Đề thi thử vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Thống Nhất (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Thống Nhất (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT QUẬN BA ĐÌNH ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THCS THỐNG NHẤT Năm học: 2018 – 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2,0 điểm) x 2 x x 4 Cho biểu thức A x : với x 0 và x 1, x 4. x 1 x 1 1 x 1) Rút gọn biểu thức A 1 2) Tìm các giá trị của x để A 2 3) So sánh A và A . Bài 2: (2,0 điểm) Giải toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Chiều dài của bể bơi là 100m . Trong đợt tập bơi phòng chống đuối nước ở trường THCS Thống Nhất, mỗi 3 học sinh phải thực hiện bài tập bơi từ đầu này sang đầu kia của bể bơi theo vận tốc quy định. Trên quãng 5 2 đường đầu, bạn An bơi theo đúng vận tốc quy định. Trên quãng đường còn lại do mệt, bạn An giảm vận 5 tốc 1m / s so với vận tốc quy định. Tổng thời gian bơi của bạn An là 40s .Tính vận tốc quy định của bạn An. Bài 3: (2,0 điểm) 2 | x 2 | 3y 1 0 1) Giải hệ phương trình | x 2 | 3y 1 3 2) Cho đường thẳng d : y mx m 1 và parabol P : y x2 Tìm các giá trị của m để d cắt P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn điều kiện: 1 1 4 x1 x2 Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn O đường kính AB 2R . Trên tia đối của tia BA lấy điểm K . Qua K kẻ đường thẳng d vuông góc với AB. Lấy C thuộc đường thẳng d , qua C kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn O (D và B thuộc 2 nửa mặt phẳng bờ AC, D là tiếp điểm) AC cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E . Các đường thẳng AD và BD cắt đường thẳng d tại I và J 1) Chứng minh tứ giác BDIK nội tiếp 2) Chứng minh góc ¼AED AIC và AE.CI AI.DE 3) IB cắt AJ tại M . Chứng minh C là trung điểm của đoạn thẳng IJ và CD=CM 4) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ luôn thuộc một đường thẳng cố định khi C di chuyển trên đường thẳng d Bài 5: (0, 5 điểm) 1 1 1 Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: 2 1 x 1 y 1 z 1 Chứng minh tích xyz 8
2. Hướng dẫn giải Bài 1: (2,0 điểm) x 2 x x 4 Cho biểu thức A x : với x 0 và x 1, x 4. x 1 x 1 1 x 1) Rút gọn biểu thức A 1 2) Tìm các giá trị của x để A 2 3) So sánh A và A . Giải 1) x 2 x x 4 A x : Đk: x 0 , x 1, x 4. x 1 x 1 1 x x x 1 x 2 x x 1 x 4 A : x 1 x 1 x 1 x 2 x 4 A : x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 A . x 1 x 2 x 2 x 1 A . x 2 2) 1 x 1 1 Để A thì 2 x 2 2 2 x 1 x 2 2 x 2 x 2 0 x 4 0 x 4 x 16 (tm). 3) x 1 A x 2 x 1 A có nghĩa 0 x 1 0 x 1 x 1 (Vì x 2 0 ) x 2 Kết hợp với điều kiện x 0 ,x 1, x 4. Ta được A có nghĩa x 0, x 4. Xét hiệu: 3. x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 A A A A 1 . 1 . 0 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 A2 A 0 A2 A
3. A A Vậy x 0, x 4 thì A A . Bài 2: Chiều dài của bể bơi là 100m . Trong đợt tập bơi phòng chống đuối nước ở trường THCS Thống Nhất, mỗi 3 học sinh phải thực hiện bài tập bơi từ đầu này sang đầu kia của bể bơi theo vận tốc quy định. Trên quãng 5 2 đường đầu, bạn An bơi theo đúng vận tốc quy định. Trên quãng đường còn lại do mệt, bạn An giảm vận 5 tốc 1m / s so với vận tốc quy định. Tổng thời gian bơi của bạn An là 40s .Tính vận tốc quy định của bạn An. Giải Gọi vận tốc quy định của bạn An là x(m / s) .ĐK x 0 3 60 Thời gian bạn An bơi quãng đường đầu là (s) 5 x 2 Vận tốc của bạn An trên quãng đường còn lại là x 1(m / s) 5 2 40 Thời gian bạn An bơi trên quãng đường còn lại là (s) 5 x 1 60 40 Theo bài ra ta có pt: 40 60 x 1 40x 40x x 1 x x 1 40x2 140x 60 0 2x2 7x 3 0 x1 3(TM ) Giải pt trên ta được 1 x (KTM ) 2 2 Vậy vận tốc quy định của bạn An là 3m / s . Bài 3: (2 điểm) 2 | x 2 | 3y 1 0 1) Giải hệ phương trình | x 2 | 3y 1 3 Hướng dẫn 1 Đặt a | x 2 |; b 3y 1; y a,b 0 3 2a b 0 b 2a b 2 a b 3 a 2a 3 a 1 So với điều kiện, thỏa mãn. Ta có: x 2 1 x 1 | x 2 | 1 x 2 1 x 3 5 3y 1 2 3y 1 4 y 3 So với điều kiện, thỏa mãn. 5 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) ( 1; ); (x; y) ( 3; ) 3 3
