Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố - Môn thi: Toán 9

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố - Môn thi: Toán 9

1. PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ THANH HÓA NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn Toán: Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: (5,0 điểm) x 2 x 1 x 1 Cho biểu thức: P : . Với x 0, x 1. x x 1 x x 1 1 x 2 a) Rút gọn biểu thức P. 2 b) Tìm x để P . 7 c) So sánh: P2 và 2P. Bài 2: (4,0 điểm) a) Tìm x, y Z thỏa mãn: 2y2 x x y 1 x2 2y2 xy b) Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện: 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 . a b c a b c Chứng minh rằng: a3 b3 c3 chia hết cho 3. Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau: 4x2 20x 25 x2 6x 9 10x 20 2 2 b) Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x + 2y + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1. Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF. a) Chứng minh: CM vuông góc với EF. b) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng. c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a b c a b c a b b c c a b c c a a b Hết Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9 Bài Câu Nội dung Điểm 1 a Điều kiện: x 0, x 1. 0,5 x 2 x 1 x 1 P : x x 1 x x 1 1 x 2 0,5 x 2 x 1 x 1 : 3 x 1 x x 1 x 1 2 x 2 x( x 1) (x x 1) x 1 : 0,5 x 1 x x 1 2 x 2 x 1 2 . x 1 x x 1 x 1 0,5 2 x x 1 b Với x 0, x 1. Ta có: 2 0,5 P 7 2 2 1,0 x x 1 7 x x 1 7 0,25 x x 6 0 ( x 2)( x 3) 0 0,25 Vì x 3 0 nên x 2 0 x 4 (t/m) 2 Vậy P = khi x = 4 7 c Vì x 0 x x 1 1 0,25 0,25
3. 2 0 2 x x 1 0,25 0 P 2 0,25 P(P 2) 0 P 2 2P 0 P 2 2P Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0 2 Vậy P 2P 2 a 2y2x x y 1 x2 2y2 xy 2y2x x y 1 x2 2y2 xy 0 0,5 0,25 x 1 (2y2 y x) 1 Vì x, y Z nên x - 1 Ư(-1) = 1; 1 +) Nếu x – 1 = 1 x = 2 0,5 Khi đó 2y2 - y – 2 = - 1 1 y = 1 (t/m) hoặc y = Z (loại) 2 +) Nếu x – 1 = -1 x = 0 0,5 Khi đó 2y2 - y = 1 1 y = 1 (t/m) hoặc y = Z (loại) 0,25 2 x 2 x 0 Vậy ; y 1 y 1 b a) Từ giả thiết 0,5 1 1 1 1 1 1 ( )2 a b c a 2 b2 c2 0,5 1 1 1 2( ) 0 ab bc ca Vì a, b, c 0 nên a + b + c = 0 0,5 a b c a b 3 c 3 0,25 3 3 3 a b 3ab(a b) c 0,25 a3 b3 c3 3abc
4. Vậy a3 b3 c3 3 với a, b, c Z Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thức x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm. 3 a Đkxđ: x R 0,25 4x2 20x 25 x2 6x 9 10x 20 Vì 4x2 20x 25 x2 6x 9 0 với x 0,5 10x – 20 0 x 2 Ta có: 2 2 4x 20x 25 x 6x 9 10x 20 0,5 2x 5 x 3 10x 20 2x 5 x 3 10x 20 0,5 7x 28 x 4(t / m) 0,25 Vậy phương trình có nghiệm là x = 4 b x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. 0,5 x y 2 7(x y) 10 y2 (x y 2)(x y 5) y2 0 4 x y 1 1 0,5 * x + y + 1 = - 4 khi x = - 5; y = 0 0,5 * x + y + 1 = - 1 khi x = - 2; y = 0 Vậy Amin = - 4 khi x= - 5; y = 0 0,5 Amax = - 1 khi x = -2; y = 0
5. 4 a E M A N B F 1,0 D C Ta có: E· CD B· CF (cùng phụ với E· CB ) Chứng minh được: EDC = FBC (cạnh góc vuông – góc nhọn) 1,0 CE = CF ECF cân tại C Mà CM là đường trung tuyến nên CM  EF b * Vì EDC = FBC ED = FB 0,5 NCF vuông tại C. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: BC2 = NB.BF a2 = NB.DE (đpcm) 0,5 EF * CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên CM 2 EF 0,5 AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên AM 2 CM = AM M thuộc đường trung trực của AC. Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực của AC 0,5 B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của AC (đpcm). c Đặt DE = x (x > 0) BF = x 0,5 1 SACFE = SACF + SAEF = AF AE CB 2 0,25
6. 1 (AB BF)  AE AD 2 1 (a x).DE 0,5 2 1 (a x)x 2 1 2 2 2 SACFE = 3.SABCD (a x)x 3a 6a ax x 0 2 0,5 (2a x)(3a x) 0 Do x > 0; a > 0 3a + x > 0 2a x 0 x = 2a 0,25 A là trung điểm của DE AE = a AN AE Vì AE //BC nên 1 NB BC N là trung điểm của AB. Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD 5 a a a c 0,5 * Vì a, b, c > 0 nên 1 . a b a b a b c b b a c c b Tương tự: ; b c a b c c a a b c a b c 2 (1) a b b c c a a a * Ta có: b c a(b c) Vì a, b, c > 0 nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có: a (b c) a (b c) 0 2 2 1 a b c a (b c) 2a a 2a a a b c a(b c) a b c b c 2b b 2c c Tương tự: ; a b c a c a b c b a
7. a b c 2 b c c a a b 0,5 Dấu ‘ =” xảy ra khi a = b + c; b = c + a; c = a +b tức là a = b = c (vô lý). a b c 2 (2) b c c a a b Từ (1) (2) ta có đpcm.