Đề thi giao lưu HSG năm học 2011 – 2012 môn Toán lớp 7

Nội dung text: Đề thi giao lưu HSG năm học 2011 – 2012 môn Toán lớp 7

1. PHỊNG GD&ĐT ĐỀ THI GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2011 – 2012 VĨNH TƯỜNG Mơn: Tốn lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút I.Trắc nghiệm: (2đ) Hãy chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng: Câu 1: Rút gọn biểu thức A 2100 299 298 297 22 2 ta được kết quả là: 101 101 100 100 2 A) 2 2 B) 2 2 C) 2 2 D) 2 2 2 3 3 3 Câu 2: Cho hai số x; y 0 biết tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ với 5;1;1 ta2 cĩ x; y bằng: A) x 6; y 4 B) x 4; y 6 C) x 15; y 3 D) x 4; y 48 Câu 3: Cho ABC vuơng tại C cĩ AB 29cm; AC 21cm . Độ dài cạnh BC là: A) 1282cm B) 20 cm C) 8 cm D) 50 cm Câu 4: Đồ thị hàm số y 5 m x đi qua điểm A( 2; 6) khi m bằng: A) - 3 B) 2 C) 1 D) - 1 II. Tự luận: Câu 5: (1,5đ) Tìm x biết: 2 3 5 a) .3x 1 7.3x 405 b) 3 1 2x 3x 2 c) 2x 1 2x 3 x 2 Câu 6: (2đ) a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C với x là số nguyên. x x 3 y 4 z 5 b) Tìm các số x; y; z biết: và 3x 2y 7z 48 4 7 3 Câu 7: (2đ) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM AN 2AB . a) Chứng minh rằng: BM CN . b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN. c) Đường trung trực của đoạn thẳng MN và tia phân giác của gĩc BAC cắt nhau tại K. Chứng minh KC  AN . Câu 8: (2,5đ) a) Điểm M nằm bên trong tam giác đều ABC sao cho MA: MB : MC 3: 4 :5 . Tính số đo gĩc AMB. b) Tìm số chính phương cĩ bốn chữ số, biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau. c) Tìm các số tự nhiên cĩ hai chữ số mà số đĩ chia hết cho tích các chữ số của nĩ.
2. PHỊNG GD&ĐT ĐÁP ÁN CHẤM ĐỀ THI GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2011 – 2012 VĨNH TƯỜNG Mơn: Tốn lớp 7 I.Trắc nghiệm: (2 điểm mỗi câu đúng cho 0,5 đ) Câu 1 2 3 4 Đáp án B A B C II. Tự luận: (8 điểm) Câu Phần Nội dung cần trình bày Điểm 5 a x = 4 0,5 (1,5đ) b x = - 1 0,5 1 c x 0,5 2 6 a Xét các trường hợp: (2đ) (1đ) -Nếu x 2 thì C 1. 0,25 -Nếu x = 1 thì C = 1. 0,25 2 2 -Nếu x 1 khi đĩ A 1 ta thấy C lớn nhất khi và chỉ khi 0,25 x x lớn nhất (vì x là số nguyên dương) suy ra x = 1 khi đĩ C = 3. 0,25 So sánh các trường hợp trên ta thấy GTLN của C bằng 3 khi và chỉ khi x = 1. x 3 y 4 z 5 (3x 2y 7z) 52 48 52 b Ta cĩ 20 0,5 (1đ) 4 7 3 5 5 suy ra x = - 77; y = 136; z = 65. 0,5 7 A (2đ) M 0,5 I C B E K N Vẽ hình – GT - KL a Ta cĩ AM + AN = AC + (AM + CN) (1) 0,25 (0,5) vì AB = AC (gt) và AM + AN = 2AB (2) Từ (1) và (2) suy ra BM = CN 0,25 b Gọi I là giao điểm của MN và BC, qua M kẻ đường thẳng 0,25 (0,5) song song với AC cắt BC tại E ta chứng minh được
3. MEI NCI(g.c.g) MI NI 0,25 c Chứng minh MIK NIK KM KN 0,25 (0,5) ABK ACK(c.g.c) KB KC Từ đĩ suy ra BKM CKN(c.c.c) MBK KCN Mà MBK ACK ACK KCN 900 KC  AN 0,25 8 a A (2,5đ) (1đ) K 3a M 0,25 4a 5a B C Đặt MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng MB, không chứa điểm C. Vẽ tam giác đều MBK. 0,25 Khi đó: ·ABK M· BK ·ABM 600 ·ABM Và C· BM ·ABC ·ABM 600 ·ABM => ·ABK C· BM ABK và CBM có: AB = CB ( ABC đều) ·ABK C· BM => ABK = CBM (c.g.c) 0,25 BK = BM ( MBK đều) => KA = MC = 5a AMK có: KA2 = (5a)2; KM2 + MA2 = (4a)2 + (3a)2 = (5a)2 => KA2 = KM2 + MA2 Theo định lí Pitago đảo, ta có AMK vuông tại M. Vậy ·AMB ·AMK B· MK 900 600 1500 0,25 b Gọi số chính phương phải tìm là A m2 aabb trong đĩ (0,75) a;b 0;1 9;a 0 . A m2 aa00 bb 11a.100 11b 11 99a a b Ta cĩ (1) 0,25 để A là số chính phương thì 99a a b 11 Mà 1 a b 18 a b 11 thay vào (1) m2 11(99a 11) 112 (9a 1) 9a 1 là số chính phương 0,25 Thử chọn các giá trị của a theo ĐK nêu trên ta cĩ a = 7 thỏa mãn khi đĩ b = 4; Số chính phương cần tìm là 7744 0,25 c Gọi số cần tìm làxy với x; y là các số tự nhiên từ 1 đến 9 (0,75) Theo đề bài ta cĩ xy kxy với k Z kx 1 y 10x 10x y với kx 1 10x kx 1 0,25 kx 1 ta cĩ x; kx – 1 là hai số nguyên tố cùng nhau 10 kx 1 hơn nữa kx – 1 là số dương nên kx 1 2;5;10 Xét các trường hợp tìm được 5 số thỏa mãn đề bài là: 11; 12; 0,5
4. 15; 24; 36.