Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS - Môn: Toán

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS - Môn: Toán

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NINH BÌNH LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2020-2021 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 14/3/2021 Thời gian làm bài :150 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776. Câu 1 (5,0 điểm) 1. Cho phương trình: x22 2( m 1) x 4 m m 0(1) ( x là ẩn, m là tham số). a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt. b) Giả sử xx12; là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x12 x xy 2021 4042 2. Giải hệ phương trình 2021 xy 4042 Câu 2 (5,0 điểm) 1. Cho đa thức f( x ) x2 ax b ;( a ; b )thỏa mãn f (1) =1 và f(0 ) >3 . a) Chứng minh phương trình f( x) =x có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm số nghiệm của phương trình f (f ( x)) =0 . 1 1 2 2. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy= 1 . Chứng minh 3 x y x y Câu 3 (7,0 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R . Dây cung BC cố định, không đi qua tâm O. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A ( A khác B ). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) ( M và N là các tiếp điểm). Gọi I, H lần lượt là trung điểm của BC và MN , BC cắt MN tại K . 1. Chứng minh bốn điểm O,M, N,I cùng thuộc một đường tròn và HK là tia phân giác của gócBHC . 2. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở E. Chứng minh M, N,E thẳng hàng. 3. Đường thẳng ∆ qua điểm M và vuông góc với đường thẳng ON, cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P . Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để tứ giác AMPN là hình bình hành. Câu 4 (3,0 điểm) 1. Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: xx2 5 7 3y 2. 2.Cho một bảng ô vuông m × n (gồm m dòng và n cột). Cho quy tắc tô màu bảng ô vuông như sau: Mỗi ô vuông đơn vị được tô bằng màu đỏ hoặc màu xanh sao cho bất kì bảng ô vuông 2× 3 hoặc 3 ×2 nào cũng có đúng hai ô được tô màu đỏ. a) Hãy chỉ ra một cách tô màu theo quy tắc trên cho bảng ô vuông 4× 6 (Điền chữ Đ vào ô được tô màu đỏ, chữ X vào ô được tô màu xanh). b) Người ta đã tô bảng ô vuông 2021 ×2022 theo quy tắc trên. Hỏi bảng ô vuông này có bao nhiêu ô được tô màu đỏ?
2. Lời giải Câu 1 (5,0 điểm) 1. Cho phương trình: x22 2( m 1) x 4 m m 0(1) ( x là ẩn, m là tham số). a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt. b) Giả sử xx12; là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x12 x xy 2021 4042 2. Giải hệ phương trình 2021 xy 4042 Lời giải 2 11 a) Ta có: ' 2 mm 0,  Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân 22 biệt với  m .Do đó phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Sm 0 2( 1) 0 2 04 m P 0 4 m m 0 b) Theo chứng minh trên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với 2 và x1 x 2 2( m 1); x 1 x 2 4 m m . Ta 1 có: A x x 2(2 m 1)2 2 2 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m . Vậy 12 2 giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2 khi 2.Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có 4022 (x 2021 y )2 2( x 2021 y ) x y 0.(1) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=201-y. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có4022 (y 2021 x )2 2( y 2021 x ) x y 0(2) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y= 2021- x . Từ (1) và (2) suy ra x =y . 2021 Từ đó suy ra x =y (thỏa mãn điều kiện). Hệ phương trình đã cho có một 2 2021 2021 nghiệm (x;y) là ; 22 Câu 2 (5,0 điểm) 1. Cho đa thức f( x ) x2 ax b ;( a ; b )thỏa mãn f (1) =1 và f(0 ) >3 . a) Chứng minh phương trình f( x) = xcó hai nghiệm phân biệt. b) Tìm số nghiệm của phương trình f (f ( x)) =0 . 1 1 2 2. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy= 1 . Chứng minh 3 x y x y Lời giải f(1) 1 a b 1a.Vì nên ta có . fb(0) 3 3 Ta có fxx( ) xaxbx22 x ( b 1) xb 0 Ta có 1 [ (bb 1)] 0nên phương trình (*) có hai nghiệm x12 1; x b.
3. Mà b > 3 nên xx12 .Do đó phương trình f(x ) =x có hai nghiệm phân biệt. 1b.Ta có ffx() x fx22 ()() afx bx fx ()() bfx bx 0 fx2() x 2 bfx () bxx 2 bxbx 0().() fx xfx  xb 10 f() x x f( x ) x . x2 ( b 1) x 1 0 .   2 x ( b 1) x 1 0 Phương trình f( x) =x (1) có hai nghiệm phân biệt là x12 1; x b. Xét phương trình x2 ( b 1) x 1 0(2) có (bb 1)( 3) 0(vì b>3). Nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt. Ta lại có không là nghiệm của phương trình (2).Vậy phương trình f(f(x)= x có 4 nghiệm phân biệt. 1 1 2xy xy 2 22x y x y 2.Ta có: xy . x y x y x y x y x y22 x y x y x y Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: xy 1 (1)( vì xy =1 ). 22 Tương tự áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta 22x y x y có: 2 . 2(2). Từ (1) và (2) suy ra: x y22 x y 1 1 2 3.Đẳng thức xảy ra khi x= y=1 x y x y Câu 3 (7,0 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R . Dây cung BC cố định, không đi qua tâm O. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A ( A khác B ). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) ( M và N là các tiếp điểm). Gọi I, H lần lượt là trung điểm của BC và MN , BC cắt MN tại K . 1. Chứng minh bốn điểm O,M, N,I cùng thuộc một đường tròn và HK là tia phân giác của gócBHC . 2. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở E. Chứng minh M, N,E thẳng hàng. 3. Đường thẳng ∆ qua điểm M và vuông góc với đường thẳng ON, cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P . Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để tứ giác AMPN là hình bình hành. Lời giải 1.( 3.0 điểm)Chứng minh 4 điểm O,M, N,I cùng thuộc 1 đường tròn và HK là tia phân giác của gócBHC . *) Ta có: AM ⊥OM ( tính chất tiếp tuyến)⇒ ∆AMO vuông tại M ⇒Ba điểm A,M,O cùng thuộc đường tròn đường kính AO (1) . Chứng minh tương tự suy ra: ba điểm A,N,O cùng thuộc đường tròn đường kính AO (2) .Mặt khác ta có: I là trung điểm của BC (giả thiết) ⇒ OI ⊥BC ( Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung) ⇒ ∆AIOvuông tại I ⇒Ba điểm A,I,O cùng thuộc đường tròn đường kính AO (3) .Từ (1), (2) và (3) suy ra: 4 điểm O,M, N,I cùng thuộc 1 đường tròn. 0.5 *) Ta có: OM =ON( =R) ⇒O∈ đường trung trực của MN (4) Ta có AM =AN ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒A ∈ đường trung trực của MN (5).Ta có HM =HN ⇒H∈ đường trung trực của MN (6). Từ (4), (5) và (6) suy ra O,H,A thẳng hàng và OA là đường trung trực của MN Xét ∆ANO vuông tại N có NH ⊥AO ( OA là đường trung trực của MN )
