Đề thi chọn học sinh giỏi - Môn: Toán (đề chính thức)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi - Môn: Toán (đề chính thức)

1. PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014-2015 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) Ngày thi 03 tháng 03 năm 2015 Câu 1 (2,0 điểm). a) Tìm các số tự nhiên n để A= n4 6 n 3 11 n 2 2 n 7 là số nguyên tố. 4 x 1 x2015 2 x 2014 2 x 1 b) Tính giá trị của biểu thức M , với: 23xx2 13 x 2 3 2 2 3 1 Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải phương trình: 3x 1 6 x 3 x2 14 x 8. 22 xyy 5 8 3 b) Giải hệ phương trình: (2x 4 y 1)2 x y 1(4 x 2 y 3) x 2 y Câu 3 (2,0 điểm). a) Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn: 3x 171 y2 . 7 b) Gọi MN, là hai đa giác đều, có tỉ số giữa số đo các góc trong của chúng là . 9 Tính số đường chéo của mỗi đa giác. Câu 4 (3,0 điểm). 1. Cho hai đường tròn (O) và (O/) cắt nhau tại A và B. Điểm M di chuyển trên (O), qua M kẻ tiếp tuyến với MD với (O/), với D là tiếp điểm. MD2 a) Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. MA. MB b) Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng OO’ chứa điểm B, vẽ tiếp tuyến chung CK của hai đường tròn(C thuộc (O), K thuộc(O/)). Qua A kẻ đường thẳng song song với CK cắt đường tròn (O) tại E, cắt đường tròn (O/) tại F. Đường thẳng BC và BK cắt đường thẳng EF theo thứ tự tại P và Q; đường thẳng CE và KF cắt nhau tại I. Chứng minh AI vuông góc với CK và tam giác IPQ là tam giác cân. 0 2. Trên đường tròn (O; R) lấy hai điểm B, C sao cho số đo cung nhỏ BC bằng 120 . Điểm A thuộc cung lớn BC. Điểm M di chuyển trên cung nhỏ BC. Gọi D, H, K là hình chiếu của M trên các đường thẳng BC, CA, AB. Tìm vị trí của điểm M để biểu thức BC CA AB có giá trị nhỏ nhất. MD MH MK Câu 5 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương, nhỏ hơn 1 thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1. x2(12) y y 2 (12) z z 2 (12) x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S y z x Hết SBD: Họ và tên thí sinh: Giám thị 1: Giám thị 2:
2. PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 – 2015 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) Ngày thi 03 tháng 03 năm 2015 Điểm Tổng Câu Ý Nội dung TP điểm Phân tích A= n4 6 n 3 11 n 2 2 n 7 n 2 n 1 n 2 5 n 7 0.25 Với n=0 thì A =-7 không là số nguyên tố. 0.25 Với n N,1 n thì 0 n22 n 1 n 5 n 7 a 1 Để A là số nguyên tố thì: 0.25 22 n 1( tm ) n n11 n n 20 (1)(2)0 n n n 2( ktm ) Khi n=1 thì A=13 là số nguyên tố. Vậy n=1 0.25 1 3 4 2 3 3 1 1 x 0.25 2 3 2 2 3 1 42 Suy ra: 2xx2 2 1 0 0.25 4 x 1 x2015 2 x 2014 2 x 1 2x2014 (2 x 2 2 x 1) 2 x 1 M b 23xx2 2x2 2 x 1 x 1 1 0.25 2x 1 1 2 2 2 3 3 xx 1131 2x 1 1 2 2 2 3 3 . Vậy M 33 0.25 xx 1131 1 ĐK: x 6 . Với điều kiện đó thì phương trình tương tương với: 0.25 3 (3x 14)(1 6 x )3 x2 14 x 50 3xx 1 16 1 6 (xx 5)(3 1) 0 3xx 1 4 1 6 0.25 a 31 1 xx 5 3 1 0 3xx 1 4 1 6 3 1 1 x 5 0 Do 3 x 1 0 khi x 6 2 3xx 1 4 1 6 3 0.25 x 5 KL: Phương trình có một nghiệm duy nhất x=5 0.25 22 xyy 5 8 3 21xy ĐKXĐ: 0.25 (2x 4 y 1)2 x y 1(4 x 2 y 3) x 2 y xy 20 b Hệ phương trình tương đương với: 22 xyy 5 8 3 (1) 0.25 [2(x 2 y ) 1] 2 x y 1 [2(2 x y 1) 1] x 2 y (2)
3. 21x y a Đặt thì phương trình (2) trở thành: xy 2 =b 0.25 1 a b 2 ab 1 0 Mà 2ab 1 0 nên a b 2 ab 1 0 a b Suy ra x=3y+1. Khi đó phương trình (1) trở thành: y 1 2 2yy 1 0 1 y 2 0.25 Với y=1 thì x=4 (Thoả mãn) 1 1 Với y= thì x= (Không thoả mãn) 2 2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x=4; y=1) Xét 3x 171 y2 : 0.25 Với x=1 suy ra y2 174(Không thoả mãn với y nguyên dương) y Với x 2 . Đặt x-2=n. Ta có: 9.3nn 171 yk22 3 19 (1) với k 0.25 3 *Nếu nm 2 thì từ (1) suy ra: (kk 3mm )( 3 ) 19 a 1 kk 3m 19 10 Suy ra 0.25 m k 31 m 2 Suy ra n=4, y=30, x=6 3n 19 k 2 *Nếu n lẻ thì chia 4 dư 2, chia 4 dư 0 hoặc 1 (vô lí) 0.25 Vậy x=6, y=30. Giả sử đa giác đều M có số cạnh là a , đa giác đều N có số cạnh là b a, b N và ab,3 (a 2)1800 Mỗi góc trong của M là: 0.25 3 a (b 2)1800 Mỗi góc trong của N là: b Ta có: ba( 2) 7 9b ( a 2) 7 a ( b 2) ab( 2) 9 b 0.25 1 ab 79 a b 9b 63 a 9 bb 73 Do a và b là các số tự nhiên lớn hơn 3 nên ta tìm được b=14 hoặc b=56 0.25 Suy ra a=6 hoặc a=8 *Với a=6 thì đa giác M có số đường chéo là: 6(6-3):2=9 b=14 thì đa giác N có số đường chéo là: 14(14-3):2=77 0.25 *Với a=8 thì đa giác M có số đường chéo là: 8(8-3):2=20 b=56 thì đa giác N có số đường chéo là: 56(56-3):2=1484
4. 0.25 1 1 a Gọi N là giao điểm thứ hai của MA với (O’). 0.25 Chứng minh: MD2 MA. MC MD2 MA. MC MC Suy ra 0.25 MA MB MA MB MB Chứng minh hai tam giác MBN và OBO’ đồng dạng suy ra: MC OO' 0.25 (không đổi) MB OB 4 H 0.25 1 1 b Có CK // EF => góc ICK = góc IEF. Mà góc IEF = góc KCA => Góc ICK = góc KCA => CK là phân giác của góc ICA. Chứng minh tương tự ta được: KC là phân giác của góc IKA. 0.25 => Hai điểm I và K đối xứng nhau qua CK => IA vuông góc với EF. Mà EF // CK => IA vuông góc với CK. Gọi giao điểm của AB với CK là H. / Do CK là tiếp tuyến của (O) và (O ) nên ta chứng minh được 0.25 HC2 = HA.HB và HK2 = HA.HB. Suy ra HC = HK HC HK Do CK // EF nên CK // PQ => ( hệ quả của định lí Ta- let) AP AQ 0.25 Từ đó suy ra: AQ = AP. Vậy tam giác IPQ là tam giác cân tại I.
5. 0.25 Ta có: gócMCD = góc MAK suy ra: các tam giác MCD, MAK đồng dạng suy MD MC MA. MD ra MC (1) MK MA MK Tương tự các tam giác MBD, MAH đồng dạng suy ra MD MB MA. MD MB (2) 2 MH MA MH 1 Chứng minh được: MA.BC=AB.MC+AC.MB 0.25 MA MD MA MD Suy ra: MA BC AB AC MK MH BC AC AB Suy ra: MD MH MK BC AC AB BC 0.25 Từ đó 2. (*) MD MH MK MD BC AC AB23 R Lại có BC=R 3 . Suy ra MD MH MK MD BC AC AB Để nhỏ nhất thì MD lớn nhất MD MH MK MD lớn nhất khi và chỉ khi M là điểm chính giữa cung BC R Khi đó MD 0.25 2 BC AC AB23 R Vậy 43 MD MH MK MD Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M là điểm chính giữa cung BC Do 0 0 ; ; ; 0 x y z 5 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các cặp số dương ta có: 1 yy2 (1 ) y(1 y ) 2 x (1 y ) y xz2 (1 ) z(1 z ) 2 y (1 z ) z 0.25
6. zx2 (1 ) x(1 x ) 2 z (1 x ) x Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được: Sxyz 2( xyz ) 2( xyyzzx ) => S x y z 2 ( 2) ( Do xy yz xz 1) 0.25 Từ (1) và (2) suy ra S 32 3 Đẳng thức xảy ra khi x y z (thoả mãn ĐK) 3 0.25 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức S là 32 khi x y z 3 * Chú ý: Học sinh có thể làm cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. Hết