Đề thi học kì 2 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học kì 2 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI HỌC KỲ 2 TOÁN 9 NĂM 2015-2016 Thời gian: 45 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a)x 2 7x 0 c) x 4 5x 2 36 0 2x 3y 19 b)x 2 x 2 3 x 1 d) 3x 4y 14 Bài 2: Cho phương trình x 2 m 5 x 2m 6 0 (x là ẩn số) a) Chứng minh rằng: phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m. 2 2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x 2 thỏa mãn: x1 x 2 35 . Bài 3: x 2 a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y 2 b) Tìm những điểm thuộc (P) có hoành độ bằng 2 lần tung độ. c) “Cặp lá yêu thương – Trao cơ hội đi học – Cho cơ hội đời đời” Trung tâm tin tức VTV24 chủ trì, phối hợp cùng Văn phòng Bộ - Bộ lao động – Thương binh và Xã hội. Ngân hàng Chính sách xã hội thực hiện chương trình ”Cặp lá yêu thương” Hướng tới hỗ trợ các hoàn cảnh khó khăn, với trọng tâm là học sinh nghèo học giỏi. Đồng hành với chương trình này vào ngày 4/10/2015, cô hiệu trưởng trường THCS Nguyễn A đến ngân hàng gửi tiết kiệm số tiền là 40.000.000 đồng, cô hiệu trưởng sẽ nhận được cả tiền gốc lẫn lãi là 44.100.000 đồng, số tiền này được chuyển đến chương trình “Cặp lá yêu thương”. Hỏi lãi suất mỗi năm là bao nhiêu phần trăm? Bài 4: Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B, C là hai tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ADE của đường tròn (O) (D, E thuộc đường tròn (O); D nằm giữa A và E, tia AD nằm giữa hai tia AB, AO. a) Chứng minh rằng: A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm của đường tròn này. b) Chứng minh rằng: AB2 = AD.AE c) Gọi H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng ∆AHD ∽ ∆AEO và tứ giác DEOH nội tiếp. d) Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M, N (M nằm giữa A và O). EH MH Chứng minh rằng: AN AD 1
2. HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a)x 2 7x 0 (1) Giải: x 0 x 0 1 x x 7 0 x 7 0 x 7 Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S 0; 7 2 b) x x 2 3 x 1 (2) Giải: 2 x x 1 2 3 x 1 x x 1 2 3 x 1 0 x 1 x 2 3 0 x 1 0 x 1 x 2 3 0 x 2 3 Vậy phương trình (2) có tập nghiệm S 1;2 3 4 2 c) x 5x 36 0 (3) Giải: Đặt t x 2 t 0 Phương trình (3) trở thành: t 2 5t 36 0 (*) Δ 52 4. 1 .36 25 144 169 0, 169 13 Do ∆ > 0 nên phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt: 5 13 5 13 t 4 (loại); t(nhận) 9 1 2. 1 2 2. 1 2 Với t 2 9 thì x 9 x 3 Vậy phương trình (3) có tập nghiệm S 3; 3 2x 3y 19 d) (4) 3x 4y 14 Giải: 8x 12y 76 x 118 x 118 x 118 4 9x 12y 42 3x 4y 14 354 4y 14 y 85 Vậy hệ phương trình (4) có nghiệm là x;y 118;85 Bài 2: Cho phương trình x 2 m 5 x 2m 6 0 (x là ẩn số) a) Chứng minh rằng: phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m. Giải: Δ  m 5 2 4.1. 2m 6 m 5 2 4. 2m 6 m2 10m 25 8m 24 m2 2m 1 m 1 2 0;m Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn luôn có hai nghiệm. 2 2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x 2 thỏa mãn: x1 x 2 35 . Giải: Với mọi m, phương trình đã cho có hai nghiệm x1,x 2 thỏa hệ thức Vi-ét: 2
3. b c S x x m 5;P x x 2m 6 1 2 a 1 2 a 2 2 Ta có: x1 x 2 35 2 x1 x 2 2x1x 2 35 m 5 2 2 2m 6 35 m2 10m 25 4m 12 35 0 m2 6m 22 0 1 ' 32 1. 22 9 22 31 0; ' 31 Vì ' 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: m1 3 31;m2 3 31 Vậy m 3 31; 3 31 Bài 3: x 2 a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y 2 Giải: Bảng giá trị x 4 2 0 2 4 x 2 y 8 2 0 2 8 2 Vẽ đồ thị 0 (P) b) Tìm những điểm thuộc (P) có hoành độ bằng 2 lần tung độ. Giải: Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc (P) có hoành độ bằng 2 lần tung độ. 3