4. ⇒ AN 2 = AH. AO ( Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (*). Chứng minh ΔABN AB AN đồng dạng ΔANC suy ra AN2 AB. AC( ) AN AC AB AO Từ (*) và ( ) suy ra: AB AC AH AO AH AC Ta có ΔABH đồng dạng ΔAOC (c.g. c) ⇒ AHB =ACO (7) ⇒Tứ giác BHOCnội tiếp ⇒  CHO= CBO . Mà: BCO =CBO (∆OBC cân tại O) Nên ⇒ CHO =BCO (8) Từ (7) và (8) suy ra: AHB =CHO hay KHB =CHK( phụ với hai góc bằng nhau)⇒ HK là tia phân giác của góc BHC . 2. Chỉ ra O, I, E thẳng hàng .Ta cóON22 HO.; AO OB OI OE OH OA OI OE Suy ra tứ giác AHIE nội tiếp. Suy ra AHE = AIE =90⇒HE⊥ AO tại H . Lại có MN vuông góc với AO tại H . Nên M,N,E thẳng hàng. 3.Tứ giác AMPN là hình bình hành thì suy ra MO⊥ NP;NO⊥ MP. Suy ra O vừa là trực tâm vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP ⇒ ∆ MNP là tam giác đều. Do bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP bằng R nên MP R3 AN .Xét tam giác vuông ANO ta có AO AN22 NO 2 R⇒ A là giao điểm của đường tròn (O;2R) với tia đối của tia BC.Khi A là giao điểm của đường tròn (O;2R) với tia đối của tia BC, chứng minh tứ giác AMPN là hình bình hành. Vậy A là giao điểm của đường tròn (O;2R) với tia đối của tia BC thì tứ giác AMPN là hình bình hành. Câu 4 (3,0 điểm) 1. Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: xx2 5 7 3y 2.Cho một bảng ô vuông m × n (gồm m dòng và n cột). Cho quy tắc tô màu bảng ô vuông như sau: Mỗi ô vuông đơn vị được tô bằng màu đỏ hoặc màu xanh sao cho bất kì bảng ô vuông 2× 3 hoặc 3 ×2 nào cũng có đúng hai ô được tô màu đỏ. a) Hãy chỉ ra một cách tô màu theo quy tắc trên cho bảng ô vuông 4× 6 (Điền chữ Đ vào ô được tô màu đỏ, chữ X vào ô được tô màu xanh). b) Người ta đã tô bảng ô vuông 2021 ×2022 theo quy tắc trên. Hỏi bảng ô vuông này có bao nhiêu ô được tô màu đỏ? Lời giải + Nếu y 0ta có: x2 5 x 7 1 2 x 3.Do x nguyên nên ta có x ∈{2;3 } .Lần lượt thay giá trị của x vào phương trình (*) tìm được (x,y) ∈{(2;0);(3;0)} 2 x 1 + Nếu y =1 thì phương trình (*) trở thành: xx 5 7 3 ⇒ (x,y) ∈ x 4 {(1;1);(4;1)} thỏa mãn phương trình (*) + Nếu y 2 thì 39y . Ta xét VT (*) theo các trường hợp số dư của x khi chia cho 3 - Nếu x =3k (k ∈ Z) thì x22 5 x 7 9 k 15 k 7không chia hết cho 3 nên phương trình (*) vô nghiệm - Nếu x =3k +1(k ∈ Z) thì x22 5 x 7 9 k 9 k 3không chia hết cho 3 nên phương trình (*) vô nghiệm - Nếu x =3k+2 (k ∈ Z) thì x22 5 x 7 9 k 3 k 1không chia hết cho 3 nên phương trình (*) vô nghiệm.Vậy ( x,y)∈{(2;0);(3;0);(1;1);(4;1)} 2.aa) 1.0 điểm: Chỉ ra 1 cách tô đúng
5. b) 1.0 điểm Chia bảng ô vuông ban đầu thành hai bảng ô vuông 2019 ×2022 và 2 ×2022 ( xem 2022 2019 hình vẽ minh họa).Bảng ô vuông 2019 ×2022 được chia thành × = 2 3 680403 bảng ô vuông 2 ×3. Trong bảng ô vuông 2019 ×2022 có 680403 .2 2 2022 =1360806 ô được tô màu đỏ. Bảng ô vuông 2 ×2022 được chia thành × 2 3 =674 bảng ô vuông 2 ×3. Trong bảng ô vuông 2 ×2022 có 674 .2 =1348 ô được tô màu đỏ. Bảng ô vuông ban đầu có: 1360806 +1348 =1362154 ô được tô màu