Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH PHÚ THỌ LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Câu 1 (3,0 điểm). a) Cho S = 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) với n là số tự nhiên khác 0 . Chứng minh rằng 4 S 1 là số chính phương. b) Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn x 2 2y 2 2xy y 2 . Câu 2 (4,0 điểm). x 5 4x 3 17x 9 x 1 a) Tính giá trị biểu thức P = với . x 4 3x 2 2x 11 x 2 x 1 4 b) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a b c 5 và a b c 3 . a b c 4 Chứng minh rằng . a 2 b 2 c 2 (a 2)(b 2)(c 2) Câu 3 (4,0 điểm). 3 a) Giải phương trình 3x 1 2x 2 1 5x 2 x 3 . 2 2x 2 y 2 xy y 5x 2 0 b) Giải hệ phương trình . 2 2 x y x y 4 0 Câu 4 (7,0 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2 R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn (O) (M khác A, khác B). Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và M cắt nhau ở E. Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB). Vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE). a) Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp và APMQ là hình chữ nhật. b) Chứng minh rằng PQ, OE, MA đồng qui. c) Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh rằng K là trung điểm MP. d) Đặt AP = x , tính MP theo R và x . Tìm vị trí của M trên đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất. Câu 5 (2,0 điểm). Cho các số thực phân biệt a,b,c . Chứng minh rằng 1 1 1 9 a 2 b 2 c 2 2 2 2 . (a b) (b c) (c a) 2 HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH PHÚ THỌ LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 – 2016 Hướng dẫn chấm môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) I. Một số chú ý khi chấm bài Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm. Thí sinh làm bài theo cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của Hướng dẫn chấm. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số. II. Đáp án và biểu điểm Câu 1 (3,0 điểm). a) Cho S = 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) với n là số tự nhiên khác 0 . Chứng minh rằng 4 S 1 là số chính phương. b) Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn x 2 2y 2 2xy y 2 . ĐÁP ÁN ĐIỂM a) (1,5 điểm). Ta có 0,25 4 S = 1.2.3.4 2.3.4.(5 1) 3.4.5.(6 2) n(n 1)(n 2)(n 3) (n 1) =1.2.3.4 2.3.4.5 1.2.3.4 3.4.5.6 2.3.4.5 n(n 1)(n 2)(n 3) (n 1)n(n 1)(n 2) 0,25 = n(n 1)(n 2)(n 3) 0,25 2 2 Do đó 4 S 1 = n(n 1)(n 2)(n 3) 1 = n 3n n 3n 2 1 0,25 2 2 2 = n 3n 2 n 3n 1 0,25 2 = n2 3n 1 . Vậy 4 S 1 là số chính phương. 0,25 b) (1,5 điểm). Ta có 2 2 0,25 x2 2y2 2xy y 2 x y y2 y 2 x y 1 y 2 y Do x y 2 0,x, y nên 1 y 2 y 0 1 y 2 . Suy ra y 1;0;1;2 0,25 Với y 1 , PT trở thành x2 2x 1 0 x 1 Z 0,25 Với y 0 , PT trở thành x2 2 0 x Z 0,25 Với y 1 , PT trở thành x2 2x 1 0 x Z 0,25 Với y 2 , PT trở thành x2 4x 4 0 x 2 Z . 