Đề tham khảo kiểm tra học kì 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề tham khảo kiểm tra học kì 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. Đề tham khảo kiểm tra học kì I-Môn Toán-lớp 9 Năm học :2018-2019 Đề thi có 3 trang Thời gian làm bài :120 phút (không kể thời gian phát đề ) Câu 1 :( 1 điểm ) Câu 2 :( 1 điểm ) .Tìm x a/Tìm m để biểu thức √ − có nghĩa a/√ퟒ풙 − ퟒ풙 + + ퟒ = b/So sánh :ퟒ√ và √ b/√ퟒ풙 − + √ 풙 − = ퟒ c/Tính A=√ 풙 − − √풙 − với x=8 c/√ √ 풙 − − = √ d/Tính giá trị biểu thức B=√ . √ , − √ , Câu 3:( 1,5 điểm ) A/Rút gọn các biểu thức sau : B/Rút gọn các đa thức sau : a/ √ + √ − ퟒ√ a/ √풙 − ퟒ풙 + ퟒ − √풙 với x>2 ퟒ b/ √ퟒ + √ + √ − √ b/ . √ − . √ với a 0 ,x#4 √풙− √풙+ 풙−ퟒ Rút gọn biểu thức A và tìm các điều kiện của x để A >0
2. Câu 6:( 2 điểm ) A/ Theo nghiên cứu của các nhà xã hội học của nước Mỹ.Số lượng dân số của nước Mỹ từ năm 1950-2050 có thể tính theo công thức :y=2,53.x+162,2 (đơn vị triệu người ).Trong đó x là số năm bắt đầu tính từ năm 1950.Tỉ lệ phần trăm số người sử dụng internet tại Mỹ từ năm 2000-2025 có thể biểu diễn bằng công thức y= 1,19n +50 .Trong đó n là số năm bắt đầu tính từ năm 2000 .Hỏi đến năm 2019 thì nước Mỹ có bao nhiêu người không sử dụng internet ? B/ Nhằm khuyến khích khách hàng mua sắm ,vào ngày chủ nhât thì siêu thị Coopmart có ưu đãi:giảm giá 30% tất cả sản phẩm vào ngày này .Giá gốc 1 hộp xà bông là 30000 đồng ,1 bàn chải đánh răng là 20000 đồng .Siêu thị ra quyết định chung : Cứ mua 10 hộp xà bông thì tặng miễn phí 1 hộp , Cứ mua 5 cây bàn chải đánh răng thì mỗi cây bàn chải đánh răng giảm giá 10 %. Ví dụ : Dự định mua 15 hộp xà bông thì chỉ tính tiền 14 hộp xà bông ( 10 hộp xà bông đầu được tặng 1 hộp ) ,mua 8 cái bàn chải đánh răng thì chỉ 5 bài chải đánh răng đầu giảm giá , còn 3 bàn chải đánh răng còn lại giá tiền bình thường .Vào ngày chủ nhật ,bạn Hoa đi siêu thị mua sắm và dự định mua 41 hộp xà bông và 17 cây bàn chải đánh răng thì phải trả bao nhiêu tiền ? C/ Bạn An đang chơi trò chơi :Tìm lối ra của mê cung .Người chơi phải đi qua tất cả các điểm còn lại của cánh cửa mê cung theo chiều dọc hoặc ngang đúng 1 ô ,mỗi cửa chỉ đi đúng 1 lần Ví dụ :mê cung bên trái .Đề đi từ số 1 sang số 7 .Bạn An cần đi theo thứ tự là 1 =>4=>5=>2=>3=>6=>9=>8=>7 hoặc 1=>2=>3=>6=>9=>8=>5=>4=>7 .Tương tự ,ở bên mê cung phải . Em hãy giúp bạn An tìm tất cả lối đi từ a đến b