4. Vì hoành độ bằng 2 lần tung độ nên x 0 2y0 M 2y0 ;y0 x 2 Mà M 2y ;y P : y 0 0 2 2 y 0 2y y 0 0 0 2 2 0 y0 y0 2y0 2y0 y0 0 y0 2y0 1 0 1 2 2y 1 0 y0 0 2 Với y0 0 thì M1 0;0 1 1 Với y0 thì M 2 1; 2 2 1 Vậy có 2 điểm thỏa mãn là: M1 0;0 ,M 2 1; 2 c) “Cặp lá yêu thương – Trao cơ hội đi học – Cho cơ hội đời đời” Trung tâm tin tức VTV24 chủ trì, phối hợp cùng Văn phòng Bộ - Bộ lao động – Thương binh và Xã hội. Ngân hàng Chính sách xã hội thực hiện chương trình ”Cặp lá yêu thương” Hướng tới hỗ trợ các hoàn cảnh khó khăn, với trọng tâm là học sinh nghèo học giỏi. Đồng hành với chương trình này vào ngày 4/10/2015, cô hiệu trưởng trường THCS Nguyễn A đến ngân hàng gửi tiết kiệm số tiền là 40.000.000 đồng, cô hiệu trưởng sẽ nhận được cả tiền gốc lẫn lãi là 44.100.000 đồng, số tiền này được chuyển đến chương trình “Cặp lá yêu thương”. Hỏi lãi suất mỗi năm là bao nhiêu phần trăm? Giải: Số tiền lãi cô hiệu trưởng nhận được sau 1 năm là: 4410000 – 40000000 = 4100000 (đồng) 4100000 Lãi suất mỗi năm là: 0,1025 10,25% /năm 40000000 Vậy lãi suất mỗi năm là: 10,25%/năm Chú ý: Tiền lãi = Số tiền gửi x Lãi suất (%/năm) x Số tháng gửi/12 Hoặc Tiền lãi = Số tiền gửi x Lãi suất (%/năm) x Số ngày gửi/360 Bài 4: Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B, C là hai tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ADE của đường tròn (O) (D, E thuộc đường tròn (O); D nằm giữa A và E, tia AD nằm giữa hai tia AB, AO. a) Chứng minh rằng: A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm của đường tròn này. Giải: C I A O D E B Ta có ABˆ O 900 (tính chất tiếp tuyến) 4
5. B thuộc đường tròn đường kính AO (1) Ta có ACˆ O 900 (tính chất tiếp tuyến) C thuộc đường tròn đường kính AO (2) Từ (1) và (2) 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO Gọi I là tâm của đường tròn trên thì I là trung điểm của AO b) Chứng minh rằng: AB2 = AD.AE Giải: C I A O 1 D 1 1 E B Xét ∆ABD và ∆AEB có: ˆ A1 : chung ˆ ˆ B1 E1 (hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) ∆ABD ∽ ∆AEB (g.g) AB AD AE AB AB2 AD.AE c) Gọi H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng ∆AHD ∽ ∆AEO và tứ giác DEOH nội tiếp. Giải: 5
6. C I H O A 2 1 1 D 2 1 1 E B Ta có AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) OB = OC (bán kính) AO là đường trung trực của đoạn thẳng BC AO  BC tại H Ta có ∆ABO vuông tại B có BH là đường cao AB2 = AH.AO (hệ thức lượng) Mà AB2 = AD.AE (do trên) AH.AO = AD.AE AH AD AE AO Xét ∆AHD và ∆AEO có: ˆ A 2 : chung AH AD (do trên) AE AO ∆AHD ∽ ∆AEO (c.g.c) ˆ ˆ H1 E 2 (2 góc tương ứng) Xét tứ giác DEOH có: ˆ ˆ H1 E 2 (do trên) Tứ giác DEOH nội tiếp (góc trong bằng góc đối ngoài) d) Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M, N (M nằm giữa A và O). EH MH Chứng minh rằng: AN AD Giải: 6
7. C K H I M 3 O A 2 1 2 N 1 1 D 2 1 1 E B Ta có tứ giác DEOH nội tiếp ˆ ˆ H 2 D1 (1) (cùng chắn cung OE) Vì OD = OE (bán kính) nên ∆ODE cân tại O ˆ ˆ D1 E 2 (2) Gọi K là giao điểm của EH và AC ˆ ˆ H 2 H3 (3) (2 góc đối đỉnh) ˆ ˆ Mà H1 E 2 (4) (do trên) ˆ ˆ Từ (1), (2), (3) và (4) H1 H3 AH là phân giác ngoài của DHˆ E AD AE AD.HE AE.HD (i) HD HE Ta có ∆AHD ∽ ∆AEO (do trên) AH HD AH.EO AE.HD (ii) AE EO Ta có AN.MH = (AO + ON).(OM – OH) = (AO + R).(R – OH) = AO.R – AO.OH + R2 – OH.R = R.(AO – OH) – AO.OH + R2 = R.AH – AO.OH + R2 (5) ∆ABO vuông tại O có BH là đường cao AO.OH = OB2 (hệ thức lượng) = R2 (6) Từ (5) và (6) AN.MH = R.AH – R2 + R2 = R.AH Hay AN.MH = AH.OE (iii) (vì OE = R) HE MH Từ (i), (ii) và (iii) AD.HE = AN.MH AN AD 7