Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN - Lớp 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Số báo danh Ngày thi: 10 tháng 3 năm 2018 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) Câu I (4,0 điểm). x 2 x x 1 1 2x 2 x 1. Cho biểu thức P , với x 0, x 1. Rút gọn P x x 1 x x x x x2 x và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên. 4(x 1)x2018 2x2017 2x 1 1 3 2. Tính giá trị của biểu thức P tại x . 2x2 3x 2 3 2 2 3 2 Câu II (4,0 điểm). 1. Biết phương trình (m 2)x2 2(m 1)x m 0 có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Tìm đểm độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của 2 tam giác vuông đó bằng . 5 (x y)2 (8x2 8y2 4xy 13) 5 0 2. Giải hệ phương trình 1 2x 1 x y Câu III (4,0 điểm). 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình y2 5y 62 (y 2)x2 (y2 6y 8)x. 2. Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn làp số anguyên2 b2 tố và chia p 5 hết cho 8. Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn ax2 by2 chia hết cho p. Chứng minh rằng cả hai số xchia, y hết cho . p Câu IV (6,0 điểm). Cho tam giác ABC có (O),(I),(Ia ) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A của tam giác với các tâm tương ứng là O, I, Ia . ¼ Gọi D là tiếp điểm của (I) với BC , P là điểm chính giữa cung BAC của (O) , PIa cắt (O) tại điểm K . Gọi M là giao điểm của PO và BC, N là điểm đối xứng với P qua O. 1. Chứng minh IBIaC là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh NIa là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác Ia MP. · · 3. Chứng minh DAI KAIa . Câu V (2,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x z. Chứng minh rằng xz y2 x 2z 5 . y2 yz xz yz x z 2 HẾT