Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Ninh

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Ninh

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2017-2018 QUẢNG NINH Khóa ngày 6 tháng 3 năm 2018 Môn thi: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (3 điểm ) 32 7 2 10 3 3 3 4 3 3 2 1 a)Rút gọn biểu thức 5 2 1 1 x b)Cho hai số dương x,y thỏa mãn x3 y x3 y .Tính giá trị của biểu thức 27 y Bài 2 (3 điểm ) a)Với mọi số nguyên n,chứng minh rằng n(n 2)(73n2 1) 24 b)Tìm số tự nhiên n để 24 2 7 2 n là số chính phương Bài 3 (5 điểm ) a)Giải phương trình 2 3x 3x2 7x 1 b)Giải hệ phương trình 3x y 2 (x 2)(y 1) 5 2 2x y y 6 Bài 4 (7 điểm ) Cho đoạn thẳng AB,điểm C nằm giữa hai điểm A và B.Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB ,vẽ nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn đường kính BC.Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn đường kính BC (M khác B,M khác C).Kẻ MH vuông góc với BC(H thuộc BC ),đường thẳng MH cắt nửa đường tròn đường kính AB tại K .Hai đường thẳng AK và CM giao nhau tại E. a)Chứng minh rằng HKB CEB và BE2 BC.AB . b)Từ C kẻ CN vuông góc với AB (N thuộc nửa đường tròn đường kính AB ) ,đường thẳng NK cắt CE tại P.Chứng minh rằng NP=PE. c)Chứng minh rằng khi NE là tiếp tuyến của nửa đường tròn đường kính AB thì NE=2NC. Bài 5 (2 điểm ) Cho a,b là các số dương thỏa mãn a b 2ab 12.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a22 ab b ab A a 2b 2a b Bài giải Bài 1 (3 điểm ) 32 7 2 10 3 3 3 4 3 3 2 1 332 ( 5 2)23 3 ( 4 1) a)Rút gọn biểu thức 1 5 2 1 5 2 1 1 b)Ta có x33 yxy 33 27x 27y127xy 0 27 33 3 3 3 3 2 3 2 2 (3x) (3 y) 1 3.3x. y 0 (3x y 1). (3x 3 y) (3 y 1) (1 3x) 0 1 x 3 x Do x,y > 0 nên suy ra 3x 33 y 1 9.Vậy giá trị của biểu thức là 1 y y 27 9.
2. Bài 2 (3 điểm ) a)Ta có n(n 2)(73n22 1) 72n .n(n 2) (n 1)n(n 1)(n 2) 24 b)Ta thử n 1,2,3 đều không thỏa mãn .Với n4 thì ta có 2224 7 n k 2 2(92)k 4 n 4 2 k4 .Đặt k=4h với h là số tự nhiên.Ta có h 3 2x 92 n42n42 h 2 h 9(h3)(h3) h32 y 62.32 yxxyx 2 2(2 1) x y n 4 22x n8 yx .Vậy n=8 là giá trị phù hợp . 2 1 3 h 5 k 20 Bài 3 (5 điểm ) 2 2t 2 a)Ta có điều kiện x .Đặt 2 3x t 0.Khi đó ta có 2 3x t 0 x 3 3 11 .Phương trình đã cho tương đương với (t 1)(t32 t 4t 7) 0 t 1 x .Vậy 33 1 nghiệm của phương trình là x . 3 3x y 2 (x 2)(y 1) 5(1) x y 2 (x 2)(y 1) 1 0(*) b)Giải hệ phương trình 22 2xy y6(2) 2xy y6(2) Nếu x20 y10 xy10 xy12(x2)(y1) 0 .Nên phương trình vô nghiệm . Nếu x20 y10 x2,y 1 (x2 y1)0 xy3.Thay vào (2) ta y3 có (y 3)(y 4) 0 .Thử lại chỉ có nghiệm hệ là (7;4) y4 Bài 5 (2 điểm ) Cho a,b là các số dương thỏa mãn a b 2ab 12.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a22 ab b ab A a 2b 2a b (a b)2 Ta có 12 a b 2ab (a b) a b 4 .Khi đó 2 a b a2 b 2 (a b) 2 A (a b). (a b). 2 2 4. 2 a 2b 2a b a 2ab 2ab b (a b) 2ab (a b)2 8 4. .Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức (a b)2 3 (a b)2 2 8 là khi và chỉ khi a b 2 . 3 Tôi tên là :Trương Quang An Vừa rồi ngày 4-1-2016 tôi có nhận được 1 giấy mời ra Hà Nội nhân diệp tạp chí toán tuổi thơ 15 năm tuổi .Bản thân tôi và gia đình rất vui và thấy đây là một vinh dự nhưng hoàn cảnh gia đình quá khó khăn .Tôi đi làm lương quá thấp ,dạy hợp đồng ,vợ tôi đi làm công nhân ở xa .sáng đi 5h sáng ,chiều 8h mới về nhà .Vợ tôi làm thì
