Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2010-2011 - Sở GD & ĐT Hải Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2010-2011 - Sở GD & ĐT Hải Dương (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MễN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 27/03/2011 (Đề thi gồm cú 01 trang) Cõu 1 (1,5 điểm) Phõn tớch đa thức 4(1 x)(1 y)(1 x y) 3x2 y2 thành nhõn tử. Cõu 2 (2,5 điểm) a) Giải phương trỡnh 2x2 7x 10 2x2 x 4 3(x 1) . 4x2 2 y 1 4x 4y2 b) Giải hệ phương trình 2 z 1 4y 4z2 x 1 4z2 Cõu 3 (2,0 điểm) a) Tỡm cỏc số nguyờn dương x, y, z thỏa món đồng thời hai điều kiện sau : x y 2011 là số hữu tỉ và x2 y2 z2 là số nguyờn tố. y z 2011 b) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh 20y2 6xy 150 15x . Cõu 4 (3,0 điểm) Cho tam giỏc ABC nhọn cú trung tuyến CM. Cỏc đường cao AH, BD, CF cắt nhau tại I. Gọi E là trung điểm của DH. Đường thẳng qua C và song song với AH cắt BD tại P; đường thẳng qua C và song song với BD cắt AH tại Q. a) Chứng minh PI.AB = AC.CI b) Gọi (O) là đường trũn ngoại tiếp tam giỏc CDH. Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường trũn (O). c) CE cắt đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC tại R (R khỏc C); CM cắt đường trũn (O) tại K (K khỏc C). Chứng minh AB là đường trung trực của đoạn KR. Cõu 5 (1,0 điểm) 1 1 2 a) Chứng minh , x, y 0 thỏa món xy 1 . 1 x 1 y 1 xy 1 b) Cho a, b, c là cỏc số dương thỏa món điều kiện a, b, c 2 . Chứng minh 2 a b c 22 . a b b c c a 15 Hết 1
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM HẢI DƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH MễN TOÁN LỚP 9 – THCS NĂM HỌC 2010 – 2011 + Đỏp ỏn gồm cú 05 trang + Thớ sinh làm theo cỏch khỏc đỳng vẫn cho đủ điểm thành phần tương ứng Cõu í Nội dung Điểm Phõn tớch đa thức 4(1 x)(1 y)(1 x y) 3x2 y2 thành nhõn tử 1,50 A = 4(1 x y xy)(1 x y) 3x2 y2 0,25 4(1 x y)2 4(1 x y)xy 3x2 y2 0,25 1 2(1 x y) xy)2 (2xy)2 0,5 2 2x 2y xy 2 2x 2y 3xy 0,5 a Giải phương trỡnh 2x2 7x 10 2x2 x 4 3(x 1) (1) 1,50 2 2 2 7 31 2 1 31 2x 7x 10 2 x 0, 2x x 4 2 x 0,x Ă 4 8 4 8 0,5 Vậy TXĐ: Ă - Nếu x 1 0 x 1 thỡ VP(1) 0, VT(1) 0 (khụng thỏa món) - Nếu x 1 0 x 1 thỡ (1) 6x 6 3 x 1 2x2 7x 10 2x2 x 4 0,5 2x2 7x 10 2x2 x 4 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra 2 2x2 x 4 3x 1 1 1 3x 1 0 x x x 3 2 2 3 3 0,25 2 4(2x x 4) 9x 6x 1 2 x 2x 15 0 x 3, x 5 Thử lại. Với x = 3 thỡ VT(1) = VP(1) = 12 0,25 Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = 3 b Giải hệ phương trình 1,00 - Nếu x = 0 thỡ hệ cú nghiệm (x ; y ; z) là (0 ; 0 ; 0) 0,25 2 1 1 4x 4 1 2 4 y 4x y x2 1 1 4y2 4 1 - Nếu x 0 y 0; z 0 . Ta cú : 2 2 4 0,25 z 4y z y 1 1 4z2 4 1 4 2 2 x 4z x z Cộng theo vế cỏc phương trỡnh của hệ ta được 0,25 2
