Đề thi học sinh giỏi lớp 9 - Môn thi: Toán

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi lớp 9 - Môn thi: Toán

1. PHềNG GD&ĐT HẠ HềA Kè THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học: 2015 – 2016 Mụn: Toỏn Ngày thi: 4 thỏng 12 năm 2015 (Thời gianlàm bài: 150 phỳt - Đề thi cú 01 trang) Bài 1(3 điểm): a) Tỡm nghiệm tự nhiờn của phương trỡnh: x + xy + y = 9. b) Với a, b là cỏc số nguyờn. Chứng minh rằng nếu 4a 2 + 3ab 11b2 chia hết cho 5 thỡ a4 b4 chia hết cho 5. Bài 2(4 điểm): a) Cho f (x) (x3 12x 31)2015 . Tớnh f(a) với a 3 16 8 5 3 16 8 5 . x4 y4 1 b) Cho a, b, x, y là cỏc số thực thoả món:x2 y2 1 và . a b a b x2016 y2016 2 Chứng minh rằng: a1008 b1008 (a b)1008 Bài 3 (4 điểm ): a) Giải phương trỡnh: 2x 3 5 2x 3x2 12x 14 4x2 2y2 2 b) Giải hệ phương trỡnh sau : 2 x xy 2 Bài 4 (7 điểm ): Cho đường trũn tõm O, đường kớnh BC cố định và một điểm A chuyển động trờn nửa đường trũn (A khỏc B và C). Hạ AH vuụng gúc với BC (H thuộc BC). Trờn nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường trũn tõm P đường kớnh HB và tõm Q đường kớnh HC, chỳng lần lượt cắt AB và AC tại E và F. a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC. b) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm I, A, K thẳng hàng. AH 3 c) Chứng minh tỷ số khụng đổi. BC.BE.CF d) Xỏc định vị trớ điểm A để diện tớch tứ giỏc PEFQ đạt giỏ trị lớn nhất, tỡm giỏ trị đú. Bài 5 (2 điểm ): 1 1 1 Cho x;y;z dương sao cho 6 x y y z z x 1 1 1 Tỡm giỏ trị lớn nhất của P . 3x 3y 2z 3y 3z 2x 3z 3x 2y HẾT
2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016 Môn Toán 9 Câu Nội dung Chia điểm I.a a.1,5 điểm 0,75 - Từ (gt) ta cú :(x + 1)(y + 1) = 10 ; vỡ 10 = 1.10 = 2.5 - Vỡ x,y N 0,75 - Lập bảng ta tỡm được 4 nghiệm (x ;y) =(0 ;9) ;(9 ;0) ;(1 ;4) ;(4 ;1) I.b b.1,5 điểm - Ta cú : 0,5 4a 2 3ab 11b 2 5 5a 2 5ab 10b 2 a 2 2ab b 2 5 0,25 a 2 2ab b 2 5 2 a b 5 0,5 a b5 ( Vỡ 5 là số nguyờn tố) 0,25 - Ta cú:a 4 b 4 a 2 b2 a b a b 5 (đpcm) Cõu a(2 điểm) II a 3 16 8 5 3 16 8 5 0,5 0,5 3 3 3 a 32 33 (16 8 5)(16 8 5).( 16 8 5 16 8 5 ) 0,5 a3 32 3.( 4).a a3 32 12a a3 12a 32 0 0,5 a3 12a 31 1 f (a) 12015 1 Cõu b(2 điểm) x 4 y 4 (x 2 y 2 ) 2 Ta có: (x 2 y 2 ) 2 1 nên a b a b b(a b)x 4 a(a b)y 4 ab(x 4 2x 2 y 2 y 4 ) b 2 x 4 a 2 y 4 2abx 2 y 2 0 1 (bx 2 ay 2 ) 2 0 Từ đó: x 2 y 2 x 2 y 2 1 x2016 y2016 1 x2016 y2016 2 a b a b a b a1008 b1008 (a b)1008 a1008 b1008 (a b)1008 KL: 1 III Cõu a(2 điểm) Giải phương trình: 2x 3 5 2x 3x2 12x 14 ĐK: 1,5 x 2,5 0,5 + Sử dụng bất đẳng thức cô si hoặc Bu nhi a đánh giá VT 2 + Đánh giá VP 2 0,75 VT 2 2x 3 5 2x Do đó: PT x 2 VP 2 x 2 0,75 KL. III Cõu b(2 điểm)
3. Từ (gt) ta cú :3x2-xy -2y2 =0 (x-y)(3x+2y)=0  x=y hoặc x = 2 y 1 3 - Nếu x = y thay vào (1) ta được x = 1 ;x = -1 1 - Nếu x = 2 y Thay vào hệ ta được hệ vụ nghiệm 3 KL : Hệ phương trỡnh cú 2 nghiệm (x ;y) =(1 ;1) ;(-1 ;-1). IV N K A F M I E B C P H O Q IV Cõu a(1 điểm) Xét tam giác vuông ABH có HE AB AB.AE = AH2 (1) 0,5 Xét tam giác vuông ACH có HF AC AC.AF = AH2 (2) Từ (1) và (2) suy ra AE.AB = AF.AC. 0,5 IV Góc IAH bằng 2 lần góc BAH Góc KAH bằng 2 lần góc CAH Suy ra góc IAH + góc KAH =2( góc BAH + góc CAH) = 1800 Suy ra I, A và K thẳng hàng IV Cõu c(2 điểm) Ta cú: AH2 = BH.CH AH4 = BH2 .CN2 = BE.BA.CF.CA = AH 3 BE.CF.AH.BC AH3 = BE.CF.BC = 1 BE.CE.BC IV Cõu d(2 điểm) 1 1 BC SPQFE = (PE FQ).FE BC.FE . Mà FE PQ hay FE SPQFE 2 4 2 BC 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi A là điểm chớnh giữa của nửa đường trũn 8 tõm O, đường kớnh BC. V (2 điểm) HD Áp dụng BĐT + với a; b là cỏc số dương. Ta cú:
4. + ) = + ) + )+ + )] = + ) Tương tự + ) + ) Cộng từng vế của bất đẳng thức ta được: + ) + + ) = + + ) =