Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Tĩnh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Tĩnh (Có đáp án)

1. SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2018 – 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN Thời gian làm bài 120 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 01208127776.Nguồn gốc : sáng tác I.PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) 1 Câu 1. Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A( ;4)và B(2; 7). 2 Tính M = 3313a 5 b b 13 a 5 b b a 2 b 8 a 2 Ta có đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A( )và B(2; 7) nên . 2a bb 7 3 Khi đó 3313a 5 b b 13 a 5 b b ( 3 2) (2 3) 2 3 Câu 2. Dãy số an thõa mãn an+1 = an + 3, với n * và a2 + a19 = 25. Tính tổng S = a1 + a2 + + a20 Ta có có a3 a 23; a 4 a 3 3 a 2 2.3; a 19 a 2 17.3 25 a 2 a 2 17.3 a2 13 a 1 a 2 3 16.Lúc đó suy ra S = a1 + a2 + + a20 20a1 3(1 2 19) 250 aa32 2a 7 0 Câu 3. Cho hai số thực a, b thõa mãn .Tính a – b 32 b 2 b 3 b 5 0 a3 a 2 2a 7 0 a 3 a 2 2a 7 0 Ta có a3 ( b 1) 3 b 2 ( a 1) 2 0 3 2 3 2 b 2 b 3 b 5 0 ( b 1) b 6 0 22 (a b 1). a a (1)(1)( b b a b )10 a b 1.
2. Câu 4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1;2)và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất Gọi phương trình đường thẳng đi qua A là y ax b . Vì phương trình đường thẳng d đi qua A(1;2) nên ab 2 . Gọi M,N lần lượt là giao điểm của d với trục Oy và Ox ,khoảng cách từ O đến d là OH. Ta có 1 1 1 1a2 1 a 2 b 2 (2 a 1) 2 OH 2 55 . OHOMONbb2 2 2 2 2 b 211 a 2 a 2 15 15 Dấu bằng ra khi ab .Do đó phương trình d là yx . 22 22 a4 a 3 3a 2 a 1 Câu 5. Cho số thực a > 0. Tìm GTLN của P = a3 a 2 11 4 3 2 aa 3 a a 3a a 1 2 1 Ta có P aa.Đặt t a 21 a .Ta có 3 1 a a a a a 2 11 4 3 2aa 3 2 a a 3a1 a 2 t t 113 t t t 13.27 P aa 2 . 1 3 1 a aa t 4 t 4 4 t 4 2 a 7 .Vậy giá trị nhỏ nhất P là khi a 1. 2 x by cz Câu 6. Cho các số thực a, b, c khác -1 và các số x, y, z khác 0 thỏa mãn y cz ax z ax by 1 1 1 .Tính tổng T 111 a b c x by cz 1 x Ta có yc z ax xa ( 1) axbyc z . a 1z ax by c z ax by
3. 1 1 1x y z 2( ax by c z) Nên ta có T 2 1 a 1 b 1 c ax by c z ax by c z Câu 7. Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 3, P(2) = 6, P(3) = 11 .Tính Q = 4P(4) + P(-1) Ta có R( x ) P ( x ) ( x2 2) R (1) 0, R (2) 0, R (3) 0.Do đó Rxx( ) ( 1)( x 2)( x 3)( xmPxx ) ( ) ( 1)( x 2)( x 3)( xmx ) (2 2).Vậy Q( x ) 4 3.2.1(4 m ) 18 ( 2)( 3)( 4)( 1 m ) 3 195 1 Câu 8. Tìm các số thực a biết a 15 và 15 đều là các số nguyên. a 1 Ta có x a 15; y 15( x , y ).Ta có a 1 y 15(, x y ) xy 16( y x )15 .Nếu x khác y thì vế phải là số vô tỉ x 15 và vế trái là số nguyên ,vô lí. Do đó x y xy 16 0 x y 4.Từ đó ta có aa 4 15; 4 15 . sin22 3sin co s co s Câu 9. Cho góc nhọn có tan 2 . Tính M sin co s co s2 1 sin22 3sin co s co s 22 sin 3sin co s co s 2 M cos sin co s co s2 1 sin co s co s2 1 cos2 2tan2 3tan 1 15 . tan2 tan 2 8