0,25 Vậy có 2 cặp x; y thỏa mãn đề bài 1; 1 ; 2;2 . Câu 2 (4,0 điểm). x 5 4x 3 17x 9 x 1 a) Tính giá trị biểu thức P = với . x 4 3x 2 2x 11 x 2 x 1 4 b) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a b c 5 và a b c 3 . a b c 4 Chứng minh rằng . a 2 b 2 c 2 (a 2)(b 2)(c 2) ĐÁP ÁN ĐIỂM 1
3. a) (2,0 điểm). x 1 2 2 0,5 Ta có 4x x x 1 x 3x 1 x2 x 1 4 Khi đó x3 x2.x 3x 1 x 3x2 x 3 3x 1 x 8x 3 0,25 x4 x3.x 8x 3 x 8x2 3x 8 3x 1 3x 21x 8 0,25 x5 x4.x 21x 8 x 21x2 8x 21 3x 1 8x 55x 21 0,25 x 5 4x 3 17x 9 55x 21 4 8x 3 17x 9 Suy ra P = 0,25 x 4 3x 2 2x 11 21x 8 3 3x 1 2x 11 6x 3 3 ( do x 0 ). Vậy P = . 0,5 32x 16 16 b) (2,0 điểm). Ta có 0,25 a b c 3 a b c 2 ab bc ca 9 ab bc ca 2 Do đó a 2 a ab bc ca a b a c 0,25 b 2 b ab bc ca b c b a 0,25 c 2 c ab bc ca c a c b 0,25 Suy ra a b c a b c 0,25 a 2 b 2 c 2 a b a c b c b a c a c b a b c b c a c a b 0,25 a b b c c a 2 ab bc ca 0,25 (a 2)(b 2)(c 2) 4 (a 2)(b 2)(c 2) 0,25 a b c 4 Vậy . a 2 b 2 c 2 (a 2)(b 2)(c 2) Câu 3 (4,0 điểm). 3 a) Giải phương trình 3x 1 2x 2 1 5x 2 x 3 . 2 2x 2 y 2 xy y 5x 2 0 b) Giải hệ phương trình . 2 2 x y x y 4 0 ĐÁP ÁN ĐIỂM a) (2,0 điểm). 1 Điều kiện x 0,25 2 PT 2 3x 1 2x2 1 10x2 3x 6 0,25 4 2x2 1 2 3x 1 2x2 1 2x2 3x 2 0 Đặt 2x2 1 t (t 0) , ta được 4t 2 2 3x 1 t 2x2 3x 2 0 0,25 Ta có ' 3x 1 2 4 2x2 3x 2 x2 6x 9 x 3 2 0,25 3x 1 x 3 x 2 t t 4 2 nên PT 0,25 3x 1 x 3 2x 1 t t 4 2 2
4. x 2 x 2 x 2 x 2 Với t thì 2x2 1 2 2 2 2 2 4 2x 1 x 2 7x 4x 8 0 x 2 0,25 2 60 2 60 x . x 7 7 1 1 2x 1 2 2x 1 x x Với t thì 2x 1 2 2 2 2 2 2 2 4 2x 1 2x 1 4x 4x 5 0 1 0,25 x 2 1 6 x . 1 6 2 x 2 1 2 60 1 6  Kết hợp điều kiện x ta được nghiệm của PT là x ;  . 0,25 2 7 2  b) (2,0 điểm). 2x 2 y 2 xy y 5x 2 0 (1) Xét hệ phương trình 2 2 0,25 x y x y 4 0 (2) PT (1) 2x2 y2 xy y 5x 2 0 y2 x 1 y 2x2 5x 2 0 Ta có ' x 1 2 4 2x2 5x 2 9x2 18x 9 9 x 1 2 0,25 x 1 3 x 1 y 2 Khi đó PT (1) 0,25 x 1 3 x 1 y 2 y x 2 0,25 y 2x 1 Với y x 2 , thay vào PT (2) ta được 2x2 4x 2 0 x 1 y 1 0,25 x 1 2 Với y 2x 1 , thay vào PT (2) ta được 5x x 4 0 4 0,25 x 5 4 13 *) x 1 y 1 *) x y 0,25 5 5 4 13 Vậy nghiệm của hệ phương trình là 1;1 và ; 0,25 5 5 Câu 4 (7,0 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2 R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn (O) (M khác A, khác B). Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và M cắt nhau ở E. Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB). Vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE). a) Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp và APMQ là hình chữ nhật. b) Chứng minh rằng PQ, OE, MA đồng qui. c) Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh rằng K là trung điểm MP. d) Đặt AP = x , tính MP theo R và x . Tìm vị trí của M trên đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất. 3
