Đặt t= x −1 ⇒ x=t2+1 ⇒ dx=2tdt ∫0 x −−21x Đổi cận: t ( 5 ) = 2 ; t ( 10 ) = 3 33211tdt I ==∫∫222 ()+ dt 22tt−+21t−1 () t − 1 3 2 3 = 21ln t−+− = 22ln 1 2 t−12
4. 2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của 11 ⎛⎞7 (x > 0) (1) yx=+ +41⎜ +2 ⎟ 2x ⎝⎠x ⎛7777⎞2 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ Tacó: 3317971161+=+ ≤++=+ ⎜⎟⎜⎟()⎜⎟⎜⎟22 ⎝⎠x ⎝⎠xx⎝⎠⎝⎠x ⎛⎞⎛71 7⎞ 37x ⇒ 41⎜⎟⎜+≥+2 3 ⎟ Dấu “=” xảy ra ⇔ = = x (A) ⎝⎠⎝x 2 x ⎠ 1 7 11 1⎛⎞ 7 3 9 3 9 3 15 Suy ra: yx≥+ ++=++≥+=+=⎜⎟32()xx . 6 22xx⎝⎠ 2 x 2 x 2 2 9 Dấu “=” xảy ra ⇔ x = và (A) ⇔ x =3 x 15 Vậy ta có ymin = xảy ra ⇔ x=3 2 Câu Va 1/pt trung trực của AC là: x+3y-8=0 Do tam giác ABC cân tại B nên B thuộc trg trực của AC. Do đó ⎧xy+=38 ⎪ ⎛⎞816 BB⎨ ⇔ ⎜⎟, ⎪ ⎝⎠77 ⎩20xy−= xy−+11 pt đường thẳng AB: =⇔−−=23xy 24 0 816 −+11 77 tương tự pt BC: 19x-13y +8=0. 2/ Số cách chọn hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau từ ba chữ số 1,3,5 là 2 =6 cách. Ta xem mỗi cặp số lẻ như vậy là A3 một phần tử x. Vậy mỗi số cần lập gồm phần tử x và 3 trong 4 chữ số chẵn 0,2,4,6 . Gọi n= aaaaa43210 Ta có các trường hợp sau: * TH1: a0= 0.Đưa x vào 4 vị trí đầu có 3 cách Đưa 2 số chẵn từ 2,4,6 vào 2 vị trí còn lại có 2 cách. A3 Vậy có 3. 2 =18 cách A3 *TH :a chẵn ≠ 0 và x ở hai vị trí a a . Có 3. 2 =18 cách 2 0 4 3 A3 *TH3:a5 chẵn ≠ 0 và x ở hai vị trí a3a2 hoặc a2a1 .Có 24 cách. Vậy ta có 6(18+18+24)=360 số n. Câu Vb 3 1/ Giải pt: xxx+−131 () − − () − 1 =0 (1) log28 log log 2 Với ĐK: 1 xlhayx==() 22 2/ Hình thoi ABCD có BAD = 60 0
5. nên ΔBAD đều có cạnh là a a 3 ⇒ AOACAO==>==23a 2 ⇒ SC22=+ SA AC 222 =+= a34 a a 2 ⇒ SC=2a Trong SAC vuông ở A, trung tuyến SC ACa' == =>ΔSAC ' đều cạnh a 2 Gọi 0 là giao điểm của AC với BD I là giao điểm của AC’ và B’D’. Ta có I là trọng tâm ΔSAC ( vì là giao điểm của 2 trung tuyến SO và AC’) SI 222 ⇒ =⇒B ''DBD = =a S03 3 3 1 a 2 Ta có B’D’ ⊥ AC’ ( vì B’D’// BD ) nên ==AC'. B ' D ' S AB''' C D 23 Đường cao h của khối chóp S.AB’C’D’ chính là đường cao SH của ΔSAC ' vì SH⊥ AC', SH⊥ B ' D ' . Chú ý rằng ΔSAC ' đều cạnh a nên a 3 h = SH = 2 3 1 3 Vậy ==h. a VSSABCD''' 31ABCD''' 8 Hà Văn Chương - Phạm Hồng Danh - Lưu Nam Phát (Trung Tâm Luyện Thi Vĩnh Viễn)