Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2013 – 2014 MễN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phỳt (Đề này gồm 5 cõu, 1 trang) Cõu 1 (2 điểm) a) Biểu thức sau là hữu tỉ hay vụ tỷ: A = 6 24 12 8 3 1 b) Chứng minh rằng B= (n4 6n3 11n2 6n)  24 với mọi n N Cõu 2 (2 điểm) 1 5 x 2 Cho biểu thức: P x 2 x x 6 3 x a) Rỳt gọn biểu thức P. b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của P Cõu 3 (2 điểm) a) Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 –2a –2b +2016. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của M. b) Giải phương trỡnh: x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2 Cõu 4 (3 điểm) : Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Qua I dựng đường thẳng vuông góc với IA cắt AB, AC tại M và N. Chứng minh rằng : BM BI 2 a) b) BM.AC + CN.AB + AI2 = AB.AC CN CI 2 Cõu 5 (1 điểm) x 2 y 2 Cho x.y = 1 và x >y. Chứng minh : 2 2 x y Hết
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2013 - 2014 MễN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 2 trang) Cõu Đỏp ỏn Điểm Ta cú: A 6 24 12 8 3 1 6 2 6 2 3 2 2 3 1 0,5 (1 2 3)2 3 1 2 2 là số vụ tỉ Vậy A là số vụ tỉ 0,5 b) Biến đổi biểu thức về dạng: B n4 6n3 11n2 6n n4 n3 5n3 5n2 6n2 6n Cõu 1 3 2 0,25 (2 điểm) n (n 1) 5n (n 1) 6n(n 1) (n 1)(n3 5n2 6n) n(n 1)(n2 5n 6) n(n 1)(n 2)(n 3) 0,25 Tớch này cú 4 số tự nhiờn liờn tiếp Cú n(n+1) là tớch 2 số nguyờn liờn tiếp nờn chia hết cho 2, và n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 và n(n+1)(n+2)(n+3) chia hết cho 4 0,25 nờn chia hết cho 8 Mà (3, 8)= 1. Do đú B 24 0,25 a) ĐK: x 0; x 9 0,25 x 4 Rỳt gọn được P = x 2 0,75 Cõu 2 x 4 2 (2 điểm) b) Ta cú P = 1 0,5 x 2 x 2 2 P max max x 2 min x=0 0,25 x 2 Vậy giỏ trị lớn nhất của P là 2 khi x=0 0,25 a) Cú 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.2013 ≥2. 2013 0,25 M ≥ 2013 0,25 a b 2 0 Cõu 3 Dấu " = " xảy ra khi a 1 0 a = b = 1 (2 điểm) 0,25 b 1 0 Vậy min M = 2013 a = b = 1. 0,25 5 b) ĐK: x 0,25 2 Nhõn 2 vế của pt với 2 , ta được : 0,25
3. 2x 5 3 2x 5 1 4 5/2 ≤ x ≤ 3 0,25 Kết luận 0,25 A 0,25 Cõu4 (3 điểm) N M I B C a) I là tâm đường tròn nội tiếp ABC AI là phân giác àA ; 0,25 1 1 MN  AI ãAMI 900 àA (Bà Cà ) 2 2 0,25 1 1 ãAMI Mã IB Bà Mã IB Cà 2 2 0,25 BM BI BMI : BIC BI 2 BM.BC (1) 0,25 BI BC Tương tự CI 2 CN.CB (2) 0,25 BM BI 2 0,25 Từ (1) và (2) suy ra CN CI 2 b) Từ chứng minh trờn BMI : INC BM MI BM.CN MI.NI 0,25 IN NC 0,25 Mà AMN cân IM = IN BM.CN = IM2 Xột AIM cú: AI2+ IM2 = AM2 0,25 IM 2 AM 2 AI 2 BM.CN AM 2 AI 2 AM.AN AI 2 0,25 =(AB-BM)(AC- CN) – AI2 = AB.AC-AB.CN- BM.AC+BM.CN-AI2 BM.AC +CN.AB +AI2 = AB.AC (đpcm) 0,25 Vỡ x > y nờn x - y > 0 nờn bất đẳng thức: x2 y2 2 2 x y 0,25 Cõu5 x2 y2 2 2x 2 2y 0 (1 điểm) 0,25 x2 y2 2 2 2x 2 2y 2 0 2 x2 y2 2 2 2x 2 2y 2xy 0 xy 1 2xy 2 0,25 2 x y 2 0 Điều này luụn đỳng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh 0,25