Đề thi giao lưu học sinh khá, giỏi lớp 7 - Môn thi: Toán

Nội dung text: Đề thi giao lưu học sinh khá, giỏi lớp 7 - Môn thi: Toán

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH KHÁ,GIỎI LỚP 7 HUYỆN VĨNH LỘC NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 11/04/2017 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4,0 điểm). 1 1 1 a) Tính giá trị biểu thức A = 2 3,5 : 4 3 +7,5 3 6 7 4 2 9 b) Rút gọn biểu thức: B = 2.8 .27 4.6 27.67 27.40.94 c) T×m ®a thøc M biÕt r»ng : M 5x2 2xy 6x2 9xy y2 . Tính giá trị của M khi x, y thỏa mãn . 2x 5 2012 3y 4 2014 0 Bài 2: (4,0 điểm). 1 1 1 a) Tìm x : x 2 5 3 b) Tìm x, y, z biết: 2x = 3y; 4y = 5z và x + y +z = 11 c) Tìm x, biết : x 2 n 1 x 2 n 11 (Với n là số tự nhiên) Bài 3: (4,0 điểm). a) Tìm độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 13cm. Biết độ dài 3 đường cao tương ứng lần lượt là 2cm, 3cm, 4cm. b) Tìm x, y nguyên biết : 2xy – x – y = 2 Bài 4: (6,0 điểm). Cho tam giác ABC ( AB< AC , góc B = 600 ). Hai phân giác AD và CE của ABC cắt nhau ở I, từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác AI tại H, cắt AB ở P, cắt AC ở K. a) Tính A· IC b) Tính độ dài cạnh AK biết PK = 6cm, AH = 4 cm. c) Chứng minh IDE cân. Bài 5: (2.0 điểm) Chứng minh rằng 10 là số vô tỉ. Hết Giám thị xem thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh:: SBD Giám thị 1: Giám thị 2:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2016-2017 MÔN : TOÁN. Nội dung Điểm Câu a: (1 điểm) 1 1 1 A = 2 3,5 : 4 3 +7,5 3 6 7 7 7 25 22 15 = : + 3 2 6 7 2 0.5 đ = 35 : 43 + 15 6 42 2 245 15 490 645 155 = + = + = 0,5đ 43 2 86 86 86 Câu b: ( 1 điểm) 4 2 9 B= 2 8 27 4 6 27 67 27 40 94 213 36 211 39 = 0,5đ 214 37 210 38 5 11 6 2 3 =2 3 2 3 = 2 210 37 24 3 5 3 0.5 . Câu c: (2 điểm) 2 2 2 2 2 2 M 5x 2xy 6x 9xy y M 6x 9xy y 5x 2xy 0.5 Bài 1 2 2 2 2 2 0,5 (4,0đ) => M 6x 9xy y 5x 2xy x 11xy y Ta có 2x 5 2012 3y 4 2014 0 2012 2x 5 0 2012 2014 Ta cã : 2x 5 3y 4 0 0.25 2014 3y 4 0 Mµ 2x 5 2012 3y 4 2014 0 => 2x 5 2012 3y 4 2014 0 1 1 2012 x 2 x 2 2x 5 0 2 2 => . VËy 2014 1 1 3y 4 0 y 1 y 1 0.5 3 3 2 2 5 5 4 4 25 110 16 1159 Vậy M = + 11 - = - - = 0.25 2 2 3 3 4 3 9 36 1 1 1 x 2 5 3 2. 1 1 1 (1,0đ) x 5 2 3 0,25đ
