Đề thi điều kiện vào Lớp 10 THPT chuyên Khoa học Tự nhiên - Năm học 2018-2019

Nội dung text: Đề thi điều kiện vào Lớp 10 THPT chuyên Khoa học Tự nhiên - Năm học 2018-2019

1. LỜI GIẢI ĐỀ TOÁN ĐIỀU KIỆN LỚP 10/2018 THPT CHUYÊN KHTN Võ Quốc Bá Cẩn – Nguyễn Lê Phước – Nguyễn Mạnh Linh 1. Đề thi Bài 1. a) Giải phương trình: p x2 x 2 x3 1 2px 1: C C D C b) Giải hệ phương trình: ( xy y2 1 y; C D C x2 2y2 2xy 4 x: C C D C Bài 2. a) Tìm tất cả các cặp số nguyên .x; y/ thỏa mãn .x y/.3x 2y/2 2x y 1: C C D C q b) Với a; b là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện pa 2b 2 b ; tìm giá C D C 3 trị nhỏ nhất của biểu thức a b M : D pa 2b C pb 2a C C Bài 3. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp .I / tiếp xúc với các cạnh BC; CA; AB lần lượt tại các điểm D; E; F: Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng DE; M là trung điểm của đoạn thẳng DF: a) Chứng minh rằng hai tam giác BKM và DEF đồng dạng. b) Gọi L là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng DF; N là trung điểm của đoạn thẳng DE: Chứng minh rằng hai đường thẳng MK và NL song song. c) Gọi J;X lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng KL; ID: Chứng minh rằng đường thẳng JX vuông góc với đường thẳng EF: Bài 4. Trên mặt phẳng cho hai điểm P; Q phân biệt. Xét 10 đường thẳng nằm trong mặt phẳng Câutrên thỏa mãn lạc các tính chất bộ sau: Toán học muôn màu i) Không có hai đường thẳng nào song song hoặc trùng nhau. ii) Mỗi đường thẳng đi qua P hoặc Q; không có đường thẳng nào đi qua cả P và Q: Hỏi 10 đường thẳng trên có thể chia mặt phẳng thành tối đa bao nhiêu miền? Hãy giải thích. 1
2. 2 Lời giải đề toán điều kiện lớp 10/2018 – THPT chuyên KHTN 2. Lời giải và bình luận các bài toán Bài 1. a) Giải phương trình: p x2 x 2 x3 1 2px 1: C C D C b) Giải hệ phương trình: ( xy y2 1 y; C D C x2 2y2 2xy 4 x: C C D C Lời giải. a) Điều kiện: x 1: Đặt a px 1 và b px2 x 1 (chú ý x2 x 1 > 0), phương trình đã cho có thể được viết lạiD thànhC D C C b2 1 2ab 2a; C D hay .b 1/.b 1 2a/ 0: C C D Từ đó, ta có b 1 (do b 1 2a > 0), hay D C C x2 x 1 1: C D Giải ra, ta được x 1 hoặc x 0: Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 0 và x 1: D D D D b) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2 và cộng tương ứng vế với vế phương trình thu được với phương trình thứ hai, ta được .x 2y /2 x 2y 6; C D C C hay .x 2y 3/.x 2y 2/ 0: C C C D Suy ra x 3 2y hoặc x 2y 2 : D D Với x 3 2y ; thay vào phương trình thứ nhất, ta được y .3 2y / y 2 1 y  hay .yD 1/2 0: Từ đó, ta có y 1 (tương ứng, x 1). C D C D D D Với x 2 2y ; thay vào phương trình thứ nhất, ta được y . 2 2y / y 2 1 y  D C D C 2 3 p5 p hay y 3y 1 0: Từ đó, ta có y 2 (tương ứng, x 1 5) hoặc 3Cp5 C D D D C y C (tương ứng, x 1 p5). D 2 D  3 p5 Á  3 p5 Á Vậy các nghiệm .x ; y / của hệ là .1; 1/; 1 p5; ; 1 p5; C : Câu lạc bộ ToánC học2 muôn 2 màu Bình luận. Ngoài cách giải như trên, ý b) còn có thể giải bằng phương pháp tịnh tiến nghiệm đưa về hệ đẳng cấp bậc hai.
3. Lời giải đề toán điều kiện lớp 10/2018 – THPT chuyên KHTN 3 Bài 2. a) Tìm tất cả các cặp số nguyên .x ; y / thỏa mãn .x y /.3x 2y /2 2x y 1: C C D C q b) Với a; b là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện pa 2 b 2 b ; C D C 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b M : D pa 2 b C pb 2 a C C Lời giải. a) Đặt a x y và b 3x 2y : Từ phương trình đã cho, ta có D C D C ab 2 b a 1; D hay a.b 2 1/ b 1: C D Suy ra b 1 chia hết cho b 2 1: Từ đó, ta có 2 .b 2 1/ .b 1/.b 1/ chia hết cho b 2 1: Suy ra b 2 1 C1; 2 hay b 0;D 1; 1C: C C C 2 f g 2 f g Với b 0; ta có a 1: Giải ra, ta được x 2 và y 3:  D D D D Với b 1; ta có a 0: Giải ra, ta được x 1 và y 1:  D D D D Với b 1; ta có a 1: Giải ra, ta được x 1 và y 2 :  D D D D Vậy các cặp số nguyên .x ; y / thỏa mãn yêu cầu đề bài là .2 ; 3/; .1; 1/ và .1; 2/: b) Ta sẽ chứng minh M 2 với dấu đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi a b 3: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có D D b b p3b 2 b p3b b p3b : .1/ pb 2 a D p3b .b 2 a/  3b b 2 a D a 2 b C C C C C Ta sẽ chứng minh a b p3b 2 : .2/ pa 2 b C a 2 b  C q C Đặt x pa 2 b và y b thì ta có x y 2 ; b 3y 2 và a x 2 6y 2 : Bất D C D 3 D D D đẳng thức (2) có thể được viết lại thành x 2 6y 2 9y 3 Câu lạc bộ Toán học2 ; muôn màu x C x 2  hay x 2 6y 2 9y 3 x y : x C x 2 
4. 4 Lời giải đề toán điều kiện lớp 10/2018 – THPT chuyên KHTN Bất đẳng thức trên tương đương với y .x 3y /2 0 (đúng). Do đó (2) được chứng minh. Từ (1) và (2), ta suy ra  a b p3b M 2 :  pa 2 b C a 2 b  C C Vậy min M 2 : D Bình luận. Ngoài cách giải như trên, ý a) còn thể giải bằng đánh giá chặn hoặc dùng biệt thức của phương trình bậc hai. Ý b) còn có thể giải bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Cách giải sau đây của thầy Nguyễn Trung Kiên đăng trên facebook: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có r r b a b b M C 3 D pa 2 b C pb 2 a C 3 C C a 2 b 2 b 2 D apa 2 b C b pb 2 a C b p3b C C .a b b /2 C C  apa 2 b b pb 2 a b p3b C C C C .a 2 b /2 C  apa 2 b b p.1 1/.b 2 a 3b / p C C C C C a 2 b : D C Từ đó suy ra r p b M a 2 b 2 :  C 3 D Dấu bằng xảy ra khi a b 3 nên min M 2 : D D D Có lẽ, đây cũng là đáp án của bài toán này. Tuy nhiên, với cách làm thiếu tự nhiên như thế này thì số lượng thí sinh làm được ý b) có lẽ sẽ không nhiều. Bài 3. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp .I/ tiếp xúc với các cạnh BC;CA;AB lần lượt tại các điểm D;E;F: Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng DE ; M là trung điểm của đoạn thẳng DF : a) Chứng minh rằng hai tam giác BK M và DEF đồng dạng. b) Gọi L là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng DF ; N là trung điểm của đoạn thẳng DE : Chứng minh rằng hai đường thẳng MK và NL song song. c) Gọi J;X lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng KL;ID: Chứng minh rằng Câuđường lạc thẳng JX bộvuông góc Toán với đường thẳng EF: học muôn màu Lời giải. a) Ta có BD; BF là các tiếp tuyến của đường tròn .I/ nên BI là trung trực của DF ; suy ra BI vuông góc với DF tại M: Từ đó, ta có tứ giác BM DK nội tiếp, suy ra BMK BDK CDE : ∠ D ∠ D ∠
