Đề thi chọn học sinh vào chuyên Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Sở GD & ĐT Trương Quang An (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh vào chuyên Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Sở GD & ĐT Trương Quang An (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT TRƢƠNG KỲ THI CHỌN HS VÀO CHUYÊN TOÁN NĂM QUANG AN HỌC 2018-2019 Khóa ngày 6 tháng 6 năm 2018 ĐỀ THI THỬ Môn thi: TOÁN Họ và tên: LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) SỐ BÁO DANH: Đề gồm có 01 trang Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 01208127776.Nguồn gốc : sáng tác 2019.(x2 x ) 2019(2 x x ) 4038( x 1) Câu 1 (2.0 điểm) Cho i u th c: P x x 11 x x v i 01 x . a. R t g n i u th c P. b. T m x i u th c P ạt giá trị nh nh t. Câu 2 (3.0 điểm) a. Cho phương tr nh: 2x22 2 mx m 2 0 tham số m . T m m phương tr nh c hai nghiệm x12 , x th a mãn | 2x1 x 2 x 1 x 2 4 | 6. x3 22 x 2 y x y 3 xy 2 y . Giải hệ phương tr nh: 2018x 2 2018 4 x y2 6 x 4045 Câu 3 (2.5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp ường tròn O và ngoại tiếp ường tròn (I), AI cắt O tại M (khác A), J là i m ối x ng v i I qua M . G i N là i m chính giữa của cung ABM, NI và NJ lần lượt cắt O tại E và F . a. Ch ng minh MI MB. Từ suy ra BIJ và CIJ là các tam giác vuông. . Ch ng minh IJEF, , , cùng nằm trên một ường tròn. Câu 4 (1.5 điểm) Cho ab, 0 th a mãn ab 2 . T m giá trị l n nh t của i u th c 11 sau: M a b22 b a Câu 5 (1.0 điểm) T m t t cả các số nguyên dương m và n th a mãn iều kiện: n2 n 1 m 2 m 3 m 2 m 5 hÕt
2. SỞ GD&ĐT TRƢƠNG KỲ THI CHỌN HS VÀO CHUYÊN TOÁN NĂM QUANG AN HỌC 2018-2019 Khóa ngày 6 tháng 6 năm 2018 HƢỚNG DẪN CHẤM Môn thi: TOÁN LỚP 9 Đ p n n gồm có 04 trang YÊU CẦU CHUNG * Đáp án chỉ tr nh ày một lời giải cho mỗi ài. Trong ài làm của h c sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, ầy ủ, chi tiết và rõ ràng. * Trong mỗi ài, nếu h c sinh giải sai ở ư c giải trư c th cho i m 0 ối v i những ư c giải sau c liên quan. Ở câu 3 nếu h c sinh không vẽ h nh hoặc vẽ h nh sai th cho i m 0. * Đi m thành phần của mỗi ài n i chung phân chia ến 0,25 i m. Đối v i i m thành phần là 0,5 i m th tuỳ tổ giám khảo thống nh t chiết thành từng 0,25 i m. * H c sinh c lời giải khác áp án nếu ng vẫn cho i m tối a tuỳ theo m c i m của từng ài. * Đi m của toàn ài là tổng không làm tròn số của i m t t cả các ài. Câu N d n Đ m 2019.(x2 x ) 2019(2 x x ) 4038( x 1) C o P x x 11 x x 1,0 v i 01 x . n V i 01 x ta c : x2 x x( x 1)( x x 1) 0,25 x( x 1) x x x x 11 x x 2x x x (2 x 1) 21x 0,25 xx 1 2(x 1) 2( x 1)( x 1) 2(x 1) 0,25 xx 11 P 2019 ( x x ) (2 x 1) 2( x 1) 2019( x x 1) K t n: P 2019( x x 1), 0 x 1 0,25 m x n n 1,0 V i ta c : 1 3 3 6057 P 2019( x x 1) 2019 ( x )2 2019. 0,50 2 4 4 4
3. 11 D u xãy ra khi và chỉ khi xx 0 24 0,50 1 K t n: P ạt giá trị nh nh t khi và chỉ khi x . 4 a. C o p n n : 2x22 2 mx m 2 0 m m m m 1,50 p n n n m x12 , x m n | 2x1 x 2 x 1 x 2 4 | 6 Ta c : m2 2( m 2 2) 4 m 2 0,25 Phương tr nh c hai nghiệm 0 4 m2 0 0,25 22 m m2 2 Theo ịnh l Viet ta c : x x m;. x x 1 2 1 2 2 Theo ài ra: 0,25 m2 2 | 2x x x x 4 | 6 2. m 4 6 1 2 1 2 2 2 2 mm 66 |mm 6 | 6 2 0,25 mm 66 mm2 12 0 mm 4 (lo¹i) hoÆc 3 (lo¹i) 2 mm 0 mm 0 hoÆc 1 0,50 mm 0 hoÆc 1 K t n: m 0 ; m 1 p n n x3 22 x 2 y x y 3 xy 2 y 1,50 2 2018x 2 2018 4 x y2 6 x 4045 ĐKXĐ: x 20 24 x 40 x 0,25 x3 2 x 2 y x y 3 2 xy 2 y (1) 2018x 2 2018 4 x y2 6 x 4045 (2) Từ 1 ta c : x3 22 x 2 y x y 3 xy 2 y x3 2 x 2 y x y 3 2 xy 2 y 0 (x33 y ) 2 xy ( x y ) ( x y ) 0 (x y )[( x22 xy y ) 2 xy 1] 0 0,50 (x y )( x22 xy y 1) 0 x y 0 ( do x22 xy y 1 0  x , y ) xy Thay xy vào 2 ta c : 2018x 2 4 x x2 6 x 4045 (3) 0,25 VP x22 6 x 9 4036 ( x 3) 4036 4036,  x [2; 4] D u xãy ra x 3 VT 2018 x 2 4 x 2018 ( x 2).1 (4 x ).1 (xx 2) 1 (4 ) 1 0,25 2018. 2018.2 4036,  x [2; 4] 22
4. D u xãy ra khi x 3 (3) xx 2 4 2 x 3 xx2 6 11 2 Do x 3 nên y 3 0,25 K t n: (x ; y ) (3; 3) C o m ABC nộ ếp ờn òn O và n o ếp ờn òn (I), AI ắ O M (khác A), J là m x n vớ I qua M N là m ín ữ ủ n ABM , NI và NJ lần l ợ ắ O 1,50 E và F . C n m n MI MB ừ y BIJ và CIJ là các tam giác vuông. A N I E O B C F 0,25 M 3 J A Ta có: MBC MAC (AM là phân giác góc BAC ) 2 0,25 AB MBI MBC CBI (1) 22 AB MIB IAB IBA (2) (tính ch t g c ngoài tam giác) 0,25 22 Từ 1 và 2 suy ra tam giác MBI cân tại M, do MI MB. 0,25 Tương t ta c : MI = MC. 1 X t tam giác BIJ ta c : MB MI IJ tam giác BIJ vuông tại B 2 0,50 Tương t : tam giác CIJ vuông tại C. Vậy và là các tam giác vuông tại B và C. C n m n IJEF, , , ùn nằm ên mộ ờn òn 1,0
5. 1 1 Ta có: NFE s® NA s® AE ; AIE s® NM s® AE 0,25 2 2 Mà s®NA = s® NM (N là i m chính giữa cung ABM ) NFE AIE 0,25 Mặt khác NFE EFJ 1800 và AIE EIJ 1800 EFJ EIJ . Hơn nữa I và F nằm về cùng một phía so v i JE. 0,50 K t n: IJEF, , , cùng thuộc một ường tròn. Cho ab, 0 thỏa mãn ab 2 . Tìm á trị ớn nhất của b 11 1,5 thức: M a b22 b a Trư c hết ta ch ng minh v i a 0 thì a b 2 a b2 a 1 (*) Thật vậy: 0,50 (*) a2 2 ab b 2 a 2 a ab 2 b 2 2ab a ab2 ab 10 2 (do a > 0) 11a 4 Từ * ab 2 ab 2 11b Tương t : 0,25 ba 2 ba 2 1 1ab 2 Cộng vế theo vế ta ược: M (1) a b2 b a 2() a b 2 ab 2 Ta ch ng minh v i ab, 0 th a mãn thì 1 (2) ()ab 2 0,50 Thật vậy: (2) (a b )2 ( a b ) 2 ( a b 1)( a b 2) 0 (do ) Từ 1 và 2 suy ra M 1 D u xãy ra khi ab 1. 0,25 Vậy giá trị l n nh t của M ằng 1 khi . m n yên d n m và n m n ề k n n2 n 1 m 2 m 3 m 2 m 5 1,0 Từ iều kiện n2 n1 m 2 m 3 m 2 m 5 m 4 m 2 8 m 15 0,25 X t phương tr nh ậc hai : n2 n ( m 4 m 2 8 m 16) 0 (1) (ẩn số 5 n) Đ phương tr nh 1 c nghiệm nguyên dương th 4m42 4 m 32 m 63 phải là một số chính phương. 0,25 22 Ta có 2m22 2 4 m 4 2 3 2 m 2 ,  m * 2 Mặt khác 2mm2 1 32 2 0,25 22 Do 2m22 1 32 m 2 2 m 1 ,  m 2
