Đề thi học kỳ II môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Đống Đa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học kỳ II môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Đống Đa (Có đáp án)

1. 1/5 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Trường THCS Đống Đa KIỂM TRA HỌC KÌ II Môn : Toán 7 Năm học : 2017 - 2018 Bài 1. (2 điểm) : Thu gọn các đơn thức sau rồi tìm hệ số và bậc của chúng 5 2 3 a) - 6a 2b. bc3 b) 2xy3 . xz2 2 8 Bài 2. ( 2 điểm) Cho các đa thức: A(x) 3x2 5x x3 x2 7 ; B(x) 5x 11 x3 a) Thu gọn rồi sắp xếp mỗi đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến. b)Tính A(2) và B( 1) c) Tìm đa thức f (x) biết f (x) A(x) B(x) d) Tìm đa thức g(x) biết g(x) A(x) B(x) Bài 3(1,5 điểm): Cho đa thức P(x) x2 mx 9 (m là tham số). a/ Tìm giá trị của m để x 1 là một nghiệm của đa thức P(x) . b/ Khi m 0 , tìm tất cả các nghiệm của đa thức P(x) . c/ Khi m 0 , tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức P(x) Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH (H thuộc BC). a) Chứng minh: H là trung điểm của BC và BAH HAC b) Kẻ HM vuông góc với AB tại M, HN vuông góc với AC tại N. Chứng minh: Tam giác AMN cân ở A. c) Vẽ điểm P sao cho điểm H là trung điểm của đoạn thẳng NP. Chứng minh: đường thẳng BC là đường trung trực của đoạn thẳng MP. d) MP cắt BC tại điểm K, NK cắt MH tại điểm D. Chứng minh: Ba đường thẳng AH, MN, DP cùng đi qua 1 điểm. Bài 5. (0,5 điểm) Cho đa thức f (x) thỏa mãn (x 1). f (x) (x 2). f (x 3) với mọi x. Tìm 5 nghiệm của đa thức f (x) Chú ý: HS không sử dụng máy tính Hướng dẫn giải Bài 1. (2 điểm) Thu gọn các đơn thức sau rồi tìm hệ số và bậc của chúng 5 2 3 a) - 6a 2b. bc3 b) 2xy3 . xz2 2 8 Giải 5 5 a) 6a 2b. bc3 ( 6 ).a 2.(b.b).c3 15a 2b2c3 2 2 Hệ số: -15 Bậc: 7 Nhóm Toán THCS:
2. 2/5 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 3 2 3 2 2 2 6 3 2 3 2 6 2 3 3 6 2 b) 2xy . xz 2 .x .y . xz 4 .(x .x).y .z x y z 8 8 8 2 3 Hệ số: Bậc: 11 2 Bài 2. ( 2 điểm) Cho các đa thức: A(x) 3x2 5x x3 x2 7 ; B(x) 5x 11 x3 a) Thu gọn rồi sắp xếp mỗi đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến. b)Tính A(2) và B( 1) c) Tìm đa thức f (x) biết f (x) A(x) B(x) d) Tìm đa thức g(x) biết g(x) A(x) B(x) Giải a) A(x) 3x2 5x x3 x2 7 x3 3x2 x2 5x 7 x3 2x2 5x 7 B(x) 5x 11 x3 x3 5x 11 b) A(2) 23 2.22 5.2 7 1 B( 1) 1 3 5.( 1) 11 15 c) f (x) A(x) B(x) x3 2x2 5x 7 x3 5x 11 3 2 2x 2x 10x 4 3 2 3 g(x) A(x) B(x) x 2x 5x 7 x 5x 11 3 2 3 x 2x 5x 7 x 5x 11 2 2x 18 Bài 3(1,5 điểm): Cho đa thức P(x) x2 mx 9 (m là tham số). a) Tìm giá trị của m để x 1 là một nghiệm của đa thức P(x) . b) Khi m 0 , tìm tất cả các nghiệm của đa thức P(x) . c) Khi m 0 , tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức P(x) Giải a) Để x 1 là một nghiệm của đa thức P(x) thì: P(1) 0 12 m.1 9 0 1 m 9 0 m 8 0 m 8 Vậy m 8 thì x 1 là một nghiệm của đa thức P(x) . b) Thay m 0 vào đa thức P(x) ta có: P(x) x2 0x 9 P(x) x2 9 Tìm nghiệm: x2 9 0 x2 9 Nhóm Toán THCS:
3. 3/5 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x 3;3 Vậy khi m 0 , nghiệm của đa thức P(x) là x 3 ; x 3 . b) Thay m 0 vào đa thức P(x) ta có: P(x) x2 0x 9 P(x) x2 9 2 Ta có: x 0 , x Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0 x2 9 0 9 ,x x2 9 9 ,x P(x) 9 ,x Vậy giá trị nhỏ nhất của đa thức P(x) bằng 9 khi x 0 Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH (H thuộc BC). a) Chứng minh: H là trung điểm của BC và B· AH H· AC b) Kẻ HM vuông góc với AB tại M, HN vuông góc với AC tại N. Chứng minh: Tam giác AMN cân ở A. c) Vẽ điểm P sao cho điểm H là trung điểm của đoạn thẳng NP. Chứng minh: đường thẳng BC là đường trung trực của đoạn thẳng MP. d) MP cắt BC tại điểm K, NK cắt MH tại điểm D. Chứng minh: Ba đường thẳng AH, MN, DP cùng đi qua 1 điểm. A M O N D B K H C P Hướng dẫn: a) Ta có: VABC cân tại A (gt) AB = AC và A· BC=A· CB Xét VAHB và VAHC có: · · ABH ACH (cmt) · · 0 AHB AHC 90 (AH  BC) AB =AC (cmt) VAHB VAHC (cạnh huyền – góc nhọn) B· AH H· AC (2 góc tương ứng bằng nhau) Nhóm Toán THCS:
4. 4/5 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê HB HC (2 cạnh tương ứng bằng nhau) Mà H BC (gt) H là trung điểm của BC b) Theo phần a ta có: BH=HC Xét VBMH và VCNH có: · · 0 BMH CNH 90 (HM  AB,HN  AC) BH = HC (cmt) · · MBH NCH (cmt) VBMH VCNH (cạnh huyền – góc nhọn) BM=CN (2 cạnh tương ứng bằng nhau) AB AM BM Mà: AC AN CN AM AN AB AC cmt Xét VAMN có: AM=AN (cmt) VAMN cân tại A (đpcm) c) Theo phần b ta có: VBMH VCNH (cạnh huyền – góc nhọn) · · HM = HN (2 cạnh tương ứng bằng nhau) và BHM CHN ( 2 góc tương ứng bằng nhau) Mà: HN = HP (gt) và B· HP C· HN (2 góc đối đỉnh) · · HM=HP và BHP BHM Ta có: B· HP B· HM (cmt) HB là tia phân giác của M· HP Xét VMHP có: HM=HP (cmt) VMHP cân tại H (định nghĩa) Mà HB là tia phân giác của M· HP (cmt) HB là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của VMHP BH là đường trung trực của MP Mà B, H, C thẳng hàng ( H BC ) BC là đường trung trực của MP. d) Giả sử MN  AH O . Để chứng minh ba đường thẳng AH, MN, DP cùng đi qua 1 điểm Ta chứng minh: Ba điểm P,D,O thẳng hàng. Theo phần a ta có: VAHB VAHC · · BAH CAH (2 góc tương ứng bằng nhau) Xét VMAO và VNAO có: AM=AN (cmt) · · MAO NAO (cmt) AO: cạnh chung VMAO VNAO (cạnh-góc-cạnh) MO=NO ( 2 cạnh tương ứng bằng nhau) Xét VMNP có: Nhóm Toán THCS:
5. 5/5 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê MH và NK lần lượt là 2 trung tuyến ứng với cạnh NP và MP Mà MH  NK D D là trọng tâm tam giác VMNP (1) Mặt khác: MO=NO (cmt) O là trung điểm của cạnh MN OP là trung tuyến ứng với cạnh MN của VMNP (2) Từ (1) và (2) OP đi qua điểm D hay ba điểm P,O,D thẳng hàng. Bài 5. (0,5 điểm) Cho đa thức f (x) thỏa mãn (x 1). f (x) (x 2). f (x 3) với mọi x. Tìm 5 nghiệm của đa thức f (x) Giải: (x 1). f (x) (x 2). f (x 3) (1),x +)Thay x 1 vào (1) ta có: (1 1). f (1) (1 2). f (1 3) 0. f (1) 3. f (4) f (4) 0 Do đó x 4 là nghiệm của đa thức f (x) . +)Thay x 2 vào (1) ta có: 3. f ( 2) 0. f (1) 3. f ( 2) 0 f ( 2) 0 Do đó x 2 là nghiệm của đa thức f (x) . +)Thay x 5 vào (1) ta có: 6. f ( 5) 3. f ( 2)  6. f ( 5) 0 f ( 5) 0 f ( 2) 0(cmt) Do đó x 5 là nghiệm của đa thức f (x) . +)Thay x 4 vào (1) ta có: (x 1). f (x) (x 2). f (x 3) 3. f (4) 6. f (7)   6. f (7) 0 f (7) 0 f (4) 0(cmt) Do đó x 7 là nghiệm của đa thức f (x) . +)Thay x 7 vào (1) ta có: (x 1). f (x) (x 2). f (x 3) 6. f (7) 9. f (10)  9. f (10) 0 f (10) 0 f (7) 0(cmt)  Do đó x 10 là nghiệm của đa thức f (x) . Vậy đa thức f (x) có 5 nghiệm là: 4; 2; 5;7;10 Nhóm Toán THCS: