Đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 9 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 9 (Có đáp án)

1. Kỡ thi : Học sinh giỏi Cõu 1 (2 điểm). 1 1 x2 . (1 x)3 (1 x)3 a) Rỳt gọn biểu thức A với . 1 x 1 2 1 x2 b) Cho a và b là cỏc số thỏa món a > b > 0 và a3 a2b ab2 6b3 0 . a4 4b4 Tớnh giỏ trị của biểu thức B . b4 4a4 Cõu 2 (2 điểm). a) Giải phương trỡnh x2 (x2 2) 4 x 2x2 4. x3 2x y b) Giải hệ phương trỡnh . 3 y 2y x Cõu 3 (2 điểm). a) Tỡm cỏc số nguyờn dương x, y thỏa món phương trỡnh xy2 2xy x 32y . b) Cho hai số tự nhiờn a, b thỏa món 2a2 a 3b2 b . Chứng minh rằng 2a 2b 1 là số chớnh phương. Cõu 4 (3 điểm). Cho tam giỏc đều ABC nội tiếp đường trũn (O, R). H là một điểm di động trờn đoạn OA (H khỏc A). Đường thẳng đi qua H và vuụng gúc với OA cắt cung nhỏ AB tại M. Gọi K là hỡnh chiếu của M trờn OB. a) Chứng minh Hã KM 2Ã MH. b) Cỏc tiếp tuyến của (O, R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O, R) lần lượt tại D và E. OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G. Chứng minh OD.GF = OG.DE. c) Tỡm giỏ trị lớn nhất của chu vi tam giỏc MAB theo R. Cõu 5 (1 điểm). Cho a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món 2ab 6bc 2ac 7abc . Tỡm giỏ 4ab 9ac 4bc trị nhỏ nhất của biểu thức C . a 2b a 4c b c Hết ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM Cõu Nội dung Điểm
2. 1 1 x2 . 1 x 1 x 2 1 x2 A 0.25 2 1 x2 Cõu 2 1a: 1 1 x . 1 x 1 x 0.25 (1,0 đ) 2 1 1 x2 1 x 1 x 1 1 x2 2 2 1 x2 0.25 2x2 = x 2 0.25 3 2 2 3 2 2 a a b ab 6b 0 (a 2b)(a ab 3b ) 0 (*) 0.25 2 2 Vỡ a > b > 0 a ab 3b 0 nờn từ (*) ta cú a = 2 b 0.25 Cõu a4 4b4 16b4 4b4 1b: B Vậy biểu thức 4 4 4 4 0.25 (1,0 đ) b 4a b 64b 12b4 4 B 63b4 21 0.25 t 2 0.25 Đặt t x 2x2 4 t 2 2 x4 2x2 x2 x2 2 2 2 t 2 t 4 ta được phương trỡnh 4 t t 2t 8 0 0.25 2 t 2 x 0 x 0 x 2x2 4 4 Với t = -4 ta cú 4 2 4 2 Cõu 2 x 2x 16 x 2x 8 0 0.25 2a: x 0 x 2 (1,0 đ) 2 x 2 x 0 x 0 x 2x2 4 2 Với t =2 ta cú 4 2 4 2 2 x 2x 4 x 2x 2 0 0.25 x 0 x 3 1 . Kết luận nghiệm của phương trỡnh. 2 x 3 1 Từ hệ ta cú x3 (2y x) y3 (2x y) (x2 y2 ) 2xy x2 y2 0 0.25 3 x y 0.25 (x y) (x y) 0 Cõu x y 2b: * Với x = y ta tỡm được (x ; y) = (0; 0); (3; 3 );( 3; 3 ) 0.25 (1,0 đ) * Với x = - y ta tỡm được (x ; y) = (0; 0); (1; 1 );( 1;1 ) Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm 0.25 (x ; y) = (0; 0); (3; 3 );( 3; 3 );( 1;1 );(1; 1 ) Cõu xy2 2xy x 32y x(y 1)2 32y 0.25