3. tháng nào có sản phẩm thì có lương ,không có sản phẩm làm thì tháng đó không có lương ,một tháng được 2 triệu /tháng .Hai vợ chồng làm không đủ trang trải cho cuộc sống hằng ngày .Tôi học toán-tin và chỉ dạy tin học .Thời gian làm thêm phụ gia đình nhiều để có tiền trang trải cuộc sống .Cha tôi ngày xưa làm phụ hồ ,làm thuê làm mướn cho người ta ,mẹ tôi đi rửa chén thuê cho các nhà quán ăn .Tôi đam mê toán học khi là học sinh cấp 1 .Tôi rất nghèo nhưng niềm đam mê toán học trong tôi rất lớn dù tôi có hoạt đông bên lĩnh vực khác .Tôi xin chân thành cảm ơn tạp chí đã có thư mời tôi ra Hà Nội nhé .Tiền tàu xe đi và về ,ăn ở bản thân tôi lo không nổi nên không thể ra dự với tạp chí .Năm ngoái tôi không ra Đà Nẵng dự hội thảo được ,năm nay lại thất hứa .Xin lỗi tạp chí TOÁN TUỔI THƠ ,tuy nhiên tôi xin chúc tạp chí luôn phát triển mạnh mẽ và có nhiều người đam mê toán học nhé .Tôi xin hứa là sẽ thường xuyên viết bài và gởi bài cho tạp chí toán tuổi thơ và tạp chí toán học& tuổi trẻ Tôi rất buồn .Xin chân thành ghi nhận tấm lòng của tạp chí Tên : Trương Quang An Ngày sinh :20-5-1987 Tốt nghiệp cao đẳng sư phạm toán quảng Ngãi năm 2009 Ra trường đi xin việc khắp mọi nơi vào cuối năm 2011 mới xin hợp đồng làm việc giảng dạy toán cho 1 trường cấp 2 Nhà hiện nay ở Thành Phố Quảng Ngãi Thành tích lúc đi học : Lớp 8 : Học sinh đạt giải nhì học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi Lớp 9 : Học sinh đạt giải ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi Lên cấp 3 học Trường Cấp 3 Chuyên Lê Khiết Năm 2005 thi đại học sư phạm Quy Nhơn đạt 28 điểm , tôi phải xa giảng đường đại học vì mẹ tôi đau quá nặng ,gánh nặng cơm áo gạo tiền mà tôi phai chia tay đại học .Sau đó tôi về quê nhà học cao đẳng sư phạm Quảng Ngãi 3 năm học tại đây tôi là sinh viên giỏi nhất khoa về Toán học .Các Thành tích : - Giải nhất toán lý sơ cấp 3 năm học 2006,2007,2008 -Ba năm giải nhất môn giải tích trong kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN cấp trường Cao Đẳng Sư Phạm Quảng Ngãi năm học 2006 ,2007,2008
4. -Trong 3 lần đại diện cho trường thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN Toàn quốc thì 1 lần đạt giải ba ,1 lần giải khuyến khích . -Ba năm liền đạt giải nhất trong kỳ thi sinh viên giải toán trên máy tính casio cấp trường . -Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng đề trong mục đề ra kỳ này của tạp chí toán học tuổi trẻ -Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng bài trong mục chuyên đề của đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ -Giáo viên đầu tiên của tỉnh Quảng Ngãi được đăng bài trên đặc san tạp chí toán học và tuổi trẻ -Hiện nay sáng dạy ở trường vì đồng lương quá thấp nên đi dạy kém khắp nơi đề kiếm thêm tiền để trang trải cuộc sống hằng ngày và phụ giúp cha mẹ nghèo ở quê Quảng Ngãi -Bản thân là người rất đam mê môn toán từ khi tôi còn là học sinh lớp 7 , hiện nay tôi thường giải các bài tập khó và dạy kèm cho các học sinh có nhu cầu vào chuyên toán -Hiện nay bản thân muốn học lên đại học nhưng có lẻ ước mơ đó của tôi không thành hiện thức vì chuyện tiền bạc va gia đình hoàn cảnh -Những giáo viên yêu toán nếu có nhu cầu giải các bài toán khó và giao lưu học hỏi -Xóm tôi bình thường lắm ,bọn nhỏ ngây thơ ,ngộ nghĩnh đáng yêu .Hằng ngày bọn trẻ xóm tôi thường nhờ tôi giúp các bài toán khó .Tôi đến với tạp chí toán học tuổi trẻ khi tôi còn là một học sinh lớp 7 .Mười sáu năm qua tôi đã coi tạp chí như một người bạn quen thuộc mà tôi mong đợi vào ngày 15 hằng tháng .Ban đầu tôi thích thú tò mò tìm thêm tài liệu ,sau nay cố gắng giải các bài tập trong chuyên mục đề ra kỳ này .Trong 16 năm qua tạp chí đã cho tôi được tiếp xúc với các bài toán rất hay ,chuyên đề hay .Ba năm học cao đẳng là thời gian đẹp nhất cuộc đời tôi .Tôi bước vào sư phạm toán với nền tảng kiến thức vô cùng tốt .Ngay tôi được tạp chí đăng 1 bài trên chuyên mục đề ra kỳ này tôi rất vui sướng ,không tả nỗi .Đó là thời điểm năm 2008 ,khi đó tôi chỉ là 1 sinh viên nghèo của trường ,điều kiện học tập không có ,sinh viên cao đẳng như tôi viết bài cho 1 tạp chí toán học là điều viễn vông ,đó là sư thật .Nhưng tôi không nản lòng và cuối cùng tôi cũng đạt được ước mơ của tôi .Những ngày đó thật khó khăn ,tôi chỉ ghi bài giải trên giấy A4 rồi đem thư ra bưu điện gởi .Cách đây 1 năm thì có chị họ làm quán PHÔ T Ô COPPY bán lại một chiếc máy tính đề bàn cũ ,tôi mua với giá 500 ngàn ,vui lắm các bạn ,thế là từ nay có thể đánh vi tinh các bài toán mà minh suy nghĩ và sưu tầm ,sau khi hoàn thiện tôi chạy ra quán PHÔ T Ô COPPY để gởi vì nhà không có mạng INTERNET .Có lẽ tôi sẽ gục ngã trước cuộc sống nghèo khổ và thiếu tiền bạc nếu như tôi không có niềm đam mê toán học .Tôi nhớ mãi năm 2008khi cầm trên tay tờ báo có đăng bài của minh tôi đã vui run luôn ,tôi ra bưu điện mua báo toán ,trên kệ báo còn đúng 1 tờ ,đọc và thấy tên mình và tôi đã lên xe đạp cà tàng của sinh viên đạp nhanh nhanh về nhà ,thật nhanh ,tôi không biết tôi đã qua mấy ngã tư nữa ,chỉ biết đạp thật nhanh .Mấy tháng sau có thư nhận tiên nhuận bút 120.000 ,đối với 1 đứa sinh viên nghèo như tôi đó là số tiền 1 tháng đề ăn sáng đi học ,vui lắm các bạn ak .Sinh viên qua nhanh ,ra trương vì hoàn cảnh cha mẹ đau và không có tiền,không nơi nào nhận mình vào dạy học ,mình đã đi chạy bàn cà phê,chạy bàn đám cưới cho nhà hàng ,mình đi dạy kèm khắp nơi ,có khi phải đi chạy xe ôm nhưng khi rảnh mình thường lấy tạp chí toán học ra xem .Tạp chí như một phần trong cơ thể mình ,rồi sau 4 năm chạy việc
5. khắp nơi tôi cũng xin được hợp đồng cho 1 trường cấp 2 để dạy toán . Nhà tôi hiện nay sách toán rất nhiều ,16 năm qua tôi đã có trong tay khoảng 451 số báo toán học ,mua có ,tôi mượn báo để phô tô cũng có .Hồi xưa khi tới ngày 15 hằng tháng tôi thường ra bưu điện đề mua ,từ nhà đạp xe đạp ra ,tới nơi mệt nhưng khi mua được báo là tôi vui lắm .Vào năm 2014 thì đi làm cuộc sống cũng đỡ khó khăn thì tôi mạnh dạn dành tiên lên bưu điện đặt báo để nhân viên giao tận nhà luôn .Qua thời gian tôi cung mua được chiếc xe máy cũ đề đi làm .Qua nhũng tâm sự này tôi muốn các bạn yêu toán mà có điều kiện hơn tôi hãy cố gắng lên nhé ,hãy đặt mua tạp chí toán học ,hãy viết bài cho tạp chí .Tiền trong cuộc sống không là gì ,nếu chúng ta cố gắng và có ý chí thì chúng ta sẽ thành công .Tôi hiện nay có 2 ước mơ ,thứ nhất được ra thăm toán chí toán học tuổi trẻ 1 lần cho biết ,năm ngoái được tạp chí toán học tuổi thơ mời ra dự buổi hội thảo toán học ở Đà Nẵng nhưng do công việc và cha mẹ đau nặng tôi đã không ra .Thứ 2 mong được học lên đại học hệ chính quy .Mặc dù ở quê tôi có dạy hệ tại chức ,nhưng tôi thích học chính quy hơn ,ước mơ đó có thể với mọi người rất đơn giản nhung với mình khó vì gia đình ,cha mẹ ,tiền bạc phải mưu sinh vì cuộc sống hằng ngày . Trên toàn quốc ,nếu trường nào cần giáo viên như tôi thì liên hệ số điện thoại 01208127776 .Không biết tạp chí toán học có tuyển một cộng tác viên trình độ cao đẳng như tôi không .Lương hợp đồng 15.000đ/tiết quá thấp ,tôi không sống được bằng nghề sư phạm ,