3. 1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 2 4 0 x x y y z z 2 2 2 1 1 1 2 2 2 0 x y z 1 1 x y z . Thử lại ta thấy x y z thỏa món hệ pt đó cho. 2 2 0,25 1 1 1 Vậy hệ cú 2 nghiệm (x ; y ; z) là (0 ; 0 ; 0), ; ; . 2 2 2 a Tỡm cỏc số nguyờn dương x, y, z thỏa món đồng thời hai điều kiện 1,00 x y 2011 m Ta cú (1) , trong đú m, n là cỏc số nguyờn thỏa món y z 2011 n 0,25 n > 0, (m, n) = 1. (1) nx my 2011 ny mz (2). Vỡ 2011 là số vụ tỉ và m, n, x, y, z là cỏc số nguyờn nờn ta cú nx my 2 0,25 (2) nx – my = ny – mz = 0 xz y . ny mz Ta lại cú : x2 y2 z2 x z 2 2xz y2 x z 2 y2 x y z x y z 0,25 Vỡ x2 y2 z2 là số nguyờn tố và x + y + z là số nguyờn lớn hơn 1 nờn x – y + z = 1. Do đú x2 y2 z2 x y z (3) 3 Nhưng x, y, z là cỏc số nguyờn dương nờn x2 x ; y2 y ; z2 z Suy ra x2 = x, y2 = y, z2 = z => x = y = z = 1. x y 2011 0,25 Khi đú 1 và x2 y2 z2 3 (thỏa món) y z 2011 Vậy (x ; y ; z) = (1 ; 1 ; 1) thỏa món yờu cầu bài toỏn. b Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh 20y2 6xy 150 15x . 1,00 Ta cú : 150 – 15x = 20y2 – 6xy 6xy – 15x = 20y2 – 150 3x(2y – 5) = 5(4y2 – 25) – 25 0,25 (2y – 5)(10y + 25 – 3x) = 25 Xột 6 trường hợp sau 2y 5 1 x 10 ) (thỏa món) 10y 25 3x 25 y 3 0,25 2y 5 25 x 58 ) (thỏa món) 10y 25 3x 1 y 15 3
4. 70 2y 5 1 x ) 3 (loại) 10y 25 3x 25 y 2 0,25 x 10 2y 5 25 ) 74 (loại) 10y 25 3x 1 y 3 70 2y 5 5 x ) 3 (loại) 10y 25 3x 5 y 5 0,25 2y 5 5 x 10 ) (thỏa món) 10y 25 3x 5 y 0 Vậy phương trỡnh cú 3 nghiệm (x ; y) là (10 ; 3), (58 ; 15), (10 ; 0). a Chứng minh PI.AB = AC.CI 1,00 C 1 Q E H P 0,25 Chứng minh Pã CB 900 D ã à 0 I ACB C1 90 Ta cú : à à 0 P C1 90 A B F M ãACB Pà (1) 4 Chứng minh tứ giỏc ADIF nội tiếp Cã AB Pã IC (2) 0,25 Từ (1) và (2) PIC : CAB (g.g) 0,25 PI IC PI.AB AC.IC (đpcm) 0,25 AC AB b Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường trũn (O) 1,00 Chứng minh tứ giỏc CDIH nội tiếp đường trũn (O) 0,25 Dã CI là gúc nội tiếp chắn cung DI (3) ADB cú DM là đường trung tuyến 0,25 MDB cõn tại M Mã BD Mã DB (4) Ta lại cú Mã BD Dã CI (cựng phụ với Cã AB ) (5) 0,25 Từ (4) và (5) Mã DB Dã CI (6) 0,25 Từ (3) và (6) suy ra MD là tiếp tuyến của đường trũn (O) c Chứng minh AB là đường trung trực của đoạn KR 1,00 4
5. C H E D K MD là tiếp tuyến của (O) I MD2 MK.MC 0,25 MB2 MK.MC (MD MB) A B MB MK F M MC MB c MBC : MKB (c.g.c) R Mã BK Mã CB (7) Chứng minh tứ giỏc ADHB nội tiếp CD DH Cã DH ãABC CDH : CBA(g.g) CB AB 0,25 CD CB CD CB CDE : CBM (g.g) Mã CB ãACR (8) DH AB DE MB Ta lại cú : ãACR ãABR (9) 0,25 Từ (7), (8), (9) Mã BK ãABR BA là phõn giỏc của Kã BR Chứng minh tương tự ta được AB là phõn giỏc của Kã AR 0,25 Từ đú suy ra AB là đường trung trực của KR. 1 1 2 a Chứng minh , x, y 0 thỏa món xy 1 0,50 1 x 1 y 1 xy 1 1 1 1 (1) 0 1 x 1 xy 1 y 1 xy xy x xy y 0 (1 x)(1 xy) (1 y)(1 xy) 0,25 x y x y y x y x x y 0 0 5 (1 x)(1 xy) (1 y)(1 xy) 1 xy 1 x 1 y 2 y x x x y y x y y x xy 1 0 0 1 xy 1 x 1 y 1 xy 1 x 1 y 0,25 BĐT cuối cựng đỳng do xy 1 . Đẳng thức xảy ra x y hoặc xy 1 a b c 22 b Chứng minh 0,50 a b b c c a 15 5
6. 1 1 1 22 (2) . b c a 1 1 1 15 a b c b c a 1 Đặt x , y , z thỡ x, y, z 4 và xyz 1 a b c 4 1 1 1 22 BĐT trở thành 0,25 1 x 1 y 1 z 15 Khụng giảm tổng quỏt, giả sử z nhỏ nhất suy ra xy 1 . Theo cõu a 1 1 1 2 1 2 1 2t 1 , t z 1 2 1 x 1 y 1 z 1 xy 1 z 1 1 z t 1 t 1 z 2t 1 22 1 Ta sẽ CM , t 2 . Bằng biến đổi tương đương t 1 t 2 1 15 2 BĐT 8t3 22t 2 23t 7 0 (2t 1)(4t 2 9t 7) 0 . 0,25 1 BĐT cuối cựng đỳng do t và 4t 2 9t 7 0, t . 2 Hết 6