3. D/ Bạn Tuấn đi bô từ điểm M đến N với thời điểm khởi hành là 7 giờ 10 phút sáng như hình vẽ. Đoạn đường đi qua có đoạn đường dốc ABCD như hình vẽ .Trong đó BI và CJ là các cột dựng đứng với mặt đất . Biết trong tứ giác ABCD có góc A= 45* ,góc B=165 * ,góc D=60* , AI= 3m , IJ=5m ,DJ=4m a/ Tính độ dài đoạn đường dốc ABCD b/ Tại H có một cây cột dài 14 m vuông góc với mặt đất . Vị trí của Tuấn khi nhìn lên cây cột ở các vị trí M và N có góc nhìn hợp với phương mặt đất lần lượt là các góc 70* và 35* .An đi với vận tốc 0,25 m /s .Tính thời điểm Tuấn đi đến điểm N Câu 7:( 3 điểm )Cho đường tròn (O;R) ,đường kính AB .Trên đường tròn (O) lấy điểm C sao cho BC>AC .Kẻ CH vuông góc với AB tại H .Gọi I là trung điểm của BC a/ Chứng minh :CH2=HA.HB và 4 điểm C,H,O,I cùng nằm trên 1 đường tròn b/ Tiếp tuyến tại B của (O) cắt OI tại D .Chứng minh :CD là tiếp tuyến của (O) c/ AD cắt (O ) tại K .Chứng minh :Khi C di động trên đường tròn (O) thì đường thẳng IK luôn đi qua 1 điểm cố định d/ Vẽ BG vuông góc với KH tại G Chứng minh : 푲푪푮̂ = 푲푯푪̂ , từ đó tính diện tích tam giác BCG theo R trong trường hợp tanKCG đạt giá trị lớn nhất &&&&HẾT ĐỀ THI&&&&
4. Đáp án đề thi Câu 1 : a/ Để biểu thức √ − có nghĩa  − ≥ 3m≥ m≥ b/ Ta có :ퟒ√ = √ , √ = √ . Mà 80>72 =>√ >√ =>ퟒ√ > √ c/ Với x=8 thì ta có :A=√ 풙 − − √풙 − = √ . − − √ − = √ − − √ = √ − = √ =2 √ d/ B=√ . √ , − =√ . , − √ =√ − √ = − ퟒ = √ , , Câu 2 : a/√ퟒ풙 − ퟒ풙 + + ퟒ = √ퟒ풙 − ퟒ풙 + = √( 풙 − ) =  | 풙 − | =  풙 − = hoặc 풙 − = −  풙 = hoặc 풙 = −ퟒ 풙 = hoặc 풙 = − b/√ퟒ풙 − + √ 풙 − = ퟒ √ퟒ(풙 − ) + √ (풙 − ) = ퟒ  √풙 − + √풙 − = ퟒ  √풙 − = ퟒ √풙 − =  풙 − = ퟒ 풙 = c/√ √ 풙 − − =  √ 풙 − − = ퟒ  √ 풙 − =  √ 풙 − =  풙 − = ퟒ  풙 =  풙 = Câu 3 : A/ a/ √ + √ − ퟒ√ = √ . + √ . − ퟒ√ퟒ. = √ + √ − √ = √ b/ √ퟒ + √ + √ − √ =√(√ + ) + √(ퟒ − √ ) =|√ + | + |ퟒ − √ | = √ + + ퟒ − √ = ( √ +√ ) (√ −√ ) c/ − = − √ −√ √ +√ ( √ −√ )( √ +√ ) (√ +√ )(√ −√ ) ( √ +√ ) (√ −√ ) ( √ +√ ) (√ −√ ) = − = − ( √ ) −(√ ) (√ ) −(√ )
5. = ( √ + √ ) − (√ − √ )= √ + √ − √ + √ = √ + √ d/ √ − √ . √ + √ − √ √ − √ . √ √ + √ = √( − √ ). ( + √ ) − √( √ − √ ). ( √ + √ ) = √ + √ − √ − − √( √ ) − ( √ ) =√ + ퟒ√ − √ퟒ =√( √ + ) − =| √ + | − = √ + − = √ − B/ a/ Vì 풙 > => 풙 − > và x>0 Do đó : √풙 − ퟒ풙 + ퟒ − √풙 =√(풙 − ) − √(풙) =|풙 − | − |풙| = 풙 − − 풙 = − ퟒ b/Vì a > 0 và < 0 ퟒ ퟒ Do đó : . √ − . √ =√( ) . + √( ) . ퟒ ퟒ ퟒ ퟒ ퟒ ퟒ = √ . + √ . =√ퟒ + √ = √ ퟒ ퟒ Câu 4 : a/ Bảng giá trị của đường thẳng y=2x+3 X 0 − Y 3 1
6. b/Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường thẳng (d1 ) và (d2 ) là : 2x+3=3x+5  x=− => y=2x+3 = 2. − +3 =− Vậy tọa độ giao điểm 2 đường thẳng (d1) và (d2) là (− ; − ) c/Gọi phương trình đường thẳng (d3 ) có dạng :y=ax+b (a#0 ) (d3 )//(d1 ) :y=2x+3 => a=2 và b# 3 => (d3 ) có dạng :y=2x+b (d3) cắt (d2) tại I ta có :yI =−ퟒ Ta có : I thuộc (d2 ) => −ퟒ =3xI +5 3xI =−  xI =− . Vậy tọa độ I (− ; −ퟒ ) Vì I thuộc (d3 ) =>yI = 2xI +b => b=yI – 2xI = −ퟒ + = # 3 (nhận ) Vậy phương trình đường thẳng (d3 ) có dạng y=2x+2 Gọi A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d3 ) với trục hoành và trục tung Ta có :yA = 0 =>0 =2xA +2  2xA =−  xA =− Ta có :xB = 0  yB =2xB +2 =2.0+2=2 Ta có : OA = |xA|= |− | =1 , OB = |yB|= | | =2 Gọi H là khoảng cách từ điểm O xuống đường thẳng (d3 ) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB ta có : ퟒ √ = + = + = => OH=√ = 푶푯 푶 푶 ퟒ Câu 5 : Ta có :풙 − ퟒ = (√풙 − )(√풙 + ) √풙+ √풙+ 풙+ √풙+ Do đó : A= + − √풙− √풙+ 풙−ퟒ ( √풙+ )(√풙+ )+(√풙+ )(√풙− )−(풙+ √풙+ ) = (√풙+ )(√풙− ) 풙+ퟒ√풙+√풙+ +풙− √풙+ √풙− −풙− √풙− 풙+√풙− = = (√풙+ )(√풙− ) (√풙+ )(√풙− ) 풙+ퟒ√풙− √풙− √풙.(√풙+ )− (√풙+ ) ( √풙− ).(√풙+ ) √풙− = = = = (√풙+ )(√풙− ) (√풙+ )(√풙− ) (√풙+ )(√풙− ) √풙− 풕− Đặt t =√풙 ( t ≥ ) .Ta có : A >0  >0 풕− 풕 − > 풕 − 풕 − <
7. 풕 > 풕 풕 풕 − 풕 >  t >2 hoặc t 2 0 2  0 4 ퟒ Câu 6: A/ Dân số nước Mỹ năm 2019 là : 2,53 . (2019−1950 ) +162,2=336 ,77 triệu người Tỉ lệ phần trăm người Mỹ dùng internet năm 2019 là : 1,19 .( 2019−2000)+50=72,61 % Tỉ lệ phần trăm người Mỹ không dùng internet năm 2019 là :100−72,61=27,39 % Dân số nước Mỹ không dùng internet năm 2019 là :336,77 .27,39% =92,24 triệu người. B/ Vào ngày chủ nhật : Giá tiền 1 hộp xà bông là : 30000.( 100−30 )%=21000 đồng Giá tiền 1 cây bàn chải đánh răng là : 20000.( 100−30 )%=14000 đồng Khi mua 41 hộp xà bông thì 30 hộp xà bông được tặng 3 hộp =>Bạn Hoa chỉ cần trả tiền cho:41−3 =38 hộp xà bông Giá tiền của 38 hộp xà bông là : 38.21000=798000 đồng Khi mua 17 cây bàn chải đánh răng thì ta có : 17=5.3+2 do đó 15 cây bàn chải đánh răng đầu được giảm giá , 2 cây bàn chải đánh răng còn lại không giảm giá Giá tiền 2 cây bàn chải đánh răng không giảm giá là :14000.2 =28000 đồng Giá tiền 15 cây bàn chải đánh răng được giảm giá là : 15.14000 .