5. Lời giải đề toán điều kiện lớp 10/2018 – THPT chuyên KHTN 5 Mà DC là tiếp tuyến của đường tròn .I/ nên CDE DF E : Kết hợp với kết quả ở trên, ∠ D ∠ ta được ∠BMK ∠DF E : Lại có ∠BK M ∠BDM ∠DEF (do DB là tiếp tuyến của đường tròn .I/D) nên các tam giác BK M vàDDEF đồngD dạng (g-g). A E F I N M X B C D K J L b) Ta có các tứ giác BKDM và CLDN nội tiếp nên DMK DBK; DCN DLN: ∠ D ∠ ∠ D ∠ Mà BK CN (cùng vuông góc với DE) nên DBK DCN: Từ đó ta có k ∠ D ∠ DMK DLN; ∠ D ∠ suy ra MK LN: Đây chính là kết quả cần chứng minh. k c) Ta có DMK DCN 90ı CDN 90ı DFE 90ı DMN ∠ D ∠ D ∠ D ∠ D ∠ nên ∠KMN 90ı: Từ đây dễ dàng suy ra tứ giác KMNL là hình thang vuông. Mà J là trung D 1 điểm của KL nên JM JN: Lại có XM XN 2 ID nên JX MN: Nói cách khác, ta có JX EF: Đây chínhD là kết quả cần chứngD minh.D ? ? Bài 4. Trên mặt phẳng cho hai điểm P; Q phân biệt. Xét 10 đường thẳng nằm trong mặt phẳng trên thỏa mãn các tính chất sau: i) Không có hai đường thẳng nào song song hoặc trùng nhau. Câuii) Mỗi lạc đường thẳng bộ đi qua P hoặc ToánQ; không có đường học thẳng nào muôn đi qua cả P và Q: màu Hỏi 10 đường thẳng trên có thể chia mặt phẳng thành tối đa bao nhiêu miền? Hãy giải thích.
6. 6 Lời giải đề toán điều kiện lớp 10/2018 – THPT chuyên KHTN Lời giải. Gọi m; n lần lượt là số đường đi qua P và Q và gọi S là số miền được tạo thành, khi đó từ giả thiết ta có m n 10: C D Nếu m 0 hoặc n 0 thì dễ thấy S 20: D D D Xét trường hợp m; n 1: Bắt đầu từ mặt phẳng với hai điểm P;Q; ta vẽ m đường thẳng đôi một phân biệt đi qua P, số miền được tạo thành là 2 m: Ta lần lượt vẽ thêm các đường thẳng đi qua Q: Khi vẽ đường thẳng đầu tiên, nó cắt m đường thẳng đi qua P tại m điểm phân biệt. m điểm này chia đường thẳng vừa vẽ thành m 1 phần. Nói cách khác, đường thẳng vừa vẽ đi qua (vì thế chia đôi) đúng m 1 miền trongC2 m miền được tạo ra, nên lúc này số miền là 2 m .m 1/: C C C Kể từ đường thẳng thứ hai đến đường thẳng thứ n, mỗi đường thẳng đi qua Q được vẽ sẽ cắt m đường thẳng đi qua P tại m điểm phân biệt khác Q. Chúng, cùng với Q, chia đường thẳng vừa vẽ thành m 2 phần. Do đó, với mỗi lần vẽ, số miền tăng thêm m 2 : Tóm lại, ta có C C S 2 m .m 1/ .n 1/.m 2/ m n 2 m 2 n 1 m n 19: D C C C C D C C D C Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có .m n/2 S C 19 44 : Ä 4 C D Dấu đẳng thức xảy ra khi có 5 đường thẳng đi qua P và 5 đường thẳng đi qua Q: Số miền được tạo ra tối đa là 44 : Câu lạc bộ Toán học muôn màu