Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS tỉnh Bình Định - Môn: Toán

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS tỉnh Bình Định - Môn: Toán

1. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS – TỈNH BÌNH ĐỊNH MƠN TỐN – Thời gian: 150 phút – Ngày 18 – 03 – 2014 Bài 1: (6 điểm) a) Giải phương trình: x2 x 6 + x2 – x – 18 = 0 b) Tìm hai số nguyên dương khác nhau x, y thỏa mãn: x3 + 7y = y3 + 7x Bài 2: (2 điểm) Tính tổng sau: 1 1 1 1 1 1 S = 1  1 1 122 2 23 2 2 20132014 2 2 Bài 3: (3 điểm) x2 x 4 x m Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 3 , trong đĩ m là tham số. 1 x x x Tìm m để biểu thức 1 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 4: (6 điểm) 1) Cho tam giác ABC vuơng tại A. Vẽ ra phía ngồi tam giác đĩ các tam giác ABD vuơng cân ở B, tam giác ACE vuơng cân ở C. CD cắt AB tại M; BE cắt AC tại N. a) Tính DM biết AM = 3cm, AC = 4cm. b) Chứng minh AM = AN. 2) Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp trong đường trịn tâm O và H là trực tâm của tam giác. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC. a) Xác định vị trí của điểm M sao cho tứ giác BHCM là hình bình hành. b) Với điểm M bắt kỳ thuộc cung nhỏ BC, gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm N, H, E thẳng hàng. Bài 5: (3 điểm) a c d d 2 3 3 Chứng minh rằng: , với 2 a, b, c, d 3. 3b d c 3 c 2 GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bùi Văn Chi 1
2. GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 9 THCS – TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2013 – 2014 Bài 1 (6 điểm) a) Giải phương trình: x2 x 6 + x2 – x – 18 = 0 (1) x 2 3 ĐKXĐ: x – x – 6 0 (x – 3)(x + 2) 0 x  Biến đổi phương trình: (1) x2 x 6 + (x2 – x – 6) – 12 = 0. Đặt t = x2 x 6 (t 0) Phương trình trở thành: t 2 3 t + t – 12 = 0 (t – 3)(t + 4) = 0 t :loại 4 x2 x 2 2 1 61 Với t = 3, ta cĩ: 6 = 3 x – x – 6 = 9 x – x – 15 = 0 x1 = , x2 = 2 1 61 . Cả hai giá trị x1, x2 đều thỏa mãn ĐKXĐ. 2 x 1 61 Vậy phương trình đã cho cĩ hai nghiệm : , . 1 2 2 b) Tìm x, y nguyên dương khác nhau thỏa mãn : x3 + 7y = y3 + 7x (1) Biến đổi : (1) x3 – y3 – 7(x – y) = 0 (x – y)(x2 + xy + y2 – 7) = 0 x2 + xy + y2 – 7 = 0 (x y) 4(x2 + xy + y2 – 7) = 0 4x2 + 4xy + y2 + 3y2 – 28 = 0 (2x + y)2 = 28 – 3y2 (2) Vì (2x + y)2 là số chính phương và x, y là các số nguyên dương, nên suy ra y2 {1 ; 4 ; 9}, do đĩ y {1 ; 2 ; 3} +) Với y = 1, thay vào (2), ta cĩ : (2x + 1)2 = 28 – 3.12 = 25 2x + 1 = 5 x = 2. +) Với y = 2, thay vào (2), ta cĩ : (2x + 2)2 = 28 – 3.22 = 16 2x + 2 = 4 x = 1. +) Với y = 3, thay vào (2), ta cĩ : (2x + 3)2 = 28 – 3.32 = 1 2x + 3 = 1 x = - 1 : loại. Vậy cĩ hai cặp giá trị x, y thỏa mãn điều kiện bài tốn : (x ; y) {(2 ;1), (1 ;2)}. Bài 2 (2 điểm) 1 1 1 1 1 1 Tính tổng S = 1  1 1 122 2 23 2 2 20132014 2 2 Xét số hạng tổng quát của tổng, với k N*: k2 k2 k 2 k 2 1 1 1 1 1 = k2 k 2k k 2 1 1 2 k4 2 k 3 k 2 2 k 2 2 k 1 k 4 2 k 3 3 k 2 2 k 1 k2 k 1 k 2 k 1 = = k k2 k k 2 k k 1 k k 1 1 1 1 1 1 = 1 + = 1 + . k k 1 k k 1 GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bùi Văn Chi 2