5. ĐÁP ÁN ĐIỂM M Q K E I B A O P a) (2,0 điểm). 1,0 Xét tứ giác AEMO có góc  OAE =  OME = 900 nên tứ giác AEMO nội tiếp. Xét tứ giác APMQ có góc  MPA =  PAQ =  AQM = 900 nên tứ giác APMQ là hình chữ 1,0 nhật. b) (2,0 điểm). Do APMQ là hình chữ nhật nên hai đường chéo PQ và MA cắt nhau tại trung điểm I của mỗi 1,0 đường. Do tiếp tuyến tại A và M cắt nhau tại E, I là trung điểm MA nên O, I, E thẳng hàng. 1,0 Vậy PQ, OE, MA đồng qui tại I c) (2,0 điểm). O là trung điểm AB, I là trung điểm MA nên OI song song với MB  MBP =  EOA 0,5 Mà  MPB =  EAO = 900 nên MPB đồng dạng với EAO (g.g). Suy ra PB : AO = PM : AE PB. AE = PM. AO (1) 0,5 Do PK song song với AE nên PB : AB = PK : AE PB. AE = PK. AB (2) 0,5 Từ (1) và (2) suy ra PM. AO = PK. AB PM. 2AO = 2PK. AB PM = 2PK (do 2AO = AB) 0,5 Vậy K là trung điểm MP. d) (1,0 điểm). Trong tam giác vuông MPO, ta có MP2 = OM2 – OP2 = R2 – (R - x )2 khi P thuộc đoạn OA MP2 = OM2 – OP2 = R2 – (x - R)2 khi P thuộc đoạn OB 0,25 Khi đó MP2 = (2R - x )x . Suy ra MP = (2R x)x Diện tích hình chữ nhật APMQ là S = MP. AP = (2R x)x3 0,25 Áp dụng BĐT a b c d 2 ab 2 cd 44 abcd với mọi a,b,c,d 0 4 a b c d 0,25 hay abcd . Dấu “=” xảy ra a b c d 4 4 x x x 2R x x x x 3 3 S = (2R x)x3 27(2R x). . . 27. 3 3 3 R2 3 3 3 4 4 0,25 x 3 Dấu “=” xảy ra 2R x x R . Suy ra P là trung điểm OB. Do đó ta xác định được 3 2 M để diện tích hình chữ nhật APMQ lớn nhất. 4
6. Câu 5 (2,0 điểm). Cho các số thực phân biệt a,b,c . Chứng minh rằng 1 1 1 9 a 2 b 2 c 2 2 2 2 . (a b) (b c) (c a) 2 ĐÁP ÁN ĐIỂM a b b c c a a b b c c a Ta có 1 1 1 1 1 1 a b b c c a a b b c c a 0,25 a b b c b c c a c a a b . . . 1 a b b c b c c a c a a b 2 a b b c c a Khi đó 0 a b b c c a 2 2 2 0,25 a b b c c a a b b c b c c a c a a b 2. . . . 2 a b b c c a a b b c b c c a c a a b Suy ra a2 b2 b2 c2 c2 a2 (a b)2 (a b)2 (b c)2 (b c)2 (c a)2 (c a)2 2. 2 2 2 2 2 2 (a b) (b c) (c a) (a b) (b c) (c a) 0,5 2 2 2 a b b c c a a2 b2 b2 c2 c2 a2 5 3 2 3 5 (1) 2 2 2 a b b c c a (a b) (b c) (c a) 2 a b c a b c Mặt khác 1 1 1 1 1 1 b c c a a b b c c a a b 0,25 a b b c c a . . . 1 b c c a c a a b a b b c 2 a b c Khi đó 0 b c c a a b 2 2 2 0,25 a b c a b b c c a 2. . . . 2 (2) b c c a a b b c c a c a a b a b b c Từ (1) và (2) suy ra 1 1 1 a2 b2 c2 2 2 2 (a b) (b c) (c a) 2 2 2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 a b c 5 9 2 . 2 2 2 (a b) (b c) (c a) b c c a a b 2 2 0,5 a b b c c a 0 a b b c c a 1 1 1 Dấu “=” xảy ra a b c 0 a b c a b b c c a 0 b c c a a b Chẳng hạn a 0,b 1,c 1 . HẾT 5