Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS - Môn thi: Toán (Bảng A)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS - Môn thi: Toán (Bảng A)

1. SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NGHỆ AN NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,0 điểm). 3 3 3 a) Cho các số nguyên a1, a2, a3, , an. Đặt S = a1 a2 an và P a1 a2 an . Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6. b) Cho A = n6 n4 2n3 2n2 (với n N, n > 1). Chứng minh A không phải là số chính phương. Câu 2 (4,5 điểm). a) Giải phương trình: 10 x3 1 3x2 6 1 x 3 y 1 b) Giải hệ phương trình: y 3 z 1 z 3 x Câu 3 (4,5 điểm). 1 1 1 a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và 4 . x y z 1 1 1 Chứng minh rằng: 1 2x+y+z x 2y z x y 2z b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn x2011 y2011 z2011 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M x2 y2 z2 Câu 4 (4,5 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác. Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. (M không trùng với B và C). Gọi N và P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC. a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng. 1 1 b) Khi B· OC 1200 , xác định vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ nhất. MB MC Câu 5 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. - - - Hết - - - Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - Bảng A Câu: Nội dung 1. 3 Với a Z thì a a (a 1)a(a 1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3. Mà (2.3)=1 a3 a6 3 3 3 S P (a1 a1 ) (a2 a2 ) (an an )6 Vậy S6 P6 n6 n4 2n3 2n2 n2 (n 1)2 .(n2 2n 2) 2 2 2 với n N , n > 1 thì n 2n 2 (n 1) 1 > (n 1) 2 2 2 và n 2n 2 n 2(n 1) 0) 2 2 Ta có: 10ab = 3a 3b a = 3b (a 3b)(3a-b) = 0 b 3a Trường hợp1: a = 3b 2 Ta có: x 1 3 x x 1 (1) 2 9x 9x+9=x+1 2 9x 10x+8 = 0 ' 25 9.8 < 0 phương trình (1) vô nghiệm Trường hợp 2: b = 3a 2 Ta có: 3 x 1 x x 1 9(x 1) x2 x 1
3. x 5 33 (TM) 1 2 x 10x-8 = 0 x2 5 33 (TM) Vậy phương trình có 2 nghiệm x 5 33 1 x 3 y 1 y 3 z 1 z 3 x 3x-1 z Từ (3) x thay vào (2) 3xy+3 = 8x+y (4) Từ (1) xy 1 3y 3xy+3 = 9y (5) Từ (4) và (5) 8x+y = 9y x y Chứng minh tương tự : y = z Từ đó x y z 1 x 3 x2 3x+1 = 0 Thay vào (1) x 3 5 x 2 3 5 x y z hệ có 2 nghiệm 2 3. 1 1 4 Áp dụng bất đẳng thức x y x y (với x,y > 0) 1 1 1 1 1 1 1 ( ) Ta có: 2x+y+z 4 2x y z ; y z 4y 4z 1 1 1 1 1 ( ) Suy ra: 2x+y+z 4 2x 4y 4z (1) 1 1 1 1 1 ( ) Tương tự: x+2y+z 4 4x 2y 4z (2) 1 1 1 1 1 ( ) x+y+2z 4 4x 4y 2z (3) 1 1 1 1 1 1 1 ( ) Từ (1),(2),(3) 2x+y+z x+2y+z x+y+2z 4 x y z
4. 1 1 1 1 2x+y+z x+2y+z x+y+2z 3 x y z Dấu "=" xảy ra 4 2011 2011 Áp dụng bất đẳng thức CôSy cho x ,x và 2009 số 1 ta có: x2011 x2011 1 1 1 20112011 (x2 )2011 2009 2011 2 2x 2009 2011x (1) 2011 2 Tương tự: 2y 2009 2011y (2) 2011 2 2z 2009 2011z (3) 2(x2011 y2011 z2011 ) 3.2009 x2 y2 z2 Từ (1), (2), (3) 2011 2 2 2 x y z 3 Giá trị lớn nhất của M là 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1 4. A I E P O N H B F C M Gọi giao điểm của BH với AC là E AH với BC là F, CH với AB là I HECF là tứ giác nội tiếp. A· HE A· CB (1) Mà A· CB A· MB ( góc nội tiếp cùng chắn một cung) Ta có: A· MB A· NB (Do M, N đối xứng AB) (2) Từ (1), (2) AHBN là tứ giác nội tiếp N· AB N· HB (*) Mà N· AB M· AB (Do M, N đối xứng qua AB ( ) Từ (*), ( ) N· HB B· AM Chứng minh tương tự: P· HC M· AC
5. N· HB P· HC B· AM M· AC B· AC 0 Mà B· AC I·HE 180 · · · 0 NHB PHC BHC 180 ( vì I·HE B· HC ) N, H, P thẳng hàng Gọi J là điểm chính giữa của cung lớn BC 0 B· OC 120 BJC đều Trên đoạn JM lấy K sao cho MK = MB JKB CMB J O K C B M BM MC JM 1 1 4 BM MC BM MC 1 1 4 BM MC JM JM lớn nhất JM là đường kính (O) lúc đó M là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. 1 1 Vậy BM MC nhỏ nhất M là điểm chính giữa cung nhỏ BC 5. · 0 · 0 + Khi BAC 90 BIC 90 . F trùng với B, E trùng với C lúc đó EF là đường kính. EF đi qua điểm O cố định.
6. B F O K I A E C + Khi B· AC 900. Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF. · · EIF EAF (cùng bù B· IC ) E· KF E· IF (Do I và K đối xứng qua EF) E· KF E· AF AKFE nội tiếp · · KAB KEF (cùng chắn K»F ) (1) I·EF K· EF (Do K và I đối xứng qua EF) (2) I·EF B· IK ( cùng phụ K· IE ) (3) · · Từ (1), (2), (3) KAB BIK AKBI là tứ giác nội tiếp K (O) Mà EF là đường trung trực của KI E, O, F thẳng hàng. + Khi B· AC > 900 B· IC < 900 chứng minh tương tự. Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O cố định. - - - Hết - - -