Đề thi thử vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Sài Đồng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Sài Đồng (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS SÀI ĐỒNG ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MễN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phỳt Ngày thi: 16/05/2018 x 1 x 3 x 4 1 Bài 1(2 điểm). Cho biểu thức A ; B (x 0; x 4) x x 2 x x 2 1) Tớnh giỏ trị của A khi x 9. 2) Rỳt gọn B. B 3) So sỏnh P với 2. A Bài 2 (2 điểm). Giải bài toỏn sau bằng cỏch lập phương trỡnh hoặc hệ phương trỡnh: Một nhúm thợ dự định làm 2000 sản phẩm trong một thời gian nhất định. 7 ngày đầu họ làm đỳng mức đề ra, những ngày cũn lại họ làm vượt mức dự định 30 sản phẩm/ ngày nờn đó hoàn thành sớm hơn dự định ba ngày. Tớnh năng suất dự định. Bài 3 (2 điểm). x 3 2 y 1 5 1) Giải hệ phương trỡnh: . 3 x 3 y 1 1 x2 2) Cho parabol P : y ; đường thẳng (d) đi qua điểm C(0; 2) và cú hệ số gúc là m 2 a) Xỏc định đường thẳng (d) và chứng minh đường thảng (d) luụn cắt parabol (P)tại hai điểm phõn biệt với mọi giỏ trị của m . b) Gọi giao điểm của (d) và (P) là A;B .Tớnh diện tớch tam giỏc AOB theom (O là gốc tọa độ). Bài 4 (3,5 điểm). Cho ΔABC cú ba gúc nhọn nội tiếp đường trũn (O;Rđường) cao AH của ΔABC . Gọi E,F lần lượt là hỡnh chiếu của H lờn AB,AC . 1) Chứng minh tứ giỏc AEHF nội tiếp. 2) Chứng minh rằng: AE.AB=AF.AC . 3) Kẻ đường cao AK của (O) , AK cắt EF tại I . Chứng minh AK vuụng gúc với EF. 4) Cho AH = R 2 . Chứng minh E,O,F thẳng hàng. Bài 5 (0,5 điểm). Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức M x x 2 2 x 1 10. === Chỳc cỏc em làm bài tốt!
2. HƯỚNG DẪN GIẢI x 1 x 3 x 4 1 Bài 1(2 điểm). Cho biểu thức A ; B (x 0; x 4). x x 2 x x 2 1) Tớnh giỏ trị của A khi x 9. 2) Rỳt gọn B. B 3) So sỏnh P với 2. A Lời giải 1) Ta thấy x 9 (tm) 9 1 4 Thay x 9 vào biểu thức A ta được: A . 9 3 4 Vậy x 9 thỡ A . 3 x 3 x 4 1 2) B x 2 x x 2 x 3 x 4 x B x( x 2) x( x 2) x 4 x 4 B x( x 2) ( x 2)2 B x( x 2) x 2 B . (x 0;x 4) x 3) + Cỏch 1: B x 2 x 1 x 2 P : . A x x x 1 x 2 x 2 2 x 1 3 x Xột hiệu: P ( 2) P 2 2 . x 1 x 1 x 1 Vỡ x 0 x 0 3 x 0 x TXĐ. Và x 1 0 x TXĐ. 3 x Nờn 0 P ( 2) 0 hay P 2 x TXĐ. x 1 + Cỏch 2: B x 2 x 1 x 2 3 P : 1 . A x x x 1 x 1
3. Cú x 0 x TXĐ. x 1 1 x TXĐ 3 3 x TXĐ x 1 3 3 x TXĐ x 1 3 1 2 x TXĐ x 1 Hay P 2 x TXĐ. Bài 2 (2 điểm). Giải bài toỏn sau bằng cỏch lập phương trỡnh hoặc hệ phương trỡnh: Một nhúm thợ dự định làm 2000 sản phẩm trong một thời gian nhất định. 7 ngày đầu họ làm đỳng mức đề ra, những ngày cũn lại họ làm vượt mức dự định 30 sản phẩm/ ngày nờn đó hoàn thành sớm hơn dự định ba ngày. Tớnh năng suất dự định. Lời giải Gọi năng suất dự định là x x Ơ *, x 2000 , (sản phẩm/ngày) 2000 Thời gian dự định hoàn thành là (ngày) x Bảy ngày đầu làm được số sản phẩm là 7x (sản phẩm) Số sản phẩm cũn phải làm là 2000 7x (sản phẩm) Năng suất mới là x 30 (sản phẩm/ngày) 2000 7x Thời gian làm nốt số sản phẩm cũn lại là (ngày) x 30 2000 2000 7x Theo đề bài ta cú phương trỡnh 7 3 x x 30 x2 100x 20000 0 x 100 (tm) x 200 (l) Vậy năng suất dự định là 100 sản phẩm/ngày.