4. Câu 10. Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD, tia phân giác góc A cắt BD tại I. Biết IB = 10 5 , ID = 5 . Tính diện tích tam giác ABC. AD I D 1 AB AB2 AD ; A D2 AB 2 B D 2 AB 2 (15 5) 2 AB IB 2 2 4 AD AB DC A D 1 AB 30( cm ) A D 15( cm ); BC 2D C.Ta có DC BC BC AB 2 2 2 2 2 2 2 AB AC BC900 ( DC 15) 4 C D C D 25( cm ) AC 40( cm ) SABC 600( cm ) II. PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giây thi) Câu 11. Giải phương trình 3 24 xx 12 6 Điều kiện x 12 .Ta đặt a 3 24 x ; b 12 x .Khi đó ta có a 0 ab 6 a( a 3)( a 4) 0 a 3 .Từ đó ta có nghiệm là S 24;3; 88 . 32  ab 36 a 4 Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. a) Khi AB = 12cm, tỉ số giữa bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác 2 ABC bằng .Tính diện tích tam giác ABC. 5 b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng BE CH CF BH AH BC A N F M E B C H P O a)Gọi O là trung điểm của BC thì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.GọiI là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC thì I là tâm đường tròn nội tiếp tam
5. giác ABC .Gọi M,N,P lần lượt là hình chiếu vuông góc của I trên AB,AC,BC . r 2 Đặt BC 2O A 2R; IM IN IP r . Theo bài ra ta có BC 5 r . R 5 Ta có AC2 BC 2 AB 2 25 r 2 144.Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau thì BM BP, CP CFvà tứ giác AMIN là hình vuông nên AM AN r . Do đó AB AC r BM r CE2 r BP CP 2 r BC 7 r AC 7r 12. 22 r 3 Từ đó 25r 144 (7r 12) (rr 3)( 4) 0 . r 4 2 2 Với r 3 thì AC 9 thì SABC 54( cm ). Với r 4 thì AC 16 thì SABC 96( cm ). b)Ta có BE CH CF BH AH BC BE BH CH CF BC BH AH BC BE EH AF Ta lại có EH song song AC nên BE. AC AB .AF . AB AC AC Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có BE. BH . CH CF BC . BH BE . AC CF . AB AB ( CF AF)=AB.AC=AH.BC. Câu 13. Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe Honda Future với chi phí mua vào là 23 triệu đồng và bán ra 27 triệu đồng mỗi chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe mà khác sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng, theo tỉ lệ cứ giảm 100 nghìn đồng mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm tăng thêm 20 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải bán với giá mới là bao nhiêu để sau khi giảm giá, lợi nhuận thu được là cao nhất. Gọi x là giá mới mà doanh nghiệp phải bán ,điều kiện x > 0,đơn vị triệu đồng.Theo bài ra ta có số tiền mà doanh nghiệp sẽ giảm là 27-x (triệu đồng ) mỗi chiếc.Khi đó số lượng xe tăng lên là 20(27 xx ): 0,1 200(27 )(chiếc) .Do đó số lượng xe doanh nghiệp phải bán là 600 200(27 x ) 6000 200x (chiếc).Vậy doanh thu doanh nghiệp sẽ là (6000 200x)x(triệu đồng ).Tiền vốn mà doanh nghiệp phải bỏ ra là (6000 200x).23(triệu đồng ).Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được sau khi bán gía mới là (6000 200x)x-(6000 200x)x.23=-200x2 10600x 138000
6. 200(x 26,5)2 2450 2450.Gía trị lợi nhuận thu được cao nhất là 2450 .Khi đó giá bán mới là 26,5 triệu đồng. CHUYÊN GIA VỀ TOÁN HÀNG ĐẦU TẠI QUẢNG NGÃI ,NHƯNG MÀ GIÁO DỤC XÃ HỘI KHÔNG CẦN TOÁN CAO CẤP ,TOÁN NÂNG CAO ,BỒI DƯỠNG HSG TỈNH HUYỆN ,CASIO SỐ MỘT TẢI QUẢNG NGÃI –VÙNG ĐẤT NGHÈO NHẤT VIỆT NAM Kính chào tạp chí toán tuổi thơ ! Ngày 15-11-2016 tạp chí toán tuổi thơ mời mình ra Hà Nội ,Lại một lần nữa mình không ra dược vì không có tiền mua vé tàu .Tại sao cuộc đời lại bất công với tôi như thế .Mình sống trên núi cao quá ,mọi thứ đều khó khăn Trên chuyến tàu của toán học luôn thiếu mình .Một lời giải mà mình giải không ra .Đó là Tiền ,tại sau toi lại bần cùng đến như vậy hả trời .Buồn cho xã hội không tận dụng nhân tài .Tuyển dụng công chức là để tìm người nhà và tiền .Kẻ như tôi thì không có : THÂN THẾ TIỀN và như thế bị vứt ra đường trong chuyến tàu tốc hành của giáo dục Việt Nam .Tại sao người ta có thể mua một kg nho Nhật Bản với giá 1,3 triệu -1,5 triệu để ăn mà mình lại mua một vé tàu đi về Quảng Ngãi –Hà Nội giá 700 trăm nghìn không được ,bài toán giải mãi mà chẳng xong .Người bần cùng ,kẻ thì mua kg nho Nhật Bản 2 triệu cho đứa con 4 tuổi để ăn ,mua hàng mà phải đặt tiền cọc trước .Nho này hiếm mà có kg nào nhập về là dân Việt Nam giới thượng lưu mua hết trong một giời đồng hồ .Thật sự sốc ,trái cây Việt Nam rẻ như bèo mà “cho không lấy ,thấy không xin nói gì tới việc mua bán nữa “ Kính chào tạp chí toán tuổi thơ ! Tôi tên là :Trương Quang An
7. Vừa rồi ngày 4-1-2016 tôi có nhận được 1 giấy mời ra Hà Nội nhân diệp tạp chí toán tuổi thơ 15 năm tuổi .Bản thân tôi và gia đình rất vui và thấy đây là một vinh dự nhưng hoàn cảnh gia đình quá khó khăn .Tôi đi làm lương quá thấp ,dạy hợp đồng ,vợ tôi đi làm công nhân ở xa .sáng đi 5h sáng ,chiều 8h mới về nhà .Vợ tôi làm thì tháng nào có sản phẩm thì có lương ,không có sản phẩm làm thì tháng đó không có lương ,một tháng được 2 triệu /tháng .Hai vợ chồng làm không đủ trang trải cho cuộc sống hằng ngày .Tôi học toán-tin và chỉ dạy tin học .Thời gian làm thêm phụ gia đình nhiều để có tiền trang trải cuộc sống .Cha tôi ngày xưa làm phụ hồ ,làm thuê làm mướn cho người ta ,mẹ tôi đi rửa chén thuê cho các nhà quán ăn .Tôi đam mê toán học khi là học sinh cấp 1 .Tôi rất nghèo nhưng niềm đam mê toán học trong tôi rất lớn dù tôi có hoạt đông bên lĩnh vực khác .Tôi xin chân thành cảm ơn tạp chí đã có thư mời tôi ra Hà Nội nhé .Tiền tàu xe đi và về ,ăn ở bản thân tôi lo không nổi nên không thể ra dự với tạp chí .Năm ngoái tôi không ra Đà Nẵng dự hội thảo được ,năm nay lại thất hứa .Xin lỗi tạp chí TOÁN TUỔI THƠ ,tuy nhiên tôi xin chúc tạp chí luôn phát triển mạnh mẽ và có nhiều người đam mê toán học nhé .Tôi xin hứa là sẽ thường xuyên viết bài và gởi bài cho tạp chí toán tuổi thơ và tạp chí toán học& tuổi trẻ Tôi rất buồn .Xin chân thành ghi nhận tấm lòng của tạp chí Tên : Trương Quang An Ngày sinh :20-5-1987 Tốt nghiệp cao đẳng sư phạm toán quảng Ngãi năm 2009 Ra trường đi xin việc khắp mọi nơi vào cuối năm 2011 mới xin hợp đồng làm việc giảng dạy toán cho 1 trường cấp 2 Nhà hiện nay ở Thành Phố Quảng Ngãi Thành tích lúc đi học :
