Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD & ĐT Phù Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD & ĐT Phù Ninh (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN: TOÁN Thời gian: 135 phút không kể thời gian giao đề Đề thi có: 03 trang I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời đúng và ghi vào Tờ giấy thi (Ví dụ: 1 - D) Câu 1. Nếu phương trình 1 x 2 m 0 có nghiệm thì giá trị của m là: A. 0; B. 1; C. - 1; D. - 2. Câu 2. Gọi a là nghiệm của phương trình: x 1 x 5 3 1 x 0 với x 1 thì a2 a bằng: A. 10; B. 12; C. 14; D. 16. 2 Câu 3. Cho hàm số bậc nhất: y = x 1 . Tìm m để hàm số đồng biến trong R, ta m 1 có kết quả là : A. m -1 B. m -1 C. m -1 Câu 4. Cho hàm số y 2x 5 . Kết luận nào sau đây là sai ? A) Đồ thị cắt trục tung tại điểm .;M(0; 5) 5 B) Đồ thị cắt trục hoành tại điểm .N( ;0) 2 C) Các điểm Ethuộc( 5;4 đồ5 )thị,F( hàm1;2 số.5) D) Các điểm G( 2;2 2 5),H(1; 5 2) không thuộc đồ thị hàm số. Câu 5. Phương trình 4x2 1 có nghiệm là: 1 1 1 1 A) x B) x C) x D) x 4 2 2 2 x y xy 5 Câu 6. Giải hệ phương trình 2 2 . Tập nghiệm của hệ phương trình là? x y 5 A. S 2;3 ; 3;2  B. S 3;2 ; 5;10  C. S 1;2 ; 2;1  D. S 2;5 ; 5;2  Câu 7. Biết rằng phương trình 3x 2 - 4x + mx = 0 (m là tham số) có nghiệm nguyên dương bé hơn 3. Khi đó giá trị của m là: A. - 1 B. 1 C. - 2 D. 2 Câu 8. Cho ABC có điểm M trên cạnh AC . Kẻ MN song song với BC N AB , kẻ 2 2 MP song song với AB P BC . Biết SAMN 4 cm ;SCMP 9 cm . Tính SABC ? A. 16 cm2 B. 25 cm2 C. 32 cm2 D. 50 cm2 Câu 9. Cho tam giác ABC có AB = 10cm; AC = 15cm. Một đường thẳng đi qua M thuộc cạnh AB và song song với BC, cắt AC ở N, sao cho AN = BM, khi đó độ dài của đoạn AM là: A. 3cm B. 6cm C. 5cm D. 4cm 1
2. Câu 10. Một tam giác vuông có cạnh góc vuông lớn dài gấp 3 lần cạnh góc vuông nhỏ và diện tích là 24 cm2 khi đó số đo cạnh huyền là A. 13 cm B. 12 cm C. 410 D. 2 10 Câu 11. Cho tam giác ABC có Â = 900, AH vuông góc với BC, sinB = 0,6. Kết quả nào sau đây là sai: A) cos C = AH ; B) cos C = sin HAC; C) cos C = 0,6 ; D) cos C = CH AC AC Câu 12. Cho Đường tròn (O;R) . Một dây cung của đường tròn có độ dài bằng bán kính R . Khoảng cách từ tâm O đến dây cung nầy là : ( Chọn câu đúng ) 2 3 A. R2 ; B. R. ; C. R. ; D. R.3 2 2 Câu 13. Cho (O; 6cm). Từ M nằm ngoài đường tròn tâm O dựng tiếp tuyến MA với đường tròn tâm O, A là một tiếp điểm. MA = 10 cm thì khoảng cách từ M đến O là: A. 8 cm B. 234 cm C. 34 cm D. 334 cm Câu 14. Cho (O ; 3cm) và (O’ ; 2cm) ở ngoài nhau, OO’ = 10 cm. Điểm M nằm ở bên ngoài hai đường tròn sao cho các đoạn tiếp tuyến kẻ từ M đến (O) và (O ’) bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của M trên OO’. độ dài của đoạn HO là : A. 4,75 cm B. 5 cm C. 5,25 cm D. 5,5 cm Câu 15. Cho ABC vuông tại A , đường cao AH. Gọi (O;r) , (O1;r1) , (O2 ;r2 ) theo thứ tự là các đường tròn nội tiếp các ABC, ABH, ACH. Khẳng định nào sau đây là đúng: A. O, O1, O2 thẳng hàng B. r r1 r2 AH 2 2 2 C. r1 r2 r D. Cả ba khẳng định trên đều sai. Câu 16. Ba bạn học sinh Nam, Bắc, Trung làm bài kiểm tra môn Toán đạt các điểm khác nhau là 8, 9, 10. Biết rằng trong 3 mệnh đề: a) Nam đạt điểm 10; b) Bắc không đạt điểm 10; c) Trung không đạt điểm 9. Chỉ có một mệnh đề đúng. Khi đó điểm kiểm tra Toán của từng bạn là: A. Bắc 10, Trung 9, Nam 8 B. Bắc 10, Trung 8, Nam 9 C. Bắc 8, Trung 9, Nam 10 D. Không xác định được. II. PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu 1. (3,0 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 b) Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương Câu 2. (3,5 điểm) a) Giải phương trình: x2 2015x 2014 2 2017x 2016 . 1 1 1 1 b) Cho x, y, z thỏa mãn : 1 . x y z x y z Tính giá trị của biểu thức B x21 y21 y11 z11 z2017 x2017 . Câu 3. (4,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Gọi A là một điểm cố định trên nửa đường tròn (A B;C ), D là điểm chuyển động trên AC. Hai đoạn thẳng BD và AC cắt nhau tại M, gọi K là hình chiếu của M trên BC. 2