3. 3a: 32y Do y nguyờn dương y 1 0 x (1,0 đ) (y 1)2 Vỡ (y, y 1) 1 (y 1)2 U (32) 0.25 mà 32 25 (y 1)2 22 và (y 1)2 24 (Do (y 1)2 1 ) 0.25 *Nếu (y 1)2 22 y 1; x 8 *Nếu (y 1)2 24 y 3; x 6 Vậy nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh là: 0.25 x 8 x 6 và y 1 y 3 2a2 a 3b2 b (a b)(2a 2b 1) b2 (*) 0.25 Gọi d là ước chung của (a - b, 2a + 2b + 1) (d Ơ * ). Thỡ (a b)d 2 a b 2a 2b 1 d 0.25 (2a 2b 1)d Cõu 3b: b2 d 2 bd (1,0 đ) Mà (a b)d ad (2a 2b)d mà (2a 2b 1)d 1d d 1 0.25 Do đú (a - b, 2a + 2b + 1) = 1. Từ (*) ta được a b và 2a 2b 1 là số chớnh 0.25 phương => 2a 2b 1 là số chớnh phương. x A Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax của (O). Ta cú 1 1 1 Ả Oả sđ AẳM (1) 1 2 1 2 M 1 H 1 O 0.25 1 Cõu K 4a: B C (1,0 đ) ả ả Cú Ax // MH (cựng vuụng gúc với OA) A1 M1 (2) 0.25 ả ả ẳ Tứ giỏc MHOK nội tiếp O1 K1 (cựng chắn MH ) (3) 0.25 1 Từ (1), (2), (3) ta cú Mả Kả hay Hã KM 2Ã MH. 0.25 1 2 1 D A Cú tứ giỏc AOMD nội tiếp (4) 2 1 1 F Cõu M H 4b: 1 1 0.25 (1,0 đ) E G 2 O B C
4. ả 1 ẳ ả ả 1 ẳ A1 sđ;B M O1 O2sđ BM 2 2 0.25 ả ả A1 O1 tứ giỏc AMGO nội tiếp (5) Từ (4), (5) ta cú 5 điểm A, D, M, G, O cựng nằm trờn một đường trũn ả ả ả 0.25 G1 D2 D1 OGF và ODE đồng dạng OG GF 0.25 hay OD.GF = OG.DE. OD DE A Trờn đoạn MC lấy điểm A’ sao cho MA’ = MA AMA' đều 1 2 Ả Ả 600 Bã AA' 1 2 H MAB A'AC MB A'C M 0.25 O A' Cõu B I C 4c: (1,0 đ) MA MB MC 0.25 Chu vi tam giỏc MAB là MA MB AB MC AB 2R AB Đẳng thức xảy ra khi MC là đường kớnh của (O) => M là điểm chớnh giữa cung AM => H là trung điểm đoạn AO 0.25 Vậy giỏ trị lớn nhất của chu vi tam giỏc MAB là 2R + AB 3 AB 3 Gọi I là giao điểm của AO và BC AI R AB R 3 2 2 0.25 Giỏ trị lớn nhất của chu vi tam giỏc MAB là 2R + AB = (2 3)R Từ gt : 2ab 6bc 2ac 7abc và a,b,c > 0 2 6 2 Chia cả hai vế cho abc > 0 7 c a b 1 1 1 x, y, z 0 0.25 đặt x , y , z a b c 2z 6x 2y 7 Cõu 5: 4ab 9ac 4bc 4 9 4 Khi đú C (1,0 đ) a 2b a 4c b c 2x y 4x z y z 4 9 4 C 2x y 4x z y z (2x y 4x z y z) 0.25 2x y 4x z y z 2 2 2 2 3 2 x 2y 4x z y z 17 17 0.25 x 2y 4x z y z
5. 1 Khi x ,y z 1 thỡ C = 7 2 0.25 Vậy GTNN của C là 7 khi a =2; b =1; c = 1