3. 1 1 0,25đ x = 5 6 TH1: x+1 = 1 5 6 x = - 1 30 0,25đ TH2: x+1 = - 1 5 6 x = - 1 - 1 = = - 11 6 5 30 1 11 Vậy x= - ; x = - 0,25đ 30 30 x y x y 0.25đ Ta có : 2x = 3y suy ra hay 3 2 15 10 y z y z 4y = 5z suy ra hay 5 4 10 8 x y z Vậy b. 15 10 8 0.5đ (1,5đ) Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau x y z x y z 11 1 = = = 15 10 8 15 10 8 33 3 0.5đ Suy ra x = 5, y =10 , z = 8 3 3 0.25 ( x +2)n+1 = ( x +2)n+11 ( x +2)n+1 - ( x +2)n+11 =0 0.25 10 n+1 1 x 2 (x+2) =0 0.5 c n+1 1,5 TH 1: (x+2) = 0 suy ra x = -2 0.25 điểm TH2: 1 - (x +2)10 = 0 (x +2)10 = 1 x + 2 = 1 suy ra x = -1 x + 2 = -1 suy ra x = -3 Vậy x = -2; x=-1; x=-3 0.5
4. Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là x, y,z ( cm) ( x,y,z > 0) 0,25 đ Theo bài ra ta có : x +y + z = 13 và 2x= 3y =4z = 2 SABC x y z Suy ra 0,75 đ 6 4 3 a (2.0đ) Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau x y z x y z 13 = 1 6 4 3 6 4 3 13 Bài 3 (4.0đ) suy ra x = 6, y = 4 ; z = 3 0,75 KL: 0.25 2xy – x – y = 2 4xy - 2x -2y =4 2x(2y-1) - 2y + 1 = 5 0,5 đ b. (2y -1) ( 2x -1) =5 0,5 đ (2,0đ) HS xét 4 trường hợp tìm ra ( x,y) = 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 2  ( Mỗi trường hợp đúng cho 0.25 đ) 1 đ Vậy ( x,y) = 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 2  Bài 4 (6.0đ) A F E I K B D M C H P a/ Ta có  ABC = 600 suy ra  BAC +  BCA = 1200 0.5đ 1 AD là phân giác của  BAC suy ra  IAC =  BAC 0.5đ 2 1 1 CE là phân giác của  ACB suy ra  ICA =  BCA 0.5đ (2.0đ) 2 1 Suy ra  IAC +  ICA = . 1200 = 600 2 0.25đ Vây  AIC = 1200 0.25đ 2 b/ Xét AHP và AHK có
5. (2đ)  PAH =  KAH ( AH là phân giác của  BAC) 0.5 đ AH chung  PHA =  KHA = 900 Suy ra AHP = AHK (g-c-g) suy ra PH = KH ( 2 cạnh 0,5 đ tương ứng). Vậy HK= 3cm Vì AHK vuông ở H theo định lý Pitago ta có 0.5 AK2 = AH2 + HK2 = 42 +32 = 25 0.25 Suy ra AK = 5 cm 0.25 Vì  AIC = 1200 Do đó  AIE =  DIC = 600 Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF = AE 0,25 đ 0,5 đ Xét EAI và FAI có AE = AF  EAI =  FAI AI chung Vậy EAI = FAI (c-g-c) c suy ra IE =IF (hai cạnh tương ứng) (1) 0.25 (2.0đ)  AIE =  AIF = 600 suy ra  FIC =  AIC -  AIF = 600 Xét DIC và FIC có 0.5  DIC =  FIC = 600 Cạnh IC chung  DIC =  FCI Suy ra DIC = FIC( g-c-g) Suy ra ID = IF (hai cạnh tương ứng) (2) 0.25 Từ (1) và (2) suy ra IDE cân tại I 0.25 Bài 5 Giả sử 10 là số hữu tỷ 0.25đ (2,0đ) a 0.5đ 10 = ( a,b là số tự nhiên , b khác 0 ; (a;b) = 1 ) b 2 0.25đ a = 10 b2 Suy ra a2 = 10b2 0.25đ a 2 a2  4 10b2  4 b2  2 b  2 0.5đ Vậy ( a;b) 1 0.25đ Nên 10 là số vô tỷ Chú ý: Nếu HS làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.