Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện - Môn: Toán 9

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện - Môn: Toán 9

1. UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1. (1,75 điểm) 1. Rút gọn các biểu thức a) A = 5 3 29 12 5 2 a a b b a b b a a b b) B: với a, b 0 và a b. a b b a a b 2. Cho các số dương a, b thỏa mãn: a b 2014 a2 2014 b 2 . Chứng minh rằng a2 + b2 = 2014. Bài 2. (2,0 điểm) 1. Giải phương trình sau: x2 9 3 x 3 0 . 1 2. Cho ba đường thẳng (d1): y x ; (d2): y = x + 2 và (d3): y = (2m + 3)x + 4 - m. Tìm giá 3 trị của m để ba đường thẳng (d1); (d2) và (d3) đồng quy. Bài 3. (1,5 điểm). 1. Cho số gồm ba chữ số abc . Chứng minh rằng nếu số abc chia hết cho 37 thì số gồm ba chữ số bca cũng chia hết cho 37. 2. Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy 2012 x 2013 y 2014 0 Bài 4. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi P là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó. Đường thẳng qua P và vuông góc với CP, cắt CA và CB theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng: AM AP2 a) AMP APB BNP b) NB PB2 Bài 5. (2,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn (O) khác A và B. Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE). Gọi I là trung điểm của PQ. a) Chứng minh O, I, E thẳng hàng. b) Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh IK song song với AB. Bài 6. (0,75 điểm) Cho x, y là các số không âm thỏa mãn x2 y 2 2. Chứng minh rằng : S 1 2x 1 2y 2 3 ===hết===
2. UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn thi: Toán 9 Bài Đáp án Điểm 0,25 1a) A = 5 3 29 12 5 = 5 3 (2 5 3)2 = 5 3 2 5 3 = 5 ( 5 1)2 = 5 5 1 = 1 0,25 2 abaabb abab abab 1b) B : 0,25 a b a b a b 2 Bài 1 = a2abb: a b 1 0,25 (1,75 điểm) 2) a b 2014 a2 2014 b 2 a 2014 b 2 2014 a 2 b a2 2014 b 2 2014a 2 b 2 a2 b 2 2014 2014 a 2 b 2 0,25 a 2014b 2 2014a 2 b a 2014b 2 2014a 2 b a2 b 2 2014 a 2 b 2 2014 a 2014b 2 2014a 2 b 2 2 1 1 a b 2014 0 0,25 a 2014 b2 2014 a 2 b a2 b 2 2014 0 a 2 b 2 2014 0,25 1) ĐK : x 3. 0,25 x2 93x30 x3.x330 0,25 x 3 0 x 3 (TMDK) 0,5 x 3 3 0 x 6 Bài 2 (2,0 điểm) 2) Tọa độ giao điểm A của đường thẳng (d1) và (d2) là nghiệm của hệ : 1 y x x 3 3 nên A(- 3 ; - 1). 0,5 y 1 y x 2 Ba đường thẳng (d1); (d2) và (d3) đồng quy khi A(- 1 ; - 3) thuộc (d3).
3. 4 0,5 Nên ta có : 2m 3  3 4 m 1 7 m 4 m 7 1) Theo đề bài abc 37 nên 10.abc 37 0,25 0,25 hay 1000a 100b 10  37 999a 100b 10c a  37 999a bca  37 (1) 0,25 Do 999a  37 nên từ (1) suy ra bca 37 2 Bài 3 2) x xy 2012 x 2013 y 2014 0 2 0,25 (1,5 điểm) x xy x 2013 x 2013 y 2013 1 0,25 x( x y 1) 2013( x y 1) 1 ( x 2013)( x y 1) 1 x 2013 1 x 2014 x y 1 1 y 2014 0,25 x 2013 1 x 2012 x y 1 1 y 2014 Hình vẽ đúng cả bài 0,25 C 12 M P N 1 A 2 B C C 0,5 a)Chứng minh được: AMP 900 ; BNP 900 ; Bài 4 2 2 (2,0 điểm) C APB 900 AMP BNP APB 0,25 2 AM AP 0,25 b) - Chứng minh được: ∆AMP ∽ ∆ APB (g.g) (1) MP PB PN AP - Chứng minh được: ∆APB ∽ ∆PNB (g.g) (2) 0,25 NB PB 2 AM PN AP Từ (1) và (2) suy ra  MP NB PB2 0,25 AM AP2 (do MP = NP) NB PB2 0,25
4. Hình vẽ đúng cả bài 0,25 E M Q K I A B O P o Bài 5 a) Tứ giác APMQ có: EAO APM PMQ 90 0,25 (2,0 điểm) Do đó tứ giác APMQ là hình chữ nhật Suy ra I là trung điểm của AM. 0,25 Có: OM = OA (Bán kính); EM = EA (định lí về t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) 0,25 nên OE là trung trực của AM suy ra OE đi qua I 0,25 Vậy O, I, E thẳng hàng. OI AM  0,25 b) Ta có  OI // BM suy ra AOE ABM (hai góc đồng vị) BM AM  AO AE AOE ∽ PBM (g.g) (1) BP MP 0,25 KP BP Mặt khác, vì KP//AE suy ra (2) AE AB Từ (1) và (2) ta có : AO.MP = AE.BP = KP.AB mà AB = 2.OA Suy ra MP = 2.KP hay K là trung điểm của MP. 0,25 Do đó IK là đường trung bình của AMP nên IK // AB. Ta thấy : 1 2x 4 x2 5 1 2x 1 2x .3 (BĐT Cô si) 3 2 3 2 3 0,25 Bài 6 1 2y 4 y2 5 1 2y 1 2y .3 (0,75 điểm) 3 2 3 2 3 x2 y 2 10 0,25 Suy ra: S 2 3 2 3 Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1. 0,25 Chú ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.