Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán Lớp 9 - Đề II - Năm học 2011-2012 - Phòng giáo dục và đào tạo thành phố Biên Hòa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán Lớp 9 - Đề II - Năm học 2011-2012 - Phòng giáo dục và đào tạo thành phố Biên Hòa (Có đáp án)

1. UBND THÀNH PHỐ BIÊN HÒA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Độc lập – Tự do – Hạnh phúc ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ - NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN TOÁN LỚP 9 ( ĐỀ II ) ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày 10 tháng 01 năm 2012 Thời gian làm bài : 90 phút Bài 1 : Rút gọn biểu thức 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 Bài 2 : 6 6 2 2 Cho S = x y và x y 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của S ? Bài 3 : Giải hệ phương trình x 3 x y 2 y 3 1(1) 4 4 4 x y 4 x y ( 2 ) Bài 4: Tính cos 360 mà không dùng bảng số và máy tính Bài 5 : Cho tam giác ABC cân tại C có AB = 3 , đường cao CH = 2 . Gọi N và M lần lượt là trung điểm của BC và HB , K là giao điểm của AN và CM a) Chứng minh AN = CM AK b) Chứng minh 2 KM HẾT
2. ĐÁP ÁN ( ĐỀ II ) Bài 1: Nhân tử và mẫu mỗi số hạng với 2 2 (2 3) 2 (2 3 ) 2 4 2 3 2 4 2 3 2(2 3) 2(2 3) 3 3 3 3 (2 2 6)(3 3) (2 2 6)(3 3) 2 6 6 Bài 2 : 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S =(x y ) (x y x y ) x y x y (x y ) 3x y 1 3x y 2 2 x y 1 2 2 1 2 2 3 Vì xy xy x y 3x y 2 2 4 4 1 Vậy 1 3x2 y2 suy ra gtnn ( S ) = 1 4 4 2 x y 2 Bài 3 : Từ ( 1) và ( 2) suy ra 4 x 4 y 4 (x 3 xy 2 y 3 )(4 x y) xy(x 2 4 xy 3 y 2 ) 0 xy ( x y )( x 3 y ) 0 +TH 1 x = 0 . Khi đó ( 1) y3 1 y 1 thỏa mãn ( 2 ) +TH 2 y = 0 Khi đó ( 1 ) x3 1 x 1 thỏa mãn ( 2 ) +TH 3 x= y .Khi đó ( 1 ) x3 1 x 1 y 1thỏa mãn ( 2 ) 3 5 33 5 +TH 4 x= 3y . Khi đó ( 1 ) thỏa25 mãny3 1( 2 )y x 5 5 Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm : 3 3 5 3 5 ( x; y ) (0;1), (1; 0), (1;1), ; 5 5 Bài 4 : Xét tam giác ABC cân tại A có BC = 1 và B· AC = 360 Ký hiệu BD là đường phân giác của góc B
3. Hạ DE AB ( E AB ) 1800 µA Ta thấy Bµ = Cµ = 720 2 Suy ra D· BC = D· BA = 360 Từ đó tam giác DAB BCD tương ứng cân tại D ; B Suy ra AD = DB = BC = 1 A Đặt AB = AC = 2 x ( x > 0 ) Vì BD là đường phân giác cuả góc B nên E DA BA 1 2x 2 1 5 1 5 (4x 1) 5 x ; x = ( loại ) DC BC 2x 1 1 4 4 D AE x 1 5 Vậy cos360 cos E· AD AD 1 4 B C Bài 5 : Kẻ KI  AB tại I , ta có MN là đường trung bình của tam giác BHC CH 2 C MN và MN  AB tại M 2 2 3 3 35 AM = AH + HM = AN ; 4 4 K N 3 35 CH 2 và HM = suy ra CM = 4 4 A B H I Do đó AN = CM M KI Tam giác AKI vuông tại I sin KAI AK K I A K sin KMI Tam giác MKI vuông tại I sin KMI = K M K M sin KAI MN 2 35 2 2 Mà sin KAI = : AN 2 4 35 CH 35 4 2 sin KMI AK Sin KMI = 2 : ; = 2 Vậy 2 CM 4 35 sin KAI KM