3. 1 1 1 1 1 1 Do đĩ: k2 2 k k (1) k 1 1 Cho k lần lượt lấy các giá trị từ 1 đến 2013, thay vào đẳng thức (1), rồi cộng vế theo vế, ta được: 1 1 1 1 1 1 S = 1  1 1 = 122 2 23 2 2 20132014 2 2 1 1 1 1 1 1 = 1 1  1 = 12 23 20132014 1 1 2013 2013 = 2013.1 + 2013 2013 . 1 2014 2014 2014 2013 Vậy S = 2013 . 2014 Bài 3 (3 điểm) x x Giá trị của m để biểu thức 1 2 đạt giá trị nhỏ nhất x2 4 x Biến đổi phương trình: 3x m (1) 1 x (1) x2 – 4x = (1 – x)(3x + m) ( x 1) x2 – 4x = 3x + m – 3x2 – mx 4x2 – (7 – m)x – m = 0 = (7 – m)2 + 16m = m2 + 2m + 49 = (m + 1)2 + 48 > 0,  m Do đĩ phương trình (1) luơn cĩ hai nghiệm x1, x2 ( 1). 7 m m Theo hệ thức Vi-ét, ta cĩ: x1 + x2 = , x1.x2 = . 4 4 x x 2 x x 2 2 2 2 Đặt A = 1 2 , ta cĩ: A = 1 2 = x1 + x2 – 2x1x2 = (x1 + x2) – 4x1x2 m2 m m2 m m2 m 2 2 7 2 49 1 48 1 A = 4 = = 3 4 4 16 16 16 A 3 (vì A > 0). x x Vậy A = 1 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi m = - 1. Bài 4 (6 điểm) 1. D B a) Tính DM Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuơng ACM, ta cĩ: CM2 = AM2 + AC2 = 32 + 42 = 25 CM = 5(cm) Áp dụng định lý Ta-lét, ta cĩ: DM AM 3 DM 3 AM // CE DC CE 4 DC DM 4 3 DM M 3 DM = 3CM = 15(cm) CM 450 3 b) Chứng minh AM = AN 4 C A 450 N Áp dụng định lý Ta-lét, với AC // BD, ta cĩ: BM DM BM 15 = 3 BM = 3.3 = 9(cm) AM CM 3 5 AB = AM + BM = 3 + 9 = 12(cm) E Với AB // CE, ta cĩ: GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bùi Văn Chi 3
4. AN AB 12 AN 3 = 3 CN CE 4 AN CN 3 1 A AN 3 3 AN = AC = 3(cm) AC 4 4 Vậy AM = AN (= 3cm). B’ 2. C’ H a) Vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành O Ta cĩ: BHCM là hình bình hành BM // CH. Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên CH  AB. ABM 0 Do đĩ BM  AB hay = 90 B C AM là đường kính của (O) Vậy M là điểm đối tâm của A qua O thì tứ giác BHCM là hình bình hành. M b) Chứng minh N, H, E thẳng hàng Gọi F và K lần lượt là giao điểm thứ hai của CH và BH với đường trịn (O). Gọi AA’, BB’, CC’ là các đường cao của tam giác ABC. AFH ABC 1 sdAC Ta cĩ: , 2 A ABC AHC'(cùngbùvớiA'HC' vì tứ giác BA’HC’ nội tiếp) K E Suy ra AFH AHC' , do đĩ tam giác AHF cân tại A nên F và H đối xứng qua AB. B’ Ta lại cĩ, M và N đối xứng qua AB , F C’ Suy ra MFH NHF O MFH MAC 1 sdCM H Mặt khác, 2 NHF MAC nên (1) N B A’ C Chứng minh tương tự, ta cĩ: EHK BAM (2) Từ (1), (2) suy ra: M NHF EHK MAC BAM BAC (3) Vì tứ giác AB’HC’ nội tiếp ( B'C'  = 900 + 900 = 1800) nên BAC B'HC' = 1800 (4) Từ (3) và (4) suy ra NHF EHK B'HC' = 1800. Vậy ba điểm N, H, E thẳng hàng. Bài 5 (3 điểm) a c d d 2 3 3 Chứng minh rằng: , với 2 a, b, c, d 3 3b d c 3 c 2 Đặt A = a(c – d) + 3d, B = b(d – c) + 3c. Ta cĩ: A = ac – ad + 3d = ac + d(3 – a) > 0, với 2 a, b, c, d 3 B = bd – bc + 3c = bd + c(3 – b) > 0, với 2 a, b, c, d 3. Ta chứng minh hai bất đẳng thức: A 2 +) B 3 GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bùi Văn Chi 4
5. Ta chỉ cần chứng minh A 6 và 0 < B 9. Với 2 a, b, c, d 3, thực hiện các biến đổi ta cĩ: A = ac + d(3 – a) ac 3.2 = 6 Do đĩ A 6, dấu “=” xảy ra khi a = 3, c = 2, d [2; 3]. Thay c = 2 vào biểu thức B, ta cĩ: B = bd + c(3 – b) = bd + 6 – 2b = b(d – 2) + 6 3(3 – 2) + 6 = 9 Do đĩ 0 < B 9, dấu “=” xảy ra khi c = 2, b = 3, d = 3, a [2; 3] A  Từ đĩ, A 6 và 0 < B 9, nên , dấu “=” xảy ra khi c = 2, a = b = d = 3. B  A 3 +) B 2 Ta cần chứng minh 0 < A 9 và B 6. Thực hiện các biến đổi, ta cĩ : B = bd – bc + 3c = bd + c(3 – b) bd 3.2 = 6 Do đĩ B 6, dấu “=” xảy ra khi b = 3, d = 2, c [2 ; 3]. Thay d = 2 vào biểu thức A, ta cĩ : A = ac + d(3 – a) = ac + 2(3 – a) = a(c – 2) + 6 3.(3 – 2) + 6 = 9 Do đĩ 0 < A 9, dấu “=” xảy ra khi d = 2, a = 3, c = 3, b [2; 3]. A 3 Từ đĩ: 0 < A 9 và B 6, nên 0 , dấu “=” xảy ra khi d = 2, a = b = c = 3. B 2 2A 3 Tĩm lại, ta cĩ: , với 2 a, b, c, d 3 3B 2 a c d d 2 3 3 Vậy , với 2 a, b, c, d 3. 3b d c 3 c 2 Quy Nhơn, ngày 21 tháng 03 năm 2014 Bùi Văn Chi GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bùi Văn Chi 5