Đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán Lớp 8 - Năm học 2011-2012 - Phòng giáo dục và đào tạo Móng Cái (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán Lớp 8 - Năm học 2011-2012 - Phòng giáo dục và đào tạo Móng Cái (Có đáp án)

1. UBND THÀNH PHỐ MểNG CÁI Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2011-2012 MễN: TOÁN Họ, tờn và chữ ký của Ngày thi: 14/4/2012 Giỏm thị số 1: Thời gian làm bài: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) (Đề thi này cú 01 trang) x2 2x 2x2 1 2 Bài 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức: M 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x a) Rỳt gọn M. b) Tỡm x nguyờn để M cú giỏ trị là số nguyờn dương. c) Tỡm x để M 3 . Bài 2. (6,0 điểm) a) Cho x, y là hai số dương và x2010 y2010 x2011 y2011 x2012 y2012 . Tớnh giỏ trị của biểu thức S x2020 y2020 . x 2015 x 2007 x 2006 x 2018 b) Giải phương trỡnh . 2010 2012 2011 2013 c) Tỡm x và y thỏa món: y2 2 x2 1 =2y x 1 . Bài 3. (4,0 điểm) bc ac ab a) Chứng minh a b c với mọi số dương a, b, c. a b c b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức L x4 4x3 7x2 12x 20. Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A AC  AB . Vẽ đường cao AH H BC . Trờn tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P. a) Chứng minh: Tam giỏc AKC đồng dạng với tam giỏc BPC. b) Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: tam giỏc BHQ đồng dạng với tam giỏc BPC. AH BC c) Tia AQ cắt BC tại I. Chứng minh: =1 HB IB ___Hết___ Họ và tờn học sinh: SBD:
2. UBND THÀNH PHỐ MểNG CÁI HDC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2011-2012 MễN: TOÁN Cho Bài Sơ lược lời giải điểm 2x2 8 2 x2 4 0; 8 4x 2x2 x3 2 x x2 4 0 và x 0 M 1a 0,5 (1,5) xỏc định x 2; x 0. x2 2x 2x2 x2 x 2 M . 2 2 x2 2 x 4 2 x x 4 x2 2x 2 x 4x2 x 1 x 2 . 0,5 2 2 x x2 4 x2 2 x3 4x x 1 x 2 x x 4 x 1 x 2 x 1 . . 2 2 x x2 4 x2 2 2 x x2 4 x2 2x 0,5 x 1 Với x 2; x 0 , M cú giỏ trị nguyờn dương M cú giỏ trị nguyờn 2x 2x 2 1 dương 2M 1 nguyờn dương. 0,5 2x x x Z; 2M Z 1 Z x là ước của 1 x 1. ( Thỏa món điều kiện) 1b x 0,5 (1,5) x 1 Thử lại: Với x 1 ta cú M cú giỏ trị bằng 1 ( Thỏa món) 2x x 1 Với x 1 ta cú M cú giỏ trị bằng 0 ( Khụng thỏa món) 2x 0,5 Vậy x 1 x 1 M 3 x 2; x 0; 3. 2x 0,25 x 1 x 1 7x 1 3 3 0 0 2x 2x 2x 0,25 7x 1 0 7x 1 0 1c Ta cú hoặc Giải được x0 hoặc x 1 7 0,25 (1,0) 2x0 2x0 0,25 x0 Kết hợp với điều kiện ta cú Mhoặc 3 x 1 7 x 2 2012 2012 2011 2011 2010 2010 2a Cú x +y x +y x y x +y xy . 0,5