(100−10)%=189000 đồng Giá tiền cần trả Khi mua 17 cây bàn chải đánh răng là :189000+28000=217000 đồng Vậy vào ngày chủ nhật ,Hoa cần trả tiền khi mua sắm là: 798000 đồng+217000 đồng= 1,015 triệu đồng
8. C/ Kí hiệu các lối đi mê cung như hình vẽ thì sẽ có các lối đi như sau từ a đến b *a=>2=>1=>6=>10=>14=>15=>11=>12=>16=>17=>18=>13=>9=>5=>4=>3=>7=>8=>b *a=>6=>1=>2=>3=>7=>12=>11=>10=>14=>15=>16=>17=>18=>13=>9=>5=>4=>8=>b *a=>6=>1=>2=>3=>7=>8=>4=>5=>9=>13=>18=>17=>16=>15=>14=>10=>11=>12=>b *a=>6=>1=>2=>3=>4=>5=>9=>8=>7=>12=>11=>10=>14=>15=>16=>17=>18=>13=>b *a=>6=>1=>2=>3=>4=>5=>9=>13=>18=>17=>16=>15=>14=>10=>11=>12=>7=>8=>b *a=>7=>3=>2=>1=>6=>10=>14=>15=>11=>12=>16=>17=>18=>13=>9=>5=>4=>8=>b *a=>7=>8=>9=>5=>4=>3=>2=>1=>6=>10=>14=>15=>11=>12=>16=>17=>18=>13=>b *a=>11=>15=>14=>10=>6=>1=>2=>3=>4=>5=>9=>8=>7=>12=>16=>17=>18=>13=>b *a=>11=>15=>14=>10=>6=>1=>2=>3=>4=>5=>9=>13=>18=>17=>16=>12=>7=>8=>b *a=>11=>15=>14=>10=>6=>1=>2=>3=>7=>8=>4=>5=>9=>14=>18=>17=>16=>12=>b *a=>11=>15=>14=>10=>6=>1=>2=>3=>7=>12=>16=>17=>18=>13=>9=>5=>4=>8=>b *a=>11=>12=>16=>15=>14=>10=>6=>1=>2=>3=>7=>8=>4=>5=>9=>13=>18=>17=>b *a=>11=>12=>7=>3=>2=>1=>6=>10=>14=>15=>16=>17=>18=>13=>9=>5=>4=>8=>b *a=>11=>12=>7=>8=>9=>5=>4=>3=>2=>1=>6=>10=>14=>15=>16=>17=>18=>13=>b =>Có tổng cộng tất cả là 14 lối đi từ a đến b
9. D/ 푰 √ *Trong tam giác vuông ABI : AB = = : = √ m 풐풔 ퟒ ∗ 푰푱 Trong tam giác vuông CDJ : CD = = : = 6 m 풐풔 ∗ Góc ABI = 90*−góc BAI = 90*− 45* =45* Góc CBI = ABC−góc ABI = 165*− 45* =120* Ta có :BI//CJ ( cùng vuông góc với AD ) nên Góc BCI= 180*−góc CBI = 180*− 120* =60* Kẻ BE vuông góc với CJ tại E Xét tứ giác BIJE ta có : góc BIJ= góc EJI = góc BEJ= 90* =>Tứ giác BIJE là hình chữ nhật => BE=IJ= 5m 푬 √ √ Trong tam giác vuông BCE ta có : BC = = : = m 풔풊풏 ∗ √ Độ dài đoạn đường dốc là :AB+BC+CD = √ +6+ =16 m * Trong tam giác vuông MHK : MH=HK.cot 70* =14.cot 70*= 5,1 m Trong tam giác vuông NHK :NH=HK.cot 35* =14.cot 35*= 20 m AD= AI+IJ+JD= 3+5+4 =12 m AH+DN=HN −AD = 20−12=8 m
10. Đoạn đường Tuấn đi từ M đến N là : S = MH+AH+ S dốc + ND=5,1+16+8 = 29,1 m 푺 , Thời gian Tuