Đề thi Toán không chuyên vào trường phổ thông năng khiếu - Năm học 2018 – 2019

Nội dung text: Đề thi Toán không chuyên vào trường phổ thông năng khiếu - Năm học 2018 – 2019

1. ĐỀ THI TOÁN KHÔNG CHUYÊN VÀO TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU NĂM 2018 – 2019. Bài 1 (1 điểm). Biết 0 x y và 2 2 xy xy y x 5 x . Tính xyxy 2 xy 2 xxy yxy 3 y Bài 2 (2 điểm). 2x2 7 x a) Giải phương trình x x 7 3 x x 31 x y 2 x 3 b) Giải hệ phương trình 2 2 x 1 yy 58 y 2 Bài 3 (2 điểm). Cho phương trình x2 x3 m 11 0 1 a) Với giá trị nào của m thì phương trình 1 có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép đó ? b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 sao cho 2017x1 2018 x 2 2019 Bài 4 (2 điểm). a) Đầu tháng 5 năm 2018, khi đang vào vụ thu hoạch, giá dưa hấu bất ngờ giảm Mạnh. Nông dân A cho biết vì sợ dưa hỏng nên phải bán 30% số dưa thu hoạch được với giá 1500 đồng mỗi kilogam (1500 đ/kg), sau đó nhờ phong trào giải cứu dưa hấu nên đã may mắn bán hết số dưa còn lại với giá 3500 đ/kg, nếu trừ tiền đầu tư thì lãi 9 triệu đồng (không kể công chăm sóc hơn hai tháng của cả nhà). Cũng theo ông A, mỗi sào đầu tư (hạt giống, phân bón, ) hết 4 triệu đồng và thu hoạch được 2 tấn dưa hấu. Hỏi ông A đã trồng bao nhiêu sào dư hấu ? b) Một khu đất hình chữ nhật ABCD (AB < AD) có chu vi 240 mét được chia thành hai phần gồn khu đất hình chữ nhật ABNM làm chuồng trại và phần còn lại làm vườn thả để nuôi gà (M, N lần lượt thuộc các cạnh AD, BC). Theo qui hoạch trang trại nuôi được 2400 con gà, bình quân mỗi con gà cần một mét vuông diện tích vườn thả và diện tích vườn thả gấp ba lần diện tích chuồng trại. Tính chu vi của khu đất làm vuờn thả. Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng 1
2. Bài 5 (3 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (T) tâm O, bán kính R, CAD 45 0 , AC vuông góc với BD và cắt BD tại I, AD > BC. Dựng CK vuông góc với AD K AD , CK cắt BD tại H và cắt (T) tại E ( E C ). a) Tính số đo COD . Chứng minh các điểm C, I, K, D cùng thuộc một đường tròn và AC = BD. b) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHE. Tính IK theo R. c) IK cắt AB tại F. Chứng minh O là trực tâm tam giác AIK và CK.CB =CF.CD. Gợi ý giải. Bài 1 (1 điểm). Biết 0 x y và 2 2 xy xy y x 5 x . Tính xyxy 2 xy 2 xxy yxy 3 y Giải. 2 2 xy xy 2 xy 2 xy 2 xyxy 2 xy 2 xy 243 x y xy 3 y x yyxx x y x xy y xxyy xxy yxy xyxy xyxy xy Ta có: 2x xy y 5 2 xxyyxyx 2 xyy 0 xy 0 xy 3xy 3 x Vậy 1 y Bài 2 (2 điểm). 2x2 7 x a) Giải phương trình x x 7 3 x Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng 2
3. x 31 x y 2 x 3 b) Giải hệ phương trình 2 2 x 1 yy 58 y 2 Giải. 2x2 7 x a) x x 7 Điều kiện: 3 x 0 x 3 3 x x 0 n 2x Phương trình xx 71 0 xl 7 3 x 3 x 2 x x 0 x 0 3 x 2 x x 1 Giải 2 3 (nhận) 3 x 4 x x 1  x 4 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : x 0; x 1 x 31 x y 2 x 31 b) 2 2 x 1 yy 58 y 2 2 Điều kiện: y2 5 y 8 0 luôn thỏa với mọi x 2 2 5 7 (Vì yyy 5 8  0 x ℝ ) 2 4 x 3 Từ (1) x 1 y 2 Thay x 3 vào phương trình (2) ta có: 4y2 58 y y 2 2 (vô nghiệm) Thay x 1 y 2 vào (2) ta có: y 2 y 2 yy2 58 y 20 2 y 5 y 8 y 2 Với y 2 x 1 y 2 y 2 Giải y2 5 y 8 y 2 y4 x 3 2 2 y 5 y 8 y 2 y 4 Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng 3
4. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm x; y là 1;2 , 3;4 Bài 3 (2 điểm). Cho phương trình x2 x3 m 11 0 1 a) Với giá trị nào của m thì phương trình 1 có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép đó ? b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 sao cho 2017x1 2018 x 2 2019 Giải. a) 1 2 43 m 11 4512 m 15 Phương trình (1) có nghiệm kép 45 12m 0 m 4 1 Khi đó nghiệm kép x x 1 2 2 15 b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 45 12m 0 m 4 Khi đó ta có: xx1 21; xx 12 . 3 m 11 x1 x 2 1 x 1 1 Ta có hệ: 2017x1 2018 x 2 2019 x 2 2 xxm1. 2 3 11 1 .2 3 m 11 m 3 (thỏa điều kiện). Vậy m 3 Bài 4 (2 điểm). a) Đầu tháng 5 năm 2018, khi đang vào vụ thu hoạch, giá dưa hấu bất ngờ giảm Mạnh. Nông dân A cho biết vì sợ dưa hỏng nên phải bán 30% số dưa thu hoạch được với giá 1500 đồng mỗi kilogam (1500 đ/kg), sau đó nhờ phong trào giải cứu dưa hấu nên đã may mắn bán hết số dưa còn lại với giá 3500 đ/kg, nếu trừ tiền đầu tư thì lãi 9 triệu đồng (không kể công chăm sóc hơn hai tháng của cả nhà). Cũng theo ông A, mỗi sào đầu tư Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng 4