3. (2,5) Do x,y là hai số dương và x2010 y2010 x2011 y2011 x2012 y2012. Nờn x2010 y2010 x2011 y2011 x2012 y2012 m0 . 0,25 m m x y mxy 1 x y xy x 1 1 y 0 0,5 x 1 hoặc y=1. 0,25 Với x 1 y2010 y2011 y 0 ( Loại) hoặc y 1 Với y 1 x2010 x2011 x 0 ( Loại) hoặc x 1 0,75 2020 2020 Vậy x 1; y 1 S x y 2 0,25 x 2015 x 2007 x 2006 x 2018 2010 2012 2011 2013 x 2015 x 2007 x 2006 x 2018 1 1 1 1 0,5 2010 2012 2011 2013 x 5 x 5 x 5 x 5 2b 0 (1,5) 2010 2012 2011 2013 1 1 1 1 x 5 0 0,5 2010 2012 2011 2013 1 1 1 1 1 1 1 1 Vỡ 0; 0 0 2010 2011 2012 2013 2010 2012 2011 2013 Nờn x 5 0 x 5 0,5 y2 2 x2 1 2y x 1 y2 2y x 1 2 x2 1 0 0,5 y2 2y x 1 x 1 2 x2 2x 1 0 0,5 2c 2 2 0,5 (2,0) y x 1 x 1 0 2 y x 1 0 x 1 0,5 2 y 2 x 1 0 Với mọi số dương a, b, c ta cú: bc ac ab (bc)2 (ac)2 (ab)2 a b c a b c a b c abc abc abc 0,5 3a (bc)2 (ac)2 (ab)2 a2bc b2ac c2ab 0,5 (2,0) 2(bc)2 2(ac)2 2(ab)2 2a2bc 2b2ac 2c2ab 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0,5 (ac) 2a bc (ab) (bc) 2b ac (ab) (ac) 2c ab (bc) 0 2 2 2 ac ab bc ab ac bc 0 B ĐT cuối luụn đỳng nờn ta cú ĐPCM 0,5 L x4 4x3 7x2 12x 20 x4 4x3 4x2 3x2 12x 12 8 x2 x2 4x 4 3 x2 4x 4 8 x 2 2 x2 3 8 1,0 3b 2 2 0,5 (2,0) Do x 2 0 x; x 3 0 x nờn L 8 x
4. 2 Đẳng thức xảy ra x 2 0 x=2. Vậy với x =2 thỡ L cú giỏ trị nhỏ nhất. Giỏ trị nhỏ nhất của L là 8. 0, 5 I PK//AH CKP và 1,0 CAB đồng dạng K CK CA . B CP CB 1 1,0 H .Suy ra AKC và BPC đồng dạng (c.g.c) 4a Q (1). (2,0) P 1 A C AKH vuụng cõn tại H=> Kả 450 . Từ (1) Kả Pà 450 BAP vuụng 1 1 1 0,5 cõn tại A BP AB 2 . C/m BHA và BAC đồng dạng BH AB . 0,5 AB BC 4b BH 2AB BH AB BH 2AB (2,0) AB 2BC 2AB 2BC 2AB 2BC 0,75 BH BP BH BQ BP 2BQ BP 2BC BP BC BHQ và BPC cú BH BQ ; Pã BC chung nờn BHQ đồng dạng với BP BC 0,25 BPC ( C.G.C). BAP vuụng cõn tại A, AQ là trung tuyến nờn cũng là phõn giỏc => AI là phõn giỏc ngoài của ABC IC AC 2 . 0,75 IB AB ABC đồng dạng với HBA AC AH 3 Từ (2) và (3) ta cú : 0,5 4c AB HB (2,0) IC AH IB BC AH 1 BC AH IB HB IB HB IB HB 0,75 AH BC 1. HB IB Cỏc chỳ ý khi chấm - Hướng dẫn chấm này chỉ trỡnh bày sơ lược một cỏch giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tớnh toỏn chớnh xỏc mới cho điểm tối đa. - Cỏc cỏch giải khỏc nếu đỳng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng khụng vượt quỏ số điểm dành cho cõu hoặc phần đú. - Đối với cõu 4, khụng vẽ hỡnh khụng chấm điểm. - Cú thể chia điểm thành phần đến 0,25 nhưng phải thống nhất trong tổ chấm. Điểm toàn bài là tổng số điểm cỏc phần đó chấm, khụng làm trũn.