Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn thi: Toán lớp 9

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn thi: Toán lớp 9

1. UBND HUYỆN KINH MÔN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn : Toán lớp 9 Năm học 2014-2015 ( Thời gian làm bài 150 phút) Câu 1: ( 2,0 điểm) 1 1 1 1) Tính giá trị của biểu thức A = 1 2 2 3 48 49 xy yx 2) Tính giá trị biểu thức B= x3 + 2013x2y - 2014y3 + 2015, biết = yx xy Câu 2: (2,0 điểm) : 1) Cho các số nguyên dương: a1; a2; a3; ; a2015 sao cho : N = a1 + a2 + a3 + + a2015 chia hết cho 30 . 5 5 5 5 Chứng minh: M a1 a2 a3 a2015 chia hết cho 30. 2) Tìm số tự nhiên có dạng abc thoả mãn : abc n2 1 và cba n 2 2 với n Z;n 2 Câu 3: ( 2,0 điểm) 1) Giải phương trình : xx2 35= 4xx2 3 1 2) Cho a > 0, so sánh aa 13 với 22a Câu 4: (3,0 điểm) : Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của D trên AB, AC. Đặt AC = b, AB = c, BC = a, AD = d. 1) Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF theo d. 2 1 1 2) Chứng minh rằng : . d b c 1 1 1 3) Chứng minh rằng : 6 A B C Sin Sin Sin 2 2 2 Câu 5 ( 1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 14 A= xy với xy 2 14 xy22 Hết
2. UBND HUYỆN KINH MÔN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 Câu Phần Đáp án Điểm Câu 1 1 1 1 1 A= (2đ) (1đ) 1 2 2 3 48 49 1 2 2 3 48 49 0,5 = 1 1 1 0,25 =1 49 1 = 49 1= 6 0,25 1 xy yx 0,25 = . Điều kiện: xy > 0 (1đ) yx xy xy2 yx2 . = . yx2 xy2 0,25 x2 = y2 x=y ( do xy > 0) 0,25 3 3 3 Khi đó B = x + 2013x - 2014x + 2015 = 2015 0,25 5 4 2 Ta có a1 a1 a1(a1 )1 a1(a1 1)(a1 1)(a1 )1 chia hết cho 6 vì có tích 3 số tự nhiên liên tiếp 5 2 Ta xét a1 a1 a1(a1 1)(a1 1)(a1 )1 với các trường hợp sau : 5 2 - Nếu a1 5k a1 a1 5k (5k 1)(5k )1 25k 1 chia hết cho 5. 0,25 - Các trường hợp còn lại a1 5k ;1 a1 5k 2 chứng 5 minh tương tự ta cũng suy ra được a1 a1 chia hết cho 5 5 0,25 Mà UCLN(5,6) = 1 nên a1 – a1 chia hết cho 30 Chứng minh tương tự : 5 5 a2 – a2; ; a2015 – a2015 chia hết cho 30 0.25 Suy ra : 5 5 5 ( a1 – a1) + (a2 – a2) + + (a2015 – a2015) chia hết cho 30 Suy ra: M – N chia hết cho 30; mà N chia hết cho 30 0,25 Suy ra: M chia hết cho 30 Ta có: abc 100a 10b c n2 1 0,25 2 cba 100c 10b a n 4n 4 99(a c) 4n 5 4n 599(*) 0,25 Mặt khác: 100 ≤ n2-1≤ 999 => 101 ≤ n2 ≤ 1000 => 11 ≤ n ≤ 31( do n Z) ( ) 0,25 Từ (*)( ) => 4n – 5 = 99 => n = 26. Vậy abc 675 0,25
3. Câu 3 1 Đặt xx2 31 = y ( Điều kiện y 0) Thì xx2 31=y2 0,25 (2đ) (1đ) Phương trình trở thành y2 + 4= 4y ( y-2)2 =0 y=2 ( Thoả mãn điều kiện y 0) 0,25 2 2 Với y =2 ta có : xx2 31=2 x -3x +1 =4 x -3x -3 =0 2 0,25 3 21 3 21 3 21 x = x- = x= 0,25 2 4 2 2 2 3 21 Vậy phương trình có hai nghiệm là x= 2 Đặt A a 1 a (3 A )0 B 2 a (2 B 0); do a 0 0,25 A2 2a 4 2 (a 1)(a )2 B2 (4 a )2 4a 8 Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương (a+1) và (a+2), 0,25 Ta có: (a )1 (a )3 (a 1)(a )3 a 2 2 (a 1)(a )3 2a 4 2 0,25 Dấu “ = ’’ không xảy ra vì a + 1 ≠ a + 3 2 (a 1)(a )3 2a 4 0,25  A2 0; B > 0 => A AD2 =2AE2 0,25 d AE= 2 2 0,25 Vậy chu vi tứ giác AEDF bằng 22d d 2 0,25 Diện tích tứ giác AEDF bằng 2
4. 2 Ta có SABC = SABD+ SACD 0,25 1 11 0,25 AB. AC = AB DE AC DF 2 22 1 dd22 bc. = cb 2 22 dd22 0,25 bc = cb 22 2bc = cd + bd 2 11 0,25 = d bc 3 Kẻ BH vuông góc với AD tại H Xét ABH vuông tại H A BH BD 0,25 Sin = 2 AB AB Theo tính chất đường phân giác tacó: BD CD BD CD BC a = = = = AB AC AB AC AB AC bc A a 1 bc =>Sin => 0,25 A 2 bc Sin a 2 11c a a b ; Tương tự: BC Sinbc Sin 22 1 1 1 c b c a a b => ABC Sin Sin Sin a b c 2 2 2 1 1 1 c b c a a b => ABC 0,25 Sin Sin Sin a a b b c c 2 2 2 1 1 1 6 Áp dụng Cosi ta có : ABC Sin Sin Sin 2 2 2 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c hay tam giác ABC đều, trái giả thiết tam giác ABC vuông 1 1 1 => 6 A B C 0,25 Sin Sin Sin 2 2 2 2 14 A= xy với xy 2 (1đ) 14 xy22 11 A= 2 2 xy 1 x y 1 2 y xy 0,25 Đặt x= a; = b ab= 1 2 2
5. 11 A=2 ab 11 ab22 11 0,25 A 2 ab ab a22 ab b 11 =2 ab a a+b b a b 0,25 a+b 1 1 = 2ab = 2 ab = ab ab 2 1=3 ab a+b ab ab 1 0,25 ( Vì ab 2 với mọi a.b 1) ab Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 3 khi xy = 2. Chú ý: Nếu học sinh làm bằng cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.