Đề thi chọn học sinh giỏi vòng 2 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Trường THCS Phan Chu Trinh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi vòng 2 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Trường THCS Phan Chu Trinh (Có đáp án)

1. PHềNG GD-ĐT TP BUễN MA THUỘT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VềNG 2 TRƯỜNG THCS PHAN CHU TRINH NĂM HỌC 2012-2013 Mụn: Toỏn 9 Thời gian: 90 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Cõu 1 (4 điểm): Cho biểu thức 2 b a a a b b b a ab P = : b a a b a b a) Tỡm điều kiện để P cú nghĩa? b) Rỳt gọn P c) Chứng tỏ P 0 Cõu 2 (6 điểm): a) Chứng minh phõn số sau tối giản với n Z 12n 1 30n 2 b) Tỡm n N* để n4 4 là số nguyờn tố. c) Cho a + b = 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức Q = a3 + b3 + ab Cõu 3 (3 điểm): Giải phương trỡnh: x 2 x 1 x 2 x 1 2 Cõu 4 (5 điểm): Cho đường trũn tõm O đường kớnh AB. Lấy điểm D trờn đoạn OB. Đường trung trực của đoạn AD cắt (O) tại C và cắt AD tại H. Đường trũn đường kớnh BD cắt BC tại E.Chứng minh rằng: a) AC song song với DE b) HE là tiếp tuyến của đường trũn đường kớnh BD Cõu 5 (2 điểm): Cho đường trũn tõm O nội tiếp tam giỏc ABC. Cỏc cạnh BC, BA, AC tiếp xỳc với đường trũn lần lượt tại D, F, E. Chứng minh rằng, nếu tam giỏc ABC vuụng tại A thỡ SABC = BD.DC .HẾT
2. Phũng GD-ĐT Tp. Buụn Ma Thuột ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VềNG 2 Trường THCS Phan Chu Trinh NĂM HỌC 2012-2013 Mụn: Toỏn 9 Thời gian: 90 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Đỏp ỏn và biểu điểm Cõu Nội dung Điểm Cõu 1 a 0 4đ a) Điều kiện b 0 a b 0,75 a ab b b ab a 1 P b a : a b a b ab a b b) . a b b ab a 0.5 ab b ab a 0.5 a 0 c) Ta cú b 0 , ỏp dụng BĐT Cụ si cho hai số a và b: 0,25 a b a b 2 ab ab 0,5 b ab a 0 0.25 ab Do đú P 0 0,25 b ab a Cõu 2 0.25 a) Giả sử d=(12n+1,30n+2). Khi đú, 6đ 12n 1d 60n 5d 1 30n 2d 60n 4d (60n 5) (60n 4) 1d 0.25 d 1 0.25 12n 1 Vậy 30n 2 là phõn số tối giản 0.25
3. b) Ta cú: n4 4 n4 4n2 4 4n2 0.5 0.25 (n2 2 2n)(n2 2 2n) 0.5 Nếu n4 4 là số nguyờn tố thỡ 2n2 2n 1 1 n=1 0.25 Với n=1 ta cú n4 4 5 là số nguyờn tố. 0.25 4 Vậy với n=1 thỡ n 4 là số nguyờn tố. 0.25 c) Ta cú: a + b =1 => b = 1 - a 0.25 Biểu thức Q = a3 + b3 + ab = (a + b)3 – 3ab(a + b) + ab Q = 1 – 3ab + ab = 1 – 2ab = 1 – 2a(1- a) 0.5 1 1 1 Q = 1 – 2a + 2a2 = 2(a2 – 2.a. + ) + 1 - 0.5 2 4 2 1 1 1 Q = 2(a- )2 + 0.25 2 2 2 1 1 Dấu “=” xảy ra  a 0 a 0.25 2 2 1 1 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của Q là khi và chỉ khi a 0.25 2 2 Cõu 3 Điều kiện x 1 0,25 3đ x 2 x 1 x 2 x 1 2 2 2 x 1 1 x 1 1 2 0.75 x 1 1 x 1 1 2 (1) 0,25 Nếu x 2 thỡ (1) x 1 1 x 1 1 2 0.25 x 1 1 0.25 x 2 0.25 Nếu 1 x 2 thỡ (1) x 1 1 x 1 1 2 0.5
4. Phương trỡnh này cú vụ số nghiệm thỏa món: 1 x 2 0.25 Vậy 1 x 2 0.25 Cõu 4 Vẽ hỡnh, ghi GT, KL đỳng theo C 5đ 1 yờu cầu chung của đề bài K E 1 2 1 A B H O D I 0,5đ a) Tam giỏc ACB vuụng tại C 0.5đ Tam giỏc DEB vuụng tại E 0.5 Suy ra ãACB =Dã EB =900 0.5 Do đú AC// DE 0.5 b) Gọi K là trung điểm của CE, I là trung điểm của BD. Cú HK là đường trung bỡnh của hỡnh thang ACED 0.75 => HK vuụng gúc với CE 0,25đ => CHE cõn tại H 0,25đ => Eà =Cà . Cú Eả =Bà và Bà Cà 900 1 1 2 1 1 1 0.75 => Eà +Eả 900 => Hã EI 900 1 2 0.25đ Vậy HE là tiếp tuyến của đường trũn đường kớnh BD 0.25
5. Cõu 5 A 2đ E F O C B D Đặt AB=c, AC=b, BC=a Đường trũn (O) tiếp xỳc với AC,AB theo thứ tự tại E và F. Ta cú: 2DB=BD+BF=(BC-DC)+(AB-FA) =(BC+AB)-(DC+FA) 0.25 =BC+AB-(CE+EA) =BC+AB-AC =a+c-b=a-(b-c) 0.25 Tương tự, 2DC=a+(b-c) 0.5 Suy ra 4DB.DC a 2 (b c)2 2 2 2 a (b c ) 2bc (1) 0.25 Nếu tam giỏc ABC vuụng tại A thỡ a 2 b2 c2 1 1 và S AB.AC bc (2) ABC 2 2 0.25 1 Từ (1) và (2) suy ra BD.DC=bc =SABC 2 0.5 Hướng dẫn chấm - Giỏo viờn chấm cú thể chia điểm thành phần đến 0,25 điểm cho từng cõu để chấm. - Điểm toàn bài là tổng điểm thành phần. - Học sinh cú thể giải theo cỏch khỏc với đỏp ỏn nhưng đỳng và chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa tương ứng.