Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi THCS - Môn thi: Toán 8

Nội dung text: Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi THCS - Môn thi: Toán 8

1. PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI THCS HUYỆN Ý YÊN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1. (3 điểm) 1) Chứng minh : x y x3 x2 y xy2 y3 x4 y4 2) Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 2 x2 2x 2 1 3) Tìm a,b,cbiết: a2 b2 c2 ab bc ac và a8 b8 c8 3 Bài 2. (4 điểm) Cho biểu thức: 2 x2 y2 x2 y2 x y P 2 2 . 2 2 với x 0; y 0; x y x x xy xy xy y x xy y 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tính giá trị của biểu thức P,biết x, y thỏa mãn đẳng thức: x2 y2 10 2 x 3y Bài 3. (4 điểm) 1) Giải phương trình: 6x 8 6x 6 6x 7 2 72 2) Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn: x2 x 3 y2 Bài 4. (2 điểm) Cho các số a,b,cthỏa mãn 1 a,b,c 0.Chứng minh rằng: a b2 c3 ab bc ca 1 Bài 5. (5,5 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a,biết hai đường chéo cắt nhau tại O.Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho I·OM 900 (I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông). Gọi N là giao điểm của AM và CD , K là giao điểm của OM và BN. 1) Chứng minh BIO CMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a 2) Chứng minh B· KM B· CO 1 1 1 3) Chứng minh CD2 AM 2 AN 2 Bài 6. (1,5 điểm) Cho tam giác ABC AB AC ,trọng tâm G. Qua G vẽ đường thẳng d cắt AB AC các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E. Tính giá trị biểu thức . AD AE
2. ĐÁP ÁN Bài 1. 1) Ta có: x y x3 x2 y xy2 y3 x4 x3 y x2 y2 xy3 x3 y x2 y2 xy3 y4 x4 y4 Vậy đẳng thức được chứng minh. x x 2 x2 2x 2 1 x2 2x x2 2x 2 1 2 2) Ta có: x2 2x 2 x2 2x 1 2 x2 2x 1 x 1 4 3) Biến đổi a2 b2 c2 ab bc ca về a b 2 b c 2 c a 2 0 Lập luận suy ra a b c Thay a b c vào a8 b8 c8 3 ta có: 3a8 3 a8 1 a 1 a b c 1 Vậy a b c 1 Bài 2. 1) Với x 0; y 0; x y ta có: 2 2 2 2 2 x y x y x y xy x y P . x xy x y x2 xy y2 2 2 xy x y x y x y x y . x xy x y x2 xy y2 2 2 2 x y x xy y x y . x xy x y x2 xy y2 2 x y x y x xy xy 2) Ta có: x2 y2 10 2 x 3y x2 2x 1 y2 6y 9 0 x 1 2 y 3 2 0 x 1 Lập luận (tm) y 3
3. x y 1 3 2 Nên thay x 1; y 3 vào biểu thức P xy 1. 3 3 Bài 3. 1) Đặt 6x 7 t. Ta có: t 1 t 1 t 2 72 t 2 1 t 2 72 t 4 t 2 72 0 2 x 3 t 3 5 x 3 2 5 Vậy phương trình có tập nghiệm S ;  3 3  2) x2 x 3 y2 4x2 4x 12 4y2 2x 1 2 4y2 11 2x 2y 1 2x 2y 1 11 2x 2y 1 1 x 3 2x 2y 1 11 y 3 2x 2y 1 1 x 2 2x 2y 1 11 y 3 2x 2y 1 11 x 2 2x 2y 1 1 y 3 2x 2y 1 11 x 3 2x 2y 1 1 y 3 Bài 4. Vì b,c 0;1 nên suy ra b2 b;c3 c Do đó : a b2 c3 ab bc ca a b c ab bc ca (1) Lại có: a b c ab bc ca a 1 b 1 c 1 abc 1 (2) Vì a,b,c 0;1 nên a 1 b 1 c 1 0; abc 0 Do đó từ 2 a b c ab bc ca 1 3 Từ (1) và (3) suy ra a b2 c3 ab bc ca 1
4. Bài 5. A I B O M K E D C N 1)I·BO M· CO 450 (Tính chất đường chéo hình vuông) BO CO (tính chất đường chéo hình vuông) B· OI C· OM (cùng phụ với B· OM ) BIO CMO g.c.g SBIO SCMO mà SBMOI SBOI SBMO 1 1 Do đó: S S S S S a2 BMOI CMO BMO BOC 4 ABCD 4 2) Ta có: BIO CMO(cmt) CM BI BM AI BM AM IA AM Vì CN / / AB nên IM / /BN CM MN IB MN Ta có: OI OM BIO CMO IOM cân tại O I·MO M· IO 450 Vì IM / /BN B· KM I·MO 450 B· KM B· CO 3) Qua Akẻ tia Ax vuông góc AN cắt CD tại E. Chứng minh ADE ABM g.c.g AE AM Ta có: ANE vuông tại A có AD  NE AD.NE AN.AE 2 2 S AD.NE AN.AE AD.NE AN.AE AEN 2 2 Áp dụng định lý Pytago vào ANE ta có: AN 2 AE 2 NE 2
5. 2 2 2 2 2 2 2 AN AE 1 1 1 1 AD . AN AE AN .AE 2 2 2 2 2 2 AN .AE AD AE AN AD 1 1 1 Mà AE AM và CD AD CD2 AM 2 AN 2 Bài 6. A E d G D I M B C K Gọi M là trung điểm của BC AB AI Qua B vẽ đường thẳng song song với d cắt AM tại I, ta có: (1) AD AG AC AK Qua C vẽ đường thẳng song song với d cắt AM tại K, ta có: (2) AE AG AB AC AI AK Từ (1) và (2) suy ra (3) AD AE AG Mặt khác : AI AK AM MI AM MK 2AM 4 (Vì MI MK do BMI CMK) AB AC 2AM 2AM Từ (3) và (4) suy ra 3 2 AD AE AG AM 3