6. 22 Khi : 2m22 1 2 m 2 ,  m 2 Suy ra 1 chỉ c nghiệm nguyên dương n khi m 1 hoặc m 2 Nếu thì nn2 60 vô nghiệm. 2 n 4 Nếu m 2 thì nn 20 0 0,25 n 5 (lo¹i) Thử lại m = 2 và n = 4 th a mãn iều kiện ài toán. K t n : m = 2 ; n = 4. CHUYÊN GIA VỀ TOÁN HÀNG ĐẦU TẠI QUẢNG NGÃI ,NHƢNG MÀ GIÁO DỤC XÃ HỘI KHÔNG CẦN TOÁN CAO CẤP ,TOÁN NÂNG CAO ,BỒI DƢỠNG HSG TỈNH HUYỆN ,CASIO SỐ MỘT TẢI QUẢNG NGÃI – VÙNG ĐẤT NGHÈO NHẤT VIỆT NAM Kính chào tạp chí toán t ổ thơ ! Ngày 15-11-2016 tạp chí toán tuổi thơ mời m nh ra Hà Nội ,Lại một lần nữa m nh không ra dược v không c tiền mua v tàu .Tại sao cuộc ời lại t công v i tôi như thế .M nh sống trên n i cao quá ,m i th ều kh khăn Trên chuyến tàu của toán h c luôn thiếu m nh .Một lời giải mà m nh giải không ra .Đ là Tiền ,tại sau toi lại ần cùng ến như vậy hả trời .Buồn cho xã hội không tận dụng nhân tài .Tuy n dụng công ch c là t m người nhà và tiền .Kẻ như tôi th không c : THÂN THẾ TIỀN và như thế ị v t ra ường trong chuyến tàu tốc hành của giáo dục Việt Nam .Tại sao người ta c th mua một kg nho Nhật Bản v i giá 1,3 triệu -1,5 triệu ăn mà m nh lại mua một v tàu i về Quảng Ngãi –Hà Nội giá 700 trăm ngh n không ược , ài toán giải mãi mà chẳng xong .Người ần cùng ,kẻ th mua kg nho Nhật Bản 2 triệu cho a con 4 tuổi ăn ,mua hàng mà phải ặt tiền c c trư c .Nho này hiếm mà c kg nào nhập về là dân Việt Nam gi i thượng lưu mua hết trong một giời ồng hồ .Thật s sốc ,trái cây Việt Nam rẻ như èo mà “cho không l y ,th y không xin n i g t i việc mua án nữa “ Kính chào tạp chí toán t ổ thơ ! Tôi tên là :Trương Quang An
7. Vừa rồi ngày 4-1-2016 tôi c nhận ược 1 gi y mời ra Hà Nội nhân diệp tạp chí toán tuổi thơ 15 năm tuổi .Bản thân tôi và gia nh r t vui và th y ây là một vinh d nhưng hoàn cảnh gia nh quá kh khăn .Tôi i làm lương quá th p ,dạy hợp ồng ,vợ tôi i làm công nhân ở xa .sáng i 5h sáng ,chiều 8h m i về nhà .Vợ tôi làm th tháng nào c sản phẩm th c lương ,không c sản phẩm làm th tháng không c lương ,một tháng ược 2 triệu /tháng .Hai vợ chồng làm không ủ trang trải cho cuộc sống hằng ngày .Tôi h c toán-tin và chỉ dạy tin h c .Thời gian làm thêm phụ gia nh nhiều c tiền trang trải cuộc sống .Cha tôi ngày xưa làm phụ hồ ,làm thuê làm mư n cho người ta ,mẹ tôi i rửa ch n thuê cho các nhà quán ăn .Tôi am mê toán h c khi là h c sinh c p 1 .Tôi r t nghèo nhưng niềm am mê toán h c trong tôi r t l n dù tôi c hoạt ông ên lĩnh v c khác .Tôi xin chân thành cảm ơn tạp chí ã c thư mời tôi ra Hà Nội nh .Tiền tàu xe i và về ,ăn ở ản thân tôi lo không nổi nên không th ra d v i tạp chí .Năm ngoái tôi không ra Đà Nẵng d hội thảo ược ,năm nay lại th t h a .Xin lỗi tạp chí TOÁN TUỔI THƠ ,tuy nhiên tôi xin ch c tạp chí luôn phát tri n mạnh mẽ và c nhiều người am mê toán h c nh .Tôi xin h a là sẽ thường xuyên viết ài và gởi ài cho tạp chí toán tuổi thơ và tạp chí toán h c& tuổi trẻ Tôi r t uồn .Xin chân thành ghi nhận t m lòng của tạp chí Tên : Trương Quang An Ngày sinh :20-5-1987 