5. (hạt giống, phân bón, ) hết 4 triệu đồng và thu hoạch được 2 tấn dưa hấu. Hỏi ông A đã trồng bao nhiêu sào dư hấu ? Giải. Gọi x (sào) là diện tích ông A đã trồng dưa hấu ( x 0 ) 1500 đ/kg = 1,5 triệu/tấn, 3500 đ/kg = 3,5 triệu/tấn + Sản lượng dưa hấu ông A thu hoạch được : 2x (tấn) + Số tiền ông A đầu tư : 4x (triệu đồng) Số tiền ông A bán dưa hấu : 30 70 .2 x .1,5 2 x .3,5 0,9 xxx 4,9 5,8 (triệu đồng) 100 100 Tiền lời ông A thu được : 5,8x 4 x 9 x 5 (sào) Vậy ông A đã trồng 5 sào dưa hấu. b) Một khu đất hình chữ nhật ABCD (AB < AD) có chu vi 240 mét được chia thành hai phần gồn khu đất hình chữ nhật ABNM làm chuồng trại và phần còn lại làm vườn thả để nuôi gà (M, N lần lượt thuộc các cạnh AD, BC). Theo qui hoạch trang trại nuôi được 2400 con gà, bình quân mỗi con gà cần một mét vuông diện tích vườn thả và diện tích vườn thả gấp ba lần diện tích chuồng trại. Tính chu vi của khu đất làm vuờn thả. Giải. Gọi x m AD là chiều dài của khu đất ABCD. y m AB là chiều rộng của khu đất ABCD Điều kiện : 0 y x Chu vi khu đất ABCD: 2 xy 240 x 120 y Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng 5
6. 1 Diện tích khu thả vườn: 2400 m2 nên diện tích khu chuồng trại là .2400 800 m2 3 Diện tích toàn bộ khu đất ABCD là: 800 2400 3200 m2 2 y 40 x 80 xy3200 120 y y 3200 y 120 y 3200 0 y 80 x 40 Vì x y nên x 80; y 40 Gọi a m MD là chiều dài của khu vườn thả 0 a 80 Ta có: 40x 2400 a 60 m Vậy chu vi khu vườn thả : 2 40 60 200 m Bài 5 (3 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (T) tâm O, bán kính R, CAD 45 0 , AC vuông góc với BD và cắt BD tại I, AD > BC. Dựng CK vuông góc với AD K AD , CK cắt BD tại H và cắt (T) tại E ( E C ). a) Tính số đo COD . Chứng minh các điểm C, I, K, D cùng thuộc một đường tròn và AC = BD. b)Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHE. Tính IK theo R. c) IK cắt AB tại F. Chứng minh O là trực tâm tam giác AIK và CK.CB =CF.CD. Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng 6
7. a) COD 2 CAD 90 0 Vì CID CKD 90 0 nên I, K cùng thuộc đường tròn đường kính CD hay C, I, K, D cùng thuộc đường tròn đường kính CD. Tam giác IBC vuông tại I có DBC CAD 45 0 nên tam giác IBC vuông cân tại I ICB 45 0 ICB IAD 450 CB // AD tứ giác ABCD là hình thang Mà tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (T) nên tứ giác ABCD là hình thang cân AC BD . b) Ta có : ABCD là hình thang cân CD AB hay sdAB sdCD 90 0 IDK BDA 45 0 Vì tứ giác CIKD nội tiếp (câu a)) nên ICK IDK 45 0 BCI ICK 45 0 hay CI là phân giác của BCH Mà CI là đường cao nên tam giác BCH vuông cân tại C và CI là trung trực của BH Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng 7
8. AB AH Cũng do BCI ICK 45 0 AB AE AB AH AE A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHE. + ODC vuông cân tại O DC R 2 + Tam giác AKC vuông cân tại K nên AC AK 2 IK AK AK 1 + AIK đồng dạng ADC DC AC AK 2 2 DC R 2 IK R 2 2 c) Vì COD 90 0 C thuộc đường tròn đường kính CD Theo câu a) ta có 5 điểm C, I, O, K, D cùng thuộc đường tròn đường kính CD. Tứ giác CIOD nội tiếp AIO ODC 45 0 Do đó AIO IAD 450 45 0 90 0  IO AD Tương tự : tứ giác OKDC nội tiếp AKO OCD 45 0 Do đó AKOIAD 450 45 0 90 0 OK  AC Ta có OI, OK là hai đường cao của tam giác AIK nên O là trực tâm tam giác AIK. Vì AC là trung trực của BH (chứng minh trên) nên BAC CAH Vì tứ giác AIHK nội tiếp (hai góc đối vuông) nên CAH IKH BAC IKH tứ giác AFCK nội tiếp Mà AKC 900 AFC 90 0 CB CD Ta có BCF đồng dạng DCK CKCB. CFCD . CF CK Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng 8