Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Quỳnh Vinh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Quỳnh Vinh (Có đáp án)

1. Trường THCS Quỳnh Vinh ĐÁP ÁN HSG THỊ XÃ HOÀNG MAI 18-19 Câu 2: a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: 2x2 y2 3xy 3x 2y 2 0 Giải: 2x2 y2 3xy 3x 2y 2 0 2 3 1 2 x y 1 x 1 0 2 4 x y 1 2x y 1 1 Xét các trường hợp ta được kết quả: (x; y) = (-2; 2) và (x; y) = (2; -4) x3 b) Giải phương trình: x2 16 0 16 x2 Điều kiện: - 4 < x < 4. Ta có: x3 3 x2 16 0 x3 16 x2 0 16 x2 x 16 x2 x2 x 16 x2 16 x2 0 x 16 x2 0 (x2 x 16 x2 16 x2 0) x 16 x2 x 2 2 (tm) Câu 3: a) Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh a, b, c và có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng a 2 b2 c2 2abc 2 Đặt x = a + b - c; y = b + c - a; z = c + a - b. x z x y y z a ; b ; c và x + y + z = a + b + c = 2 2 2 2 Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên x, y, z là các số dương. x z 2 x y 2 y z 2 x z x y y z Ta có: a 2 b2 c2 2abc 2. 4 4 4 2 2 2 2 y 2 2 z 2 2 x 2 2 y 2 z 2 x 4 4 4 4 4 4y y2 4 4z z2 4 4x x2 8 4x 4y 4z 2xy 2yz 2zx xyz 4 20 8(x y z) (x y z)2 xyz 20 8.2 22 xyz 8 xyz xyz 2 2 4 4 4 4 Câu 4: Cho ba điểm S, C, D cố định nằm trên một đường thẳng và theo thứ tự đó. Đường tròn (O; R) thay đổi nhưng luôn đi qua C và D. Từ S kẻ các tiếp tuyến SA, SB Giáo viên: Hồ Xuân Chiến Page 1
2. Trường THCS Quỳnh Vinh với (O) (A, B là các tiếp điểm. Đường thẳng AB cắt SO và CD lần lượt tại H và I. Gọi E là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: a) SA2 = SC.SD b) AC.BD = BC.AD. c) Khi (O) thay đổi, tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆OEH nằm trên một đường thẳng cố định. B Chứng minh: a) (Sử dụng định lí Py-ta-go) H O E là trung điểm của CD nên OE CD và EC M = ED S C N E D Ta có: SC.SD = (SE - CE)(SE + ED) I = (SE - CE)(SE + CE) A = SE2 - CE2 = SO2 - CO2 = SO2 - OA2 = SA2. b) Từ SA2 = SC.SD suy ra ∆SCA ∽ ∆SAD (c.g.c) CA SA (1) AD SD Do SA = SB nên SB2 = SC.SD suy ra ∆SCB ∽ ∆SBD (c.g.c) CB SB (2) BD SD CA CB Từ (1), (2) và SA = SB suy ra: AD.CB AC.BD AD BD c) Ta chứng minh được SO  AB tại H suy ra: ∆SHI ∽ ∆SEO SH SI SI.SE SH.SO. Mà SH.SO = SA2(Do ∆SAO vuông tại A) SE SO SC.SD Suy ra SI.SE = SA2 = SC.SD SI SI có độ dài không đổi SE I là điểm cố định IE có độ dài không đổi. Gọi M là trung điểm của OI, N là trung điểm của IE MN là đường trung bình của ∆IOE MN // OE. Mà đường thẳng OE cố định và N cố định nên đường thẳng MN là cố định, hay M nằm trên một đường thẳng cố định. (3) Ta chứng minh được 4 điểm H, O, E, I cùng thuộc đường tròn tâm M đường kính OI M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OEH (4) Từ (3) và (4) suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OEH nằm trên một đường thẳng cố định. 1 1 Câu 5: Cho 1 x y 2 . Tìm GTLN của M = x y x y Giáo viên: Hồ Xuân Chiến Page 2
3. Trường THCS Quỳnh Vinh Chứng minh: 1 1 x y Ta có: M x y 2 x y y x Từ 1 x y 2 suy ra: * 1 x và y 2 1 + y x + 2 y - x 1 (1) y * (x - 1)(x - y) 0 x2 - xy - x + y 0 y x 1 (2) x x x y * (y - 2)(y - x) 0 y2 - xy - 2y + 2x 0 1 (3) y 2 2 x y x y Cộng theo vế (2) và (3) ta được: y x 1 1 y x 2 2 x y y x x y y x 2 2 4 y x 2 y x 2 x y 1 9 9 Kết hợp với (1) ta được 2 4 . Hay M y x 2 2 2 Dấu " = " xảy ra khi 3 bất đẳng thức (1), (2) và (3) đồng thời xảy ra dấu bằng. Ta tìm được x = 1 và y = 2. 9 Vậy GTLN của M là khi x = 1 và y = 2. 2 Giáo viên: Hồ Xuân Chiến Page 3