8. Lớp 8 : Học sinh đạt giải nhì học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi Lớp 9 : Học sinh đạt giải ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi Lên cấp 3 học Trường Cấp 3 Chuyên Lê Khiết Năm 2005 thi đại học sư phạm Quy Nhơn đạt 28 điểm , tôi phải xa giảng đường đại học vì mẹ tôi đau quá nặng ,gánh nặng cơm áo gạo tiền mà tôi phai chia tay đại học .Sau đó tôi về quê nhà học cao đẳng sư phạm Quảng Ngãi 3 năm học tại đây tôi là sinh viên giỏi nhất khoa về Toán học .Các Thành tích : - Giải nhất toán lý sơ cấp 3 năm học 2006,2007,2008 -Ba năm giải nhất môn giải tích trong kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN cấp trường Cao Đẳng Sư Phạm Quảng Ngãi năm học 2006 ,2007,2008 -Trong 3 lần đại diện cho trường thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN Toàn quốc thì 1 lần đạt giải ba ,1 lần giải khuyến khích . -Ba năm liền đạt giải nhất trong kỳ thi sinh viên giải toán trên máy tính casio cấp trường . -Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng đề trong mục đề ra kỳ này của tạp chí toán học tuổi trẻ -Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng bài trong mục chuyên đề của đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ -Giáo viên đầu tiên của tỉnh Quảng Ngãi được đăng bài trên đặc san tạp chí toán học và tuổi trẻ -Hiện nay sáng dạy ở trường vì đồng lương quá thấp nên đi dạy kém khắp nơi đề kiếm thêm tiền để trang trải cuộc sống hằng ngày và phụ giúp cha mẹ nghèo ở quê Quảng Ngãi -Bản thân là người rất đam mê môn toán từ khi tôi còn là học sinh lớp 7 , hiện nay tôi thường giải các bài tập khó và dạy kèm cho các học sinh có nhu cầu vào chuyên toán -Hiện nay bản thân muốn học lên đại học nhưng có lẻ ước mơ đó của tôi không thành hiện thức vì chuyện tiền bạc va gia đình hoàn cảnh -Những giáo viên yêu toán nếu có nhu cầu giải các bài toán khó và giao lưu học hỏi -Xóm tôi bình thường lắm ,bọn nhỏ ngây thơ ,ngộ nghĩnh đáng yêu .Hằng ngày bọn trẻ xóm tôi thường nhờ tôi giúp các bài toán khó .Tôi đến với tạp chí toán học tuổi trẻ khi tôi còn là một học sinh lớp 7 .Mười sáu năm qua tôi đã coi tạp chí như một người bạn quen thuộc mà tôi mong đợi vào ngày 15 hằng tháng .Ban đầu tôi thích thú tò mò tìm thêm tài liệu ,sau nay cố gắng giải các bài tập trong chuyên mục đề ra kỳ này .Trong 16 năm qua tạp chí đã cho tôi được tiếp xúc với các bài toán rất hay ,chuyên đề hay .Ba năm học cao đẳng là thời gian đẹp nhất cuộc đời tôi .Tôi bước vào sư phạm toán với nền tảng kiến thức vô cùng tốt .Ngay tôi được tạp chí đăng 1 bài trên chuyên mục đề ra kỳ này tôi rất vui sướng ,không tả nỗi .Đó là thời điểm năm 2008 ,khi đó tôi chỉ là 1 sinh viên nghèo của trường ,điều kiện học tập không có ,sinh viên cao đẳng như tôi viết bài cho 1 tạp chí toán học là điều viễn vông ,đó là sư thật .Nhưng tôi không nản lòng và cuối cùng tôi cũng
9. đạt được ước mơ của tôi .Những ngày đó thật khó khăn ,tôi chỉ ghi bài giải trên giấy A4 rồi đem thư ra bưu điện gởi .Cách đây 1 năm thì có chị họ làm quán PHÔ T Ô COPPY bán lại một chiếc máy tính đề bàn cũ ,tôi mua với giá 500 ngàn ,vui lắm các bạn ,thế là từ nay có thể đánh vi tinh các bài toán mà minh suy nghĩ và sưu tầm ,sau khi hoàn thiện tôi chạy ra quán PHÔ T Ô COPPY để gởi vì nhà không có mạng INTERNET .Có lẽ tôi sẽ gục ngã trước cuộc sống nghèo khổ và thiếu tiền bạc nếu như tôi không có niềm đam mê toán học .Tôi nhớ mãi năm 2008khi cầm trên tay tờ báo có đăng bài của minh tôi đã vui run luôn ,tôi ra bưu điện mua báo toán ,trên kệ báo còn đúng 1 tờ ,đọc và thấy tên mình và tôi đã lên xe đạp cà tàng của sinh viên đạp nhanh nhanh về nhà ,thật nhanh ,tôi không biết tôi đã qua mấy ngã tư nữa ,chỉ biết đạp thật nhanh .Mấy tháng sau có thư nhận tiên nhuận bút 120.000 ,đối với 1 đứa sinh viên nghèo như tôi đó là số tiền 1 tháng đề ăn sáng đi học ,vui lắm các bạn ak .Sinh viên qua nhanh ,ra trương vì hoàn cảnh cha mẹ đau và không có tiền,không nơi nào nhận mình vào dạy học ,mình đã đi chạy bàn cà phê,chạy bàn đám cưới cho nhà hàng ,mình đi dạy kèm khắp nơi ,có khi phải đi chạy xe ôm nhưng khi rảnh mình thường lấy tạp chí toán học ra xem .Tạp chí như một phần trong cơ thể mình ,rồi sau 4 năm chạy việc khắp nơi tôi cũng xin được hợp đồng cho 1 trường cấp 2 để dạy toán . Nhà tôi hiện nay sách toán rất nhiều ,16 năm qua tôi đã có trong tay khoảng 451 số báo toán học ,mua có ,tôi mượn báo để phô tô cũng có .Hồi xưa khi tới ngày 15 hằng tháng tôi thường ra bưu điện đề mua ,từ nhà đạp xe đạp ra ,tới nơi mệt nhưng khi mua được báo là tôi vui lắm .Vào năm 2014 thì đi làm cuộc sống cũng đỡ khó khăn thì tôi mạnh dạn dành tiên lên bưu điện đặt báo để nhân viên giao tận nhà luôn .Qua thời gian tôi cung mua được chiếc xe máy cũ đề đi làm .Qua nhũng tâm sự này tôi muốn các bạn yêu toán mà có điều kiện hơn tôi hãy cố gắng lên nhé ,hãy đặt mua tạp chí toán học ,hãy viết bài cho tạp chí .Tiền trong cuộc sống không là gì ,nếu chúng ta cố gắng và có ý chí thì chúng ta sẽ thành công .Tôi hiện nay có 2 ước mơ ,thứ nhất được ra thăm toán chí toán học tuổi trẻ 1 lần cho biết ,năm ngoái được tạp chí toán học tuổi thơ mời ra dự buổi hội thảo toán học ở Đà Nẵng nhưng do công việc và cha mẹ đau nặng tôi đã không ra .Thứ 2 mong được học lên đại học hệ chính quy .Mặc dù ở quê tôi có dạy hệ tại chức ,nhưng tôi thích học chính quy hơn ,ước mơ đó có thể với mọi người rất đơn giản nhung với mình khó vì gia đình ,cha mẹ ,tiền bạc phải mưu sinh vì cuộc sống hằng ngày . Trên toàn quốc ,nếu trường nào cần giáo viên như tôi thì liên hệ số điện thoại 01208127776 .Không biết tạp chí toán học có tuyển một cộng tác viên trình độ cao đẳng như tôi không .Lương hợp đồng 15.000đ/tiết quá thấp ,tôi không sống được bằng nghề sư phạm , Một người đam mê Toán và tạp chí toán học và tuổi trẻ , tạp chí toán tuổi thơ Nghĩa Thắng ,Tư Nghĩa ,Quảng Ngãi Trương Quang An