Đề thi sơ tuyển lần 1 - Môn Tóan 9

Nội dung text: Đề thi sơ tuyển lần 1 - Môn Tóan 9

1. GỬI CÁC EM ĐÁP ÁN ĐỀ THI SƠ TUYỂN LẦN 1 NĂM HỌC 2021-2022 Câu 1. (4 điểm) 2 2 a) Tìm các số tự nhiên dạng ab biết ab ba là số chia hết cho 3267. b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn:3(x 2y 1)(6x y 2) 11y 8. Câu 2. (6 điểm) 3 5 3 5 a) Rút gọn biểu thức: M 2 2 b) Giải phương trình: x2 7x 30 6 x 5. Câu 3. (2 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z 2. x2 y2 z2 Tìm GTNN của biểu thức: P . y z z x x y Câu 4. (6 điểm) Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. a) Cho AB = 9cm, AC = 12cm. Tính MN. b) Chứng minh: AM.AB = AN.AC. AC3 NC c) Chứng minh: . AB3 MB Câu 5. (2 điểm) Cho ∆ABC. Vẽ đường thẳng d bất kì (không qua điểm A) cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại M, N sao AB AC cho 3. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định. AM AN HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. (4 điểm) 2 2 a) Tìm các số tự nhiên dạng ab biết ab ba là số chia hết cho 3267. b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn:3(x 2y 1)(6x y 2) 11y 8. Giải: 2 2 a) Từ bài ra ta có: ab ba m.3267 (m Z) ab ba ab ba m.9.11.33 9a 9b 11a 11b m.9.11.33 9.11 a b)(a b m.9.11.33 a b a b m.3.11.
2. Do a - b < a < 11 nên a + b = 11 và a - b = 3m (chia hết cho 3). Ta chọn được (a, b) = (7; 4) và (a, b) = (4; 7) Vậy số cần tìm là 74 và 47. b) 3(x 2y 1)(6x y 2) 11y 8. 18x2 6y2 39xy 24x 4y 2 3x 6y 4 6x y 2 Đến đây các em tự giải Câu 2. (6 điểm) 3 5 3 5 a) Rút gọn biểu thức: M 2 2 b) Giải phương trình: x2 7x 30 6 x 5. Giải: a) 3 5 3 5 6 2 5 6 2 5 M 2 2 4 4 1 2 1 2 1 1 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 b) ĐKXĐ: x 5. x2 7x 30 6 x 5 x2 8x 16 x 5 6 x 5 9 0 2 x 4 2 x 5 3 0 x 4 0 x 4 (tm) x 5 3 0 Câu 3. (2 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z 2. x2 y2 z2 Tìm GTNN của biểu thức: P . y z z x x y Giải: Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số ta có: x2 y z x2 y z x2 y z 4x y z 2 . x x y z 4 y z 4 y z 4 4
3. x2 4x y z (1) (dấu "=" xảy ra khi 4x2 (y z)2 ) y z 4 y2 4y z x Tương tự, (2) (dấu "=" xảy ra khi 4y2 (z x)2 ) z x 4 z2 4z x y (3) (dấu "=" xảy ra khi 4z2 (x y)2 ) x y 4 Cộng theo vế 3 BĐT trên ta được: x2 y2 z2 4x y z 4y z x 4z x y 2(x y x) x y z P y z z x x y 4 4 4 4 2 2 P 1 2 2 Dấu "=" xảy ra khi các BĐT (1), (2), (3) xảy ra dấu "=" và x y z 2 x y z . 3 2 Vậy GTNN của P là 1 khi x y z . 3 Câu 4. (6 điểm) Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. a) Cho AB = 9cm, AC = 12cm. Tính MN. b) Chứng minh: AM.AB = AN.AC. AC3 NC c) Chứng minh: . AB3 MB Giải: A a) Tứ giác ANHM có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật MN = AH. N ∆ABC vuông tại A có AH là đường cao nên: M 1 1 1 B H C AH 2 AB2 AC 2 2 2 1 1 1 144 81 225 15 5 Suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 AH 9 12 9 .12 9 .12 (9.12) 108 36 1 5 36 36 AH MN cm AH 36 5 5 b) ∆AHB vuông tại H có HM là đường cao nên: AH 2 AM.AB. ∆AHC vuông tại H có HN là đường cao nên: AH 2 AN.AC Từ hai kết quả trên suy ra: AM.AB AN.AC (đpcm) c)
4. ∆ABC vuông tại A có AH là đường cao nên: AC 2 CH AC 4 CH 2 AC 2 CH.BC; AB2 BH.BC (1) AB2 BH AB4 BH 2 ∆AHB vuông tại H có HM là đường cao nên: CH 2 NC.AC (2) ∆AHC vuông tại H có HN là đường cao nên: BH 2 MB.AB (3) AC 4 CH 2 NC.AC AC3 NC Từ (1), (2) và (3) suy ra: (đpcm) AB4 BH 2 MB.AB AB3 MB Câu 5. (2 điểm) Cho ∆ABC. Vẽ đường thẳng d bất kì (không qua điểm A) cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại M, N sao AB AC cho 3. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định. AM AN Chứng minh: A Kẻ đường trung tuyến AI của ∆ABC (I là trung điểm của BC) Gọi G là giao điểm của đường thẳng d với AI (G nằm giữa A và I) N G Qua B và C kẻ các đường thẳng song song với M D đường thẳng d, các đường thẳng này lần lượt cắt d đường thẳng AI tại D và E (không mất tính tổng B I C quát, giả sử D nằm giữa A và I) E Ta có ∆BDI = ∆CEI (g.c.g) suy ra DI = IE AD + AE = AI - ID + AI + IE = 2AI Áp dụng định lí Ta-lét vào các tam giác ABD và AEC ta có: AB AD AC AE AB AC AD AE AD AE 2AI ; AM AG AN AG AM AN AG AG AG AG AB AC 2AI 2 Mà theo bài ra 3 , suy ra 3 AG AI AM AN AG 3 2 Do G nằm giữa A, I và AG AI nên G là trọng tâm của ∆ABC 3 Suy ra G là điểm cố định. Vậy đường thẳng d luôn đi qua trọng tâm G (cố định) của ∆ABC.