Đề thi chọn HSG đội tuyển Toán 8 - Trường THCS Nguyễn Đăng Đạo

Nội dung text: Đề thi chọn HSG đội tuyển Toán 8 - Trường THCS Nguyễn Đăng Đạo

1. ĐỀ THI CHỌN HSG ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 TRƯỜNG THCS NGUYỄN ĐĂNG ĐẠO a4 a3 a2 2a 2 Bài 1. Cho Q a4 2a3 a2 4a 2 a) Rút gọn M b) Xác định a để Qmin Bài 2. a) Phân tích đa thức thành nhân tử A x4 2007x2 2006x 2007 a b c b) Cho x , y , z . Tính A yz zx xy 2xyz b c a c a b x2 y2 z2 x y z Bài 3. Cho x, y, z 0. CMR: y z x z x y 2 k(x 1) Bài 4. Tìm k để phương trình sau có nghiệm dương: k 1 2x 1 Bài 5. Hình vuông ABCD có E và F thuộc tia đối CB và DC sao cho DF BE.Từ E kẻ đường song song với AF và từ F kẻ đường song song với AE. Hai đường này giao tại I. Tứ giác AFIE là hình gì ?
2. ĐÁP ÁN Bài 1. 2 2 a4 a3 a2 2a 2 a4 a3 a2 2a2 2a 2 a 2 a a 1 Q a) a4 2a3 a2 4a 2 a4 2a3 a2 2a2 4a 2 a2 2 a 1 2 DKXD : a 2,a 1 a2 a 1 Khi đó: Q a 1 2 b) Ta có: a2 a 1 a2 2a 1 a 1 1 1 1 1 1 1 3 Q 1 a 1 2 a2 2a 1 a 1 a 1 2 4 a 1 a 1 2 4 2 3 1 1 3 4 a 1 2 4 2 1 1 1 1 Dấu " "xảy ra 0 a 1 a 1 2 a 1 2 3 Vậy GTNN của Q a 1 4 Bài 2. a) A x4 2007x2 2006x 2007 x4 x 2007x2 2007x 2007 x2 x 1 x2 x 2007 b) Ta có: ab(a b) bc(b c) ca(c a) a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 (a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a) a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 2abc Nên A 1 a b b c c a
3. Bài 3. Ta có: x2 y z x2 y z z2 x y x; x; z y z 4 y z 4 x y 4 Cộng lại ta có điều phải chứng minh Bài 4. Ta có phương trình tương đương: 2k 1 k(x 1) (k 1)(2x 1) kx k 2xk k 2x 1 x k 2 Vậy x 0 thì k phải thỏa mãn 2 điều kiện sau: *)k(x 1) (k 1)(2x 1) kx k 2xk k 2x 1 2k 1 x và k 2 0 hoặc 2k 1 0 và k 2 0 k 2 1 *)k 0 (vì x ) 2 1 Vậy x 0 k 2 hoặc k và k 0 2
4. Bài 5. A B F D C E I Ta có AE song song với FI (gt); AF song song với EI (gt) AFEI là hình bình hành (các cặp cạnh đối song song ) (1) Chứng minh ADF ABE(c.g.c) F· AD B· AE Mà B· AE D· AE 900 (gt) F· AD D· AE 900 (2) Từ (1) và (2) suy ra AFIE là hình chữ nhật Ta lại có : AF AE (vì hai tam giác bằng nhau theo cmt) nên AFIE là hình vuông.