Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Sở giáo dục và đào tạo Thái Nguyên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Sở giáo dục và đào tạo Thái Nguyên (Có đáp án)

1. UBND tỉnh Thái Nguyên Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Sở Giáo dục & Đào tạo Độc lập - Tự do - Hạnh phúc KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS Tháng 3 / 2012 MôN: Toán (Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề) Đề chính thức Bài 1. Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không là số chính phương. Bài 2. Giải phương trình và hệ phương trình sau: a, 3 2 x + x 1 = 1 xy z 2 2 2 b, yz x 2 2 xz y 2 Bài 3. Cho ABC có 3 góc đều nhọn. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC; R, r theo thứ tự là độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp ABC; M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên AB, BC và AC. a, Chứng minh: BN . OM + BM . ON = BO . MN b, Đặt ON = d1 ; OM = d2 ; OP = d3 . Tính R + r theo d1 , d2 , d3 ? Bài 4. Lấy một số tự nhiên có 2 chữ số chia cho số có 2 chữ số viết theo thứ tự ngược lại thì được thương là 4 và dư 15. Nếu lấy số đó trừ đi 9 thì được một số bằng tổng bình phương của 2 chữ số tạo thành số đó. Tìm số tự nhiên ấy? Hết Họ tờn thớ sinh: Số bỏo danh: áp án Đ1 UBND tỉnh Thái Nguyên Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
2. Sở Giáo dục & Đào tạo Độc lập - Tự do - Hạnh phúc KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS Tháng 3 / 2012 hớng dẫn chấm toán 9 Bài 1: 3,5 điểm C1: Gọi 5 số nguyờn liờn tiếp là n-2, n-1, n, n+1, n+2 với n nguyờn, dễ thấy tổng cỏc bỡnh phương của 5 số đó là 5(n2 + 2) chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không thể là số chính phương. C2: Xét tính chẵn lẻ của 5 số nguyên liên tiếp đó. Bài 2: a. 3,5 điểm Đặt a = 3 2 x b = x 1 0 a3 b2 1 Ta có : I a b 1 3 2 a + a - 2a = 0 a ( a2 + a -2) = 0 a 0 2 a a 2 0 Hệ ( I ) có ba nghiệm : ( 0 ; 1) ; ( 1 ; 0) ; ( -2 ; 3) nên phương trình đã cho có nghiệm : 2 ; 1 ; 10 b, 3,5 điểm 2 xy z 2 1 2 yz x 2 2 xz y2 2 (3) Từ (1) ; (2) ta có : (x – z)(x – y + z) = 0 (4) Từ (2) và (3) ta có: ( y - x)(x + y –z) = 0 (5) Từ (3) ; (4) ; (5) ta có hệ : x z x y z 0 y x x y z 0 2 xz y 2
3. Để giải hệ trên ta giải 4 hệ x z 0 x z 0 y x 0 A x y z 0 B 2 2 xz y 2 xz y 2 y x 0 x y z 0 x y z 0 C x y z 0 D 2 2 xz y 2 xz y 2 Giải 4 hệ trên ta được 8 bộ nghiệm của hệ phương trình : (1; 1; 1) ; ( -1;-1; -1 ) ; 2; 0 ; 2 ; 2; 0 ; 2 2; 2 ;0 ; 2; 2 ;0 ; 0 ; 2; 2 ; 0 ; 2 ; 2 Bài 3: 6 điểm A a, Ta có BMO = BNO = 900 => OMBN là tứ giác nội tiếp M P Trên BO lấy E sao cho BME = OMN d20 d3 O => BME NMO E d1 BM NM B C => BE NO N => BM . NO = BE . NM Chứng minh tương tự BN. OM = OE .MN Cộng theo từng vế BM .ON +BN . ON = MN . BO b. Đặt a , b , c là độ dài các cạnh BC , AC , AB của ABC a c b theo câu a ta có d . + d = R . 1 2 2 2 2 áp dụng câu a đối với các tứ giác OMAP , ONCD ta có b c a d . + d . = R. 1 2 3 2 2 a b c d . + d . = R. 3 2 2 2 2 Cộng theo từng vế : R 1 . ( a+b+c) = . ( d b + d b + d c + d a + d a + d c) 2 2 1 2 3 3 1 2 r 1 mặt khác S = . ( a+b +c ) = .( d c + d b + d a ) ABC 2 2 1 3 2 Do đó ( R + r )( a+b+c) = ( a+b+c)( d1+d2+d3) hay R + r = d1 + d2 + d3 Bài 4: 3,5 điểm
4. Gọi số phải tỡm là (a , b N; 1 a, b 9) ab 4.ba 15(1) Ta cú hệ 2 2 ab 9 a b (2) C1 : Từ (1) ta thấy nếu => a = b = 9 khụng thỏamón (1) và (2) Vậy b = 1 thay b = 1 vào (2) ta được: – 9 = a2 + 1  10a + 1 – 9 = a2 + 1  a2 – 10a + 9 = 0 a1 = 1; a2 = 9 (*) a = 1 => a = b loại (*) a = 9 => = 91 thỏa món (1) 91 = 4 * 19 + 15 Vậy: Số phải tỡm là 91 C2: Từ hệ trờn cú thể dựng PP thế để giải. Rút 1 ẩn từ PT (1) thế vào PT (2) ta sẽ được một PT bậc 2. Giải PT bậc 2 đó sẽ tỡm được nghiệm. Chỳ ý: - Học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa. - GK có thể bàn để thống nhất điểm cho từng phần nhỏ của mỗi bài.