4. Bài 3 (2 điểm). x 3 2 y 1 5 1. Giải hệ phương trỡnh: . 3 x 3 y 1 1 x2 2. Cho parabol P : y ; đường thẳng (d) đi qua điểm C(0; 2) và cú hệ số gúc là m 2 a) Xỏc định đường thẳng (d) và chứng minh đường thảng (d) luụn cắt parabol (P)tại hai điểm phõn biệt với mọi giỏ trị của m . b) Gọi giao điểm của (d) và (P) là A;B .Tớnh diện tớch tam giỏc AOB theom (O là gốc tọa độ). Lời giải x 3 2 y 1 5 1) Giải hệ phương trỡnh: 3 x 3 y 1 1 ĐK: x 3 ; y 1 x 3 2 y 1 5 x 3 2 y 1 5 3 x 3 y 1 1 6 x 3 2 y 1 2 7 x 3 7 x 3 1 3 x 3 y 1 1 3.1 y 1 1 x 3 1 x 2 x 2(tm) y 1 2 y 1 4 y 5(tm) Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất (x;y)=(-2;5) 2) a. Gọi phương trỡnh đường thẳng (d) , hệ số gúc là m cú dạng: y mx b m 0 . Vỡ (d) đi qua điểm C(0; 2) 2 m.0 b b 2 . Vậy d : y mx 2 . Xột phương trỡnh hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x2 mx 2 2 x2 2mx 4 0 (1) Ta cú: ' b'2 ac m2 4 0 m. Nờn phương trỡnh 1 luụn cú hai nghiệm phõn biệt với mọi giỏ trị của m. Vậy đường thẳng (d) luụn cắt parabol (P) tại hai điểm phõn biệt với mọi giỏ trị của m. x2 b. Vẽ P : y . 2 x 2 1 0 1 2 x2 2 1 0 1 2 y 2 2 2
5. 4 2 x2 O x1 15 10 5 5 10 15 A H 2 C 4 B K (P) d 6 8 10 Dễ thấy đường thẳng (d) luụn đi qua một điểm cố định C(0; 2) x2 x2 Gọi A(x ; 1 ); B(x ; 2 ) lần lượt là giao điểm của (d) và (P) 1 2 2 2 Nhận thấy a.c 4 0 nờn phương trỡnh 1 cú hai nghiệm trỏi dấu Suy ra Anằm,B về hai phớa của trục Oy Gọi H,K lần lượt là hỡnh chiếu của A,B trờn Oy H(0;y1 ); K(0;y2 ) . S AOB S AOC S COB OC.AH OC.BK S AOB 2 2 2 x 2 x S 1 2 AOB 2 2 S AOB x1 x2 Đặt T= x1 x2 2 2 2 T x1 2 x1.x2 x1 2 2 T (x1 x2 ) 2x1.x2 2 x1.x2 x1 x2 2m Theo hệ thức Vi-et x1.x2 4 2 Thay hệ thức Vi-et vào ta có T2 = 2m -2 4 +2 4 T2 4m2 +16 T 2 m2 4 2 S AOB 2 m 4
6. 2 Vậy S AOB 2 m 4 Bài 4 (3,5 điểm). Cho ΔABC cú ba gúc nhọn nội tiếp đường trũn (O;Rđường) cao AH của ΔABC . Gọi E,F lần lượt là hỡnh chiếu của H lờn AB,AC . 1) Chứng minh tứ giỏc AEHF nội tiếp. 2) Chứng minh rằng: AE.AB=AF.AC . 3) Kẻ đường cao AK của (O) , AK cắt EF tại I . Chứng minh AK vuụng gúc với EF. 4) Cho AH = R 2 . Chứng minh E,O,F thẳng hàng. Lời giải A O F I E B H C K 1) Xột tứ giỏc AEHF cú: à EH = 900 (HE  AB) à FH = 900 (HF  AC) à EH+à FH = 1800 Mà hai gúc nay ở vị trớ đối diện nhau Tứ giỏc AEHF nội tiếp. 2) Xột AHB vuụng tại H , đường cao HE cú: AH2 AE.AB 1 Xột AHC vuụng tại H , đường cao HF cú: AH2 AF.AC 2 Từ 1 và 2 suy ra AE.AB=AF.AC 3) Vỡ tứ giỏc AEHF nội tiếp nờn à EF à HF (2 gúc nội tiếp cựng chắn cung AF) Mà à CB à HF (cựng phụ với Fã HC) suy ra à EF à CB (1) Trong (O) cú à CB à KB (2 gúc nội tiếp cựng chắn cung AB) (2) Từ (1) và (2) suy ra à KB à EF ã ã 0 ã ã 0 Vỡ AEF FEB 180 ( 2 gúc kề bự) suy ra AKB FEB 180
7. Nờn tứ giỏc BEIK nội tiếp( 2 gúc này ở vị trớ đối diện nhau) Vỡ Eã BK 900 Eã IK 900 hay AK vuụng gúc với EF. 4) A Q F O E P B H C K Gọi P,Q là giao điểm của EO với O Áp dụng hệ thức lượng trong AHB vuụng tại H , ta cú: EA.EB EH2 Lại cú: EA.EB EQ.EP EQ.EP EH2 Ta cú: EQ.EP R OE R OE R 2 OE2 EH2 R 2 OE2 AH2 AE2 R 2 OE2 2R 2 AE2 R 2 OE2 R 2 AE2 OE2 Hay AE2 R 2 OE2 AE2 OA2 OE2 AOE vuụng tại O . OE  OA Tương tự ta cú: OF  OA Nờn OE  OF . Vậy E,O,F thẳng hàng. Bài 5 (0,5 điểm). Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức M x x 2 2 x 1 10. Lời giải M x x 2 2 x 1 10 Ta cú 2M 2x 2 x 2 4 x 1 20 2M 2x 2 x 2 4 x 1 20 x 2 2 x 2 1 x 1 4 x 1 4 22 2 2 2M x 2 1 x 1 2 22 22 M 11
8. x 2 1 x 2 1 x 3 Suy ra giỏ trị lớn nhất của M là 11 khi và chỉ khi x 3 . x 1 2 x 1 4 x 3