3. a) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK. b) Chứng minh rằng BM.BD + CM.CA không đổi khi D di chuyển trên AC. c) Khi D di chuyển trên AC ( D C), chứng minh đường thẳng DK luôn đi qua một điểm cố định. Câu 4. (2,0 điểm) 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 2x + 1 4x 5x 2 với -1 ≤ x ≤ 5 Hết . . Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm./ Họ và tên thí sinh: SBD: 3
4. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO PHÙ NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN: TOÁN I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời đúng cho 0,5 điểm Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án A B C C,D C C B,C B D C A C A C B,C B II. PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu 1. (3,0 điểm) a) Với n = 0 ta có A(0) = 19  19 Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k  19 0,25 Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + 1 nghĩa là phải chứng 0,25 minh: 0,25 A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1  19 Ta có: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 = 7.52k.52 + 12.6n. 6 = 7.52k.6 + 7.52k .19 + 12.6n. 6 0,50 = 6.A(k) + 7.52k .19  19 0,25 Vậy theo nguyên lý quy nạp thì A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên n n 24 k 2 b) Ta có: 2 0,25 n 65 h 2 2 k 24 h 65 0,25 k h k h 89 1.89 0,25 k h 89 k 45 k h 1 h 44 0,50 Vậy: n = 452 – 24 = 2001 0,25 Câu 2. (3,5 điểm) a) Giải phương trình: x2 2015x 2014 2 2017x 2016 2016 Điều kiện x 2017 Phương trình đã cho tương đương với x2 2x 1 2017x 2016 2 2017x 2016 1 0 2 x 1 2 2017x 2016 1 0 x 1 0 2017x 2016 1 0 1,0 4
5. x 1 2017x 2016 1 x 1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy x 1 là nghiệm của phương trình đã cho. 0,75 1 1 1 1 b) Cho x, y, z thỏa mãn : 1 . x y z x y z Tính giá trị của biểu thức B x21 y21 y11 z11 z2017 x2017 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: : 1 x y z 1 x y z x y z x y z (yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz xyz + zy2 + yz2 + zx2 + xyz + xz2 + yx2 + xy2 + xyz = xyz (xyz + zx2 + xy2+ yx2)+ (zy2 + yz2 + xz2 + xyz) = 0 x(yz + zx + y2+ yx)+ z(y2 + yz + xz + xy) = 0 1,0 x y 2 (yz + zx + y + yx)( x+ z) = 0 (x y)(y z)(x z) 0 y z z x Thay vào B tính được B = 0 0,75 Câu 3. (4,0 điểm) D A M a. Tứ giác MKCD nội tiếp MDK MCK 0,25 ADB ACB B K O (haiC góc nội tiếp (O) cùng chắn AB ) MDK MDA hay DM 0,25 là phân giác của tam giác ADK. Tương tự chứng minh được AM là phân giác của tam giác 0,5 ADK. Vậy M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK 5 I
6. b. Hai tam giác BMK và BCD đồng dạng BM BC 0,5 BM.BD BK.BC BK BD Tương tự ta có CM.CA CK.CB 0,25 BM.BD CM.CA BK.BC CK.BC BC2 0,25 Do BC không đổi, vậy BM.BD CM.CA không đổi khi D 0,5 chuyển động trên cung AC c. Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt DK tại I. 0,25 AI // MK IAC KMC 0,25 Lại có tứ giác MDCK nội tiếp KMC KDC . 0,5 Vậy IAC IDC tứ giác ADCI nội tiếp hay I đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC I O cố định, mà I đường 0,5 thẳng qua A cố định, vuông góc với BC cố định. Vậy I cố định hay DK qua I cố định. Câu 4. (2,0 điểm) A 2x 1 4x 5x 2 = 2x + (x 1)(1 5x) 0,5 với 1 x 1 có (x 1) 0 và 1 5x 0 0,25 Áp dụng bất 5 đẳng thức cosi cho hai số (x 1) và 1 5x không âm 0,5 (x 1) (1 5x) Có (x 1)(1 5x) 1 2x A 2 x 1 2 x A 1 2 0,25 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 (x 1) 1 5x 6x 0 x 0 thỏa điều kiện 1 x 0,25 Vây giá trị lớn nhất của A là 1 đạt được khi x 0 0,25 5 Hết . 6