Đề thi olympic học sinh giỏi - Môn: Toán lớp 7

Nội dung text: Đề thi olympic học sinh giỏi - Môn: Toán lớp 7

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC HỌC SINH GIỎI HUYỆN THANH OAI Môn : Toán Lớp 7 Thời gian làm bài 120 phút (Đề khảo sát gồm 01 trang) a c Câu 1:( 5điểm): Cho chứng minh rằng: c b a c c b a2 c2 a b2 a2 b a a) b) b) a c c b b2 c2 b a2 c2 a Câu 2: (2 điểm): Tìm x; y biết: 1+3y 1+5y 1+7y 12 5x 4x Câu 3:(4 điểm) 1 1 1 1 1 1 a).Chứng minh rằng : . 6 52 62 72 1002 4 2a 9 5a 17 3a b) Tìm số nguyên a để: là số nguyên. a 3 a 3 a 3 Câu 4: (2 điểm): Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: x 1996 A 1997 Câu 5: (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc C=300, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD=HB. Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh: a) Tam giác ABD là tam giác đều. b) AH = CE. c) EH song song với AC. Hết (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
2. PHÒNG GD&ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 7 Câu 1:( 5điểm) a) Từ a c a c a c c b c b c b (0,5điểm) a c c b a c c b (0,5điểm) a c b) Từ suy ra c2 a.b c b (0,5điểm) a2 c2 a2 a.b khi đó (0,5 b2 c2 b2 a.b điểm ) a(a b) a = ( 1 điểm) b(a b) b a2 c2 a b2 c2 b c) Theo câu b) ta có: (0,5điểm) b2 c2 b a2 c2 a b2 c2 b b2 c2 b từ 1 1 (0,5điểm) a2 c2 a a2 c2 a b2 c2 a2 c2 b a hay (0,5điểm) a2 c2 a b2 a2 b a vậy (0,5điểm) a2 c2 a Câu 2: (2điểm)Tìm các số x;y biết. 1+3y 1+5y 1+7y 12 5x 4x Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 (0,5điểm) 2 y 2 y => x 5x 12 => -x = 5x -12 => x = 2. Thay x= 2 vào trên ta được (0,5điểm)
3. 1 3y 2y y 12 2 (0,5điểm) =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y =>y= 1 (0,5điểm) 15 Vậy x = 2, y = 1 thỏa mãn đề bài. 15 Câu 3:(4 điểm) 1 1 1 1 a). §Æt : A = 52 62 72 1002 Ta cã : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 * A . 5.6 6.7 99.100 100.101 5 101 6 (0,75điểm) 1 1 1 1 1 1 Vậy: 6 52 62 72 1002 4 (0, 5điểm) 2a 9 5a 17 3a 4a 26 b. Ta cã : = = a 3 a 3 a 3 a 3 4a 12 14 4(a 3) 14 14 = 4 là số nguyên a 3 a 3 a 3 (1 điểm) Khi đó (a + 3) là ước của 14 mµ ¦(14) = 1; 2; 7; 14 . Ta có : a = -2;- 4;- 1; - 5; 4 ; - 10; 11 ; -17. (1 điểm) Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: x 1996 A 1997 A < 0 với mọi giá trị của x nên A đạt giá trị lớn nhất khi A đạt giá trị nhỏ nhất
4. x 1 9 9 6 x 1 9 9 6 A 1 9 9 7 1 9 9 7 ( 1 điểm) x 0  x n ê n x 1 9 9 6 1 9 9 6 1996 Vậy A nhỏ nhất bằng khi x=0 1997 (0,5 điểm) 1996 1996 Suy ra GTLN của A = khi x=0 (0,5 điểm) 1997 1997 Câu 5: (7 điểm) A D 0 B 30 C H E Vẽ hình ghi GT,KL (0,5điểm) Chứng minh: a) (2điểm) Tam giác ABD có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác ABD cân ở A. Lại có :  B = 900 – 300 = 600 nên tam giác ABD là tam giác đều. b) (2 điểm) EAC BAC BAD 900 600 300 ACH AHC CEA (cạnh huyền –góc nhọn) Do đó AH=CE c) (2,5 điểm) AHC CEA (cmt)nên HC=EA
5. 0 ADC cân ở D vì có ADC DCA( 30 )nên DA=DC Suy ra : DE=DH.Tam giác DEH cân ở D. Hai tam giác cân ADC và DEH có ACD DHE (haiAD Cgóc  đốiED Hđỉnh).do đó Ở vị trí so le trong, suy ra EH // AC. *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó.