Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Phòng giáo dục và đào tạo Hoài Nhơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Phòng giáo dục và đào tạo Hoài Nhơn (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN HOÀI NHƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN: TOÁN 7 Đề chính thức Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) (Đề gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) a) So sánh: 17 26 1 và 99 . 1 1 1 1 1 b) Chứng minh: 10 . 1 2 3 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c) Cho S 1 và P . 2 3 4 2013 2014 2015 1008 1009 1010 2014 2015 Tính S P 2016 . Bài 2: (4,0 điểm) a) Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm hợp số r. 2 b) Tìm số tự nhiên ab sao cho ab (a b)3 Bài 3: (6,0 điểm) z x y a) Cho x; y; z 0 và x – y – z = 0. Tính giá trị biểu thức B 1 1 1 x y z 3x 2y 2z 4x 4y 3z x y z b) Cho . Chứng minh rằng: 4 3 2 2 3 4 5 x c) Cho biểu thức M . Tìm x nguyên để M có giá trị nhỏ nhất. x 2 Bài 4: (3,0 điểm) Cho x· Ay 600 vẽ tia phân giác Az của góc đó. Từ một điểm B trên tia Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C. Kẻ BH  Ay tại H, CM  Ay tại M, BK  AC tại K. Chứng minh: AC a) KC = KA b) BH = c) ΔKMC đều. 2 Bài 5: (3,0 điểm) Cho ABC có Bµ 2.Cµ < 900. Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = HC. Chứng minh rằng đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC. Ghi chú: Học sinh không được sử dụng các loại máy tính. Họ và tên thí sinh: SBD: Họ tên và chữ ký giám thị 1: Họ tên và chữ ký giám thị 2:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN – TOÁN 7 – NĂM HỌC 2015 – 2016 Câu Nội dung Điểm So sánh: 17 26 1 và 99 1,0đ Ta có: 17 16; 26 25 => 17 26 1 > 16 25 1 4 5 1 10 0,5đ a) Mà 10 = 100 99 0,5đ Vậy: 17 26 1 > 99 . 1 1 1 1 1 Chứng minh: 10 1,0đ 1 2 3 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: ; ; ; ; 0,5đ 1 100 2 100 3 100 99 100 b) 1 1 1 1 1 Suy ra: 100. 10 1 2 3 100 100 0,5đ 1 1 1 1 Vậy: 10 1 2 3 100 1 1 1 1 1 1 Cho S 1 và 2 3 4 2013 2014 2015 2,0đ 1 1 1 1 1 2016 P . Tính S P 1008 1009 1010 2014 2015 Bài1: (4,0 điểm) 1 1 1 1 1 Ta có: P 1008 1009 1010 2014 2015 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5đ 1 1 c) 2 3 1006 1007 1008 2014 2015 2 3 1006 1007 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1006 1007 1008 2014 2015 2 4 6 2012 2014 1,0đ 1 1 1 1 1 1 1 = S. 2 3 4 2013 2014 2015 0,5đ Do đó S P 2016 = 0 Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư là r là hợp số. Tìm hợp số r. 2,0đ Vì p chia cho 42 có số dư là r nên: p = 42k + r (0 r là hợp số không chia hết cho 2; 3; 7 và r x3 = ab 8 => 8 2 x = 3; 4 vì x N * 2 - Nếu x = 3 => ab (a b)3 = 36 = 729 = 272 = (2 + 7)3 => x = 3 (nhận) 0,5đ
3. 2 - Nếu x = 4 => ab (a b)3 = 46 = 4096 = 642 (6 + 4)3 = 1000 => x = 4 (không thỏa mãn) Vậy số cần tìm là: ab = 27 z x y Cho x; y; z 0 và x–y–z = 0. Tính giá trị biểu thức B 1 1 1 2,0đ x y z z x y x z y x z y Ta có: B 1 1 1 . . 0,5đ a) x y z x y z Từ: x – y – z = 0 => x – z = y; y – x = – z và y + z = x 1,0đ y z x Suy ra: B = . . 1(x; y; z 0) 0,5đ x y z 3x 2y 2z 4x 4y 3z x y z Cho . Chứng minh rằng: 2,0đ 4 3 2 2 3 4 3x 2y 2z 4x 4y 3z 4(3x 2y) 3(2z 4x) 2(4y 3z) Ta có: 0,5đ 4 3 2 16 9 4 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 4(3x 2y) 3(2z 4x) 2(4y 3z) 4(3x 2y) 3(2z 4x) 2(4y 3z) b) 0 0,75đ 16 9 4 16 9 4 4(3x 2y) x y 3(2z 4x) x z => 0 3x 2y (1) và 0 2z 4x (2) Bài 3: (6,0 điểm) 16 2 3 9 2 4 0,75đ x y z Từ (1) và (2) suy ra: 2 3 4 5 x Cho biểu thức M . Tìm x nguyên để M nhỏ nhất 2,0đ x 2 5 x 3 (x 2) 3 Ta có: M 1 (x 2) 0,5đ x 2 x 2 x 2 c) 3 M nhỏ nhất  nhỏ nhất  x – 2 lớn nhất và x – 2 < 0 x 2 1,0đ  x lớn nhất và x < 2  x = 1 (vì x nguyên) 3 Khi đó GTNN của M là: M = 1 4 khi x = 1 0,5đ 1 2 y M z C H K A B x Chứng minh: KC = KA 1,0đ Ta có ·yAz z·Ax = 300 (Az là tia phân giác của x·Ay ) Bài 4: (3,0 điểm) Mà: ·yAz A·CB (Ay // BC, so le trong) 0,5đ a) z·Ax A·CB VABC cân tại B Trong tam giác cân ABC có BK là đường cao ứng với cạnh đáy 0,5đ BK cũng là đường trung tuyến của ABC KC = KA
4. AC Chứng minh: BH = 1,0đ 2 Ta có: ·ABH 900 x·Ay 300 ( ABH vuông tại H). 0,25đ Xét hai tam giác vuông ABH và BAK, có: b) AB: Cạnh chung; z·Ax ·ABH ( 300 ) 0,5đ ABH = BAK BH = AK AC AC Mà: AK =(cmt) BH 0,25đ 2 2 Chứng minh: ΔKMC đều 1,0đ Ta có: AMC vuông tại M có MK là trung tuyến ứng với cạnh huyền KM = AC/2 (1) 0,5đ c) Mà: AK = KC = AC/2 (2) Từ (1) và (2) => KM = KC => KMC cân tại K (3) Mặt khác: AMC có ·AMC 900 ; y·Az=300 M· CK 900 300 600 (4) 0,5đ Từ (3) và (4) AMC đều A K B C H I D Chứng minh rằng đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC 3,0đ Ta có: Bµ 2.Cµ Bµ Cµ nên AC > AB => HC > HB 0,25đ Trên đoạn thẳng HC lấy điểm I sao cho IH = HB => AHI = AHB 0,5đ => AI = AB và A· IB A·BC 2.A·CB Mặt khác: A· IB A·CB I·AC I·AC A·CB Bài 5: (3,0 điểm) 0,5đ Do đó: IA = IC DBH cân tại B 1,0đ 1 Do đó: B·DH B·HD A·BC A·CB 2 Suy ra: K·HC A·CB( B·HD) K·AH K·HA (phụ hai góc bằng nhau) Suy ra: KA = KH = KC hay K là trung điểm của AC 0,75đ Vậy đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC Ghi chú: - Mọi cách giải khác nếu đúng, lý luận phù hợp đều ghi điểm tối đa. - Điểm bài thi được làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.