Tốt nghiệp cao ẳng sư phạm toán quảng Ngãi năm 2009 Ra trường i xin việc khắp m i nơi vào cuối năm 2011 m i xin hợp ồng làm việc giảng dạy toán cho 1 trường c p 2 Nhà hiện nay ở Thành Phố Quảng Ngãi Thành tích l c i h c : L p 8 : H c sinh ạt giải nh h c sinh gi i toán c p thị xã Quảng Ngãi L p 9 : H c sinh ạt giải a h c sinh gi i toán c p thị xã Quảng Ngãi Lên c p 3 h c Trường C p 3 Chuyên Lê Khiết Năm 2005 thi ại h c sư phạm Quy Nhơn ạt 28 i m , tôi phải xa giảng ường ại h c v mẹ tôi au quá nặng ,gánh nặng cơm áo gạo tiền mà tôi phai chia tay ại h c .Sau tôi về quê nhà h c cao ẳng sư phạm Quảng Ngãi 3 năm h c tại ây tôi là sinh viên gi i nh t khoa về Toán h c .Các Thành tích :
8. - Giải nh t toán l sơ c p 3 năm h c 2006,2007,2008 -Ba năm giải nh t môn giải tích trong kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN c p trường Cao Đẳng Sư Phạm Quảng Ngãi năm h c 2006 ,2007,2008 -Trong 3 lần ại diện cho trường thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN Toàn quốc th 1 lần ạt giải a ,1 lần giải khuyến khích . -Ba năm liền ạt giải nh t trong kỳ thi sinh viên giải toán trên máy tính casio c p trường . -Sinh viên ầu tiên của trường cao ẳng sư phạm ược ăng ề trong mục ề ra kỳ này của tạp chí toán h c tuổi trẻ -Sinh viên ầu tiên của trường cao ẳng sư phạm ược ăng ài trong mục chuyên ề của ặc san tạp chí toán h c tuổi trẻ -Giáo viên ầu tiên của tỉnh Quảng Ngãi ược ăng ài trên ặc san tạp chí toán h c và tuổi trẻ -Hiện nay sáng dạy ở trường v ồng lương quá th p nên i dạy k m khắp nơi ề kiếm thêm tiền trang trải cuộc sống hằng ngày và phụ gi p cha mẹ nghèo ở quê Quảng Ngãi -Bản thân là người r t am mê môn toán từ khi tôi còn là h c sinh l p 7 , hiện nay tôi thường giải các ài tập kh và dạy kèm cho các h c sinh c nhu cầu vào chuyên toán -Hiện nay ản thân muốn h c lên ại h c nhưng c lẻ ư c mơ của tôi không thành hiện th c v chuyện tiền ạc va gia nh hoàn cảnh -Những giáo viên yêu toán nếu c nhu cầu giải các ài toán kh và giao lưu h c h i -X m tôi nh thường lắm , n nh ngây thơ ,ngộ nghĩnh áng yêu .Hằng ngày n trẻ x m tôi thường nhờ tôi gi p các ài toán kh .Tôi ến v i tạp chí toán h c tuổi trẻ khi tôi còn là một h c sinh l p 7 .Mười sáu năm qua tôi ã coi tạp chí như một người ạn quen thuộc mà tôi mong ợi vào ngày 15 hằng tháng .Ban ầu tôi thích th tò mò t m thêm tài liệu ,sau nay cố gắng giải các ài tập trong chuyên mục ề ra kỳ này .Trong 16 năm qua tạp chí ã cho tôi ược tiếp x c v i các ài toán r t hay ,chuyên ề hay .Ba năm h c cao ẳng là thời gian ẹp nh t cuộc ời tôi .Tôi ư c vào sư phạm toán v i nền tảng kiến th c vô cùng tốt .Ngay tôi ược tạp chí ăng 1 ài trên chuyên mục ề ra kỳ này tôi r t vui sư ng ,không tả nỗi .