Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Bài số 1 - Phòng giáo dục và đào tạo Nga Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Bài số 1 - Phòng giáo dục và đào tạo Nga Sơn (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN HUYỆN NGA SƠN NĂM HỌC: 20 - 20 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN – Bài số 1 Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 15/9/2018 Câu I: (4 điểm) Cho biểu thức: 2 x 9 2 x 1 x 3 A (vôùi x 0,x 4,x 9) x 5 x 6 x 3 2 x 1) Rút gọn biểu thức A. 1 2) Tìm giá trị của x để A = . 2 Câu II: (4 điểm) Giải các phương trình sau: 1) 2x 3 5 2x 3x2 12x 14 2) x 3 3x 1 4 Câu III: (4 điểm) 1) a) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình m 4 x m 3 y 1 (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. 2) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 + 2y2 + 3xy - x - y + 3 = 0 Câu IV: (6 điểm) Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M là điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M. 1) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao? 2) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AC và BC. Chứng minh rằng: HM MK CD  HK MC 4R 3) Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng C’ nằm trên một đường tròn cố định khi M di chuyển trên đường kính AB (M khác A và B). Câu V: (2 điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn x y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 2 2 P 1 x y x y Hết (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HUYỆN NGA SƠN NĂM HỌC: 20 -20 Môn thi: TOÁN – Bài số 1 Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề HƯỚNG DẪN CHẤM Ngày thi: 15/9/2018 ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Ý Lời giải Điểm 2 x 9 2 x 1 x 3 A x 5 x 6 x 3 2 x 2 x 9 2 x 1 x 3 ( x 3)( x 2) x 3 x 2 1.0 2 x 9 (2 x 1)( x 2) ( x 3)( x 3) 1 (2.5đ) ( x 3)( x 2) I x x 2 ( x 2)( x 1) x 1 1.0 (4.0đ) ( x 3)( x 2) ( x 3)( x 2) x 3 0.5 x 1 Vậy A với (x 0, x 4, x 9) x 3 Với x 0, x 4, x 9 Ta có: 1 x 1 1 1 2 A 2 x 2 x 3 3 x 1 x (t / m) 2 x 3 2 9 (1.5đ) 1 1 Vậy A = x = . 2 9 §K: 1,5 x 2,5 + Sö dông bÊt ®¼ng thøc c« si hoÆc Bu nhi a ®¸nh gi¸ VT 2 II 1 + §¸nh gi¸ VP 2 (4.0đ) (2.0đ) VT 2 2x 3 5 2x Do ®ã: PT x 2 VP 2 x 2 KL. 1 ĐK: x . Ta có: 0.25 3 x 3 3x 1 4 0.5 x 3 3x 1 2 x 3 3x 1 16 0.25 2 2 3x 10x 3 6 2x 0.75 (2.0đ) x 3 6 2x 0 x 3 x 1 x 1 0.25 2 2 2 3x 10x 3 6 2x x 34x 33 0 x 33 Vaäy phöông trình coù taäp nghieäm S= 1
3. Với mọi m, đường thẳng (d) không đi qua gốc toạ độ O(0; 0). 0.25 m = 4, ta có đường thẳng y = 1, do đó khoảng cách từ O đến 0.25 1 (d) là 1 (1). (2.0đ) m = 3, ta có đường thẳng x = -1, do đó khoảng cách từ O đến 1.0 (d) là 1 (2). m 4, m 3 thì (d) cắt trục Oy, Ox lần lượt tại: III 1 1 0.5 A 0; và B ; 0 . (4.0đ) m 3 m 4 Hạ OH vuông góc với AB, trong tam giác vuông AOB, ta có: 1 1 OA , OB m 3 m 4 2 1 1 1 2 2 2 7 1 1 2 2 2 m 3 m 4 2m 14m 25 2 m OH OA OB 2 2 2 Suy ra OH2 2 OH 2 (3). Từ (1), (2), (3) ta có GTLN của OH là 2 , đạt được khi và chỉ khi m = 7 . 2 Kết luận: m = 7 . 2 x2 + 2y2 + 3xy - x - y + 3 = 0. 0.25 (x + y)(x + 2y - 1) = - 3 0.25 Vì x,y nguyên nên x + y và x + 2y - 1 là các ước của - 3. 0.25 2 Ta có bảng sau: 0.25 (2.0đ) x + y 1 -3 -1 3 0.25 x + 2y -1 -3 1 3 -1 0.25 x 4 -8 -6 6 0.25 y -3 5 5 -3 0.25 Kết luận nghiệm (x; y) là (4; 3), (-8;5), (-6; 5), (4; -3). C K H IV A E O' B (6.0đ) M O C' D
4. Vì CD  AB CM=MD töù giaùc ACED coù AE caét CD taïi trung ñieåm cuûa moãi ñöôøng 1 neân laø hình bình haønh (2.0đ) maø AE  CD töù giaùc ACED hình thoi. Vì tam giaùc ABC coù AB laø ñöôøng kính (O) neân ABC vuoâng taïi C 0.5 2 suy ra töù giaùc CHMK laø hình chöõ nhaät (2.0đ) AÙp duïng heä thöùc löôïng vaøo caùc tam giaùc vuoâng ta coù: 0.5 MA MC MH AC=MA MC MH= AC 0.5 MBMC töông töï ta coù: MK= BC 0.5 MA MBMC2 MH MK= ACBC maø MA.MB=MC2 , AC.BC=MC.AB (do tam giaùc ABC vuoâng taïi C) MC2 MC2 MC3 MH MK MC MH MK= MCAB AB MC2 AB maø MC=HK (do CHMK laø hình chöõ nhaät) MH MK MC 2MC CD HK MC AB 2AB 4R HM MK CD Vaäy:  (Ñpcm) HK MC 4R Lấy O’ đối xứng với O qua A suy ra O’ cố định. 0.5 3 Tứ giác COC’O’ là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau 0.5 (2.0đ) tại trung điểm A của mỗi đường. Do đó O’C’ = OC = R không đổi 0.5 Suy ra C’ nằm trên đường tròn (O’,R) cố định khi M di chuyển 0.5 trên đường kính AB. 1 1 2 2 2 2 2 1 0.5 Ta coù: P 1 x y 1 x y 2 xy x y xy xy 2 0.25 x y 1 Ñaët t=xy 2 4 P 1 1 15 17 t 16t 15t 2 16 P 17 2 t t 4 2 V 1 0.75 Daáu "=" xaûy ra khi x=y= (2.0đ) 2 1 Vaäy MinP = 17 khi x=y= 2 0.5