4. 2) Cho đường thẳng d : y mx m 1 và parabol P : y x2 Tìm các giá trị của m để d cắt P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn điều kiện: 1 1 4 x1 x2 Giải Hoành độ giao điểm của d và P là nghiệm của phương trình: x2 mx m 1 x2 mx m 1 0 (*) Ta có phương trình (*) là phương trình bậc 2 ẩn x với các hệ số a 1, b m, c m 1 a b c 1 m m 1 0 Do đó phương trình (*) có hai nghiệm x1 1; x2 m 1 . Để d cắt P tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt suy ra m 1 1 m 2. 1 1 1 1 Khi đó 4 4 (Điều kiện m 1 ) x1 x2 1 m 1 1 1 1 10 3 m 1 m 1 m (thỏa mãn) m 1 3 9 9 1 1 Vậy để d cắt P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn điều kiện: 4 thì x1 x2 10 m . 9 Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn O đường kính AB 2R . Trên tia đối của tia BA lấy điểm K . Qua K kẻ đường thẳng d vuông góc với AB. Lấy C thuộc đường thẳng d , qua C kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn O (D và B thuộc 2 nửa mặt phẳng bờ AC, D là tiếp điểm) AC cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E . Các đường thẳng AD và BD cắt đường thẳng d tại I và J 1) Chứng minh tứ giác BDIK nội tiếp 2) Chứng minh góc ¼AED AIC và AE.CI AI.DE 3) IB cắt AJ tại M . Chứng minh C là trung điểm của đoạn thẳng IJ và CD=CM 4) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ luôn thuộc một đường thẳng cố định khi C di chuyển trên đường thẳng d Giải
5. I D C E B A O K S M J 1) Chứng minh tứ giác BDIK nội tiếp Chứng minh ¼ADB 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) B¼DI 900 Mà B¼KI 900 B¼DI B¼KI 900 900 1800 Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác BDIK nội tiếp 2) Chứng minh góc ¼AED AIC và AE.CI AI.DE Xét O có: 1 ¼AED ¼ABD sd»AD (Góc nội tiếp cùng chắn cung »AD ) 2 Mà ¼ABD ¼AIC (cùng bù với D¼BK ) ¼AED ¼AIC Xét VAED và VAIC , có: D¼AE chung ¼AED ¼AIC AE ED VAED : VAIC g.g TSDD AE.CI AI.ED AI CI 3) IB cắt AJ tại M . Chứng minh C là trung điểm của đoạn thẳng IJ và CD=CM B¼JK B¼JK 900 Ta có : D¼AB ¼ABD 900 Mà J¼BK ¼ABD (đối đỉnh) B¼JK D¼AB 1 1 Xét O có: D¼AB C¼DJ (cùng bằng sdB»D 2 ) 2
6. Từ 1 ; 2 B¼JK C¼DJ VCDJ cân CD CJ 3 Có B¼JK I 900 ;C¼DJ C¼DI 900 Mà B¼JK C¼DJ I C¼DI VCDI cân tại C CD CI 4 Từ 3 và 4 CI CJ C là trung điểm của IJ Xét VvCMJ có CM là đường trung tuyến CM CJ Mà CJ CD (chứng minh trên) CD CM 4) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ luôn thuộc một đường thẳng cố định khi C di chuyển trên đường thẳng d Gọi giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ với đường thẳng AB là điểm S Suy ra tứ giác AISJ nội tiếp ·ASI ·AJI (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AI ) (1) Mà ·AJI ·IBS (Cùng phụ với góc MIJ ) (2) Từ (1) và (2) ·ASI I·BS Xét IBS : Có ·ASI I·BS IBS cân Mà IK là đường cao của tam giác IBS IK đồng thời là đường trung tuyến K là trung điểm của BS . Vậy điểm S cố định Ta có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ cũng chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AISJ . Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AS Bài 5: (0, 5 điểm) 1 1 1 Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: 2 1 x 1 y 1 z 1 Chứng minh tích xyz 8 Giải: 1 1 1 Từ 2 1 x 1 y 1 z 1 1 1 y z 1 1 1 x 1 y 1 z 1 y 1 z Áp dụng BĐT cô-si cho các số dương ta có:
7. y z yz 2 1 y 1 z 1 y . 1 z 1 yz 2 1 x 1 y . 1 z Hoàn toàn tương tự ta có: 1 xz 2 1 y 1 x . 1 z 1 xy 2 1 z 1 x . 1 y Nhân các vế của các BĐT trên ta có: 1 8xyz 1 x (1 y)(1 z) 1 x (1 y)(1 z) 8xyz 1 1 xyz 8