Đ là thời i m năm 2008 ,khi tôi chỉ là 1 sinh viên nghèo của trường , iều kiện h c tập không c ,sinh viên cao ẳng như tôi viết ài cho 1 tạp chí toán h c là iều viễn vông , là sư thật .Nhưng tôi không nản lòng và cuối cùng tôi cũng ạt ược ư c mơ của tôi .Những ngày thật kh khăn ,tôi chỉ ghi ài giải trên gi y A4 rồi em thư ra ưu iện gởi .Cách ây 1 năm th c chị h làm quán PHÔ T Ô COPPY án lại một chiếc máy tính ề àn cũ ,tôi mua v i giá 500 ngàn ,vui lắm các ạn ,thế là từ nay c th ánh vi tinh các ài toán mà minh suy nghĩ và sưu tầm ,sau khi hoàn thiện tôi chạy ra quán PHÔ T Ô COPPY gởi v nhà không c mạng INTERNET .C lẽ tôi sẽ gục ngã trư c cuộc sống nghèo khổ và thiếu tiền ạc nếu như tôi không c niềm am mê toán h c .Tôi nh mãi năm 2008khi cầm trên tay tờ áo c ăng ài của minh tôi ã vui run luôn ,tôi ra ưu iện mua áo toán ,trên kệ áo còn ng 1 tờ , c và th y tên m nh và tôi ã lên xe ạp cà tàng của sinh viên ạp nhanh nhanh về nhà ,thật nhanh ,tôi không iết tôi ã qua m y ngã tư nữa ,chỉ iết ạp thật nhanh .M y tháng sau c thư nhận tiên nhuận t 120.000 , ối v i 1 a sinh viên nghèo như tôi là số tiền 1 tháng ề ăn sáng i h c ,vui lắm các ạn ak .Sinh viên qua nhanh ,ra trương v hoàn cảnh cha mẹ au và không c tiền,không nơi nào nhận m nh
9. vào dạy h c ,m nh ã i chạy àn cà phê,chạy àn ám cư i cho nhà hàng ,m nh i dạy kèm khắp nơi ,c khi phải i chạy xe ôm nhưng khi rảnh m nh thường l y tạp chí toán h c ra xem .Tạp chí như một phần trong cơ th m nh ,rồi sau 4 năm chạy việc khắp nơi tôi cũng xin ược hợp ồng cho 1 trường c p 2 dạy toán . Nhà tôi hiện nay sách toán r t nhiều ,16 năm qua tôi ã c trong tay khoảng 451 số áo toán h c ,mua c ,tôi mượn áo phô tô cũng c .Hồi xưa khi t i ngày 15 hằng tháng tôi thường ra ưu iện ề mua ,từ nhà ạp xe ạp ra ,t i nơi mệt nhưng khi mua ược áo là tôi vui lắm .Vào năm 2014 th i làm cuộc sống cũng ỡ kh khăn th tôi mạnh dạn dành tiên lên ưu iện ặt áo nhân viên giao tận nhà luôn .Qua thời gian tôi cung mua ược chiếc xe máy cũ ề i làm .Qua nhũng tâm s này tôi muốn các ạn yêu toán mà c iều kiện hơn tôi hãy cố gắng lên nh ,hãy ặt mua tạp chí toán h c ,hãy viết ài cho tạp chí .Tiền trong cuộc sống không là g ,nếu ch ng ta cố gắng và c chí th ch ng ta sẽ thành công .Tôi hiện nay c 2 ư c mơ ,th nh t ược ra thăm toán chí toán h c tuổi trẻ 1 lần cho iết ,năm ngoái ược tạp chí toán h c tuổi thơ mời ra d uổi hội thảo toán h c ở Đà Nẵng nhưng do công việc và cha mẹ au nặng tôi ã không ra .Th 2 mong ược h c lên ại h c hệ chính quy .Mặc dù ở quê tôi c dạy hệ tại ch c ,nhưng tôi thích h c chính quy hơn ,ư c mơ c th v i m i người r t ơn giản nhung v i m nh kh v gia nh ,cha mẹ ,tiền ạc phải mưu sinh v cuộc sống hằng ngày . Trên toàn quốc ,nếu trường nào cần giáo viên như tôi th liên hệ số iện thoại 01208127776 .Không iết tạp chí toán h c c tuy n một cộng tác viên tr nh ộ cao ẳng như tôi không .Lương hợp ồng 15.000 /tiết quá th p ,tôi không sống ược ằng nghề sư phạm , M t n ƣờ đam mê Toán và tạp chí toán học và t ổ trẻ , tạp chí toán t ổ thơ N hĩa Thắn ,Tƣ N hĩa ,Q ản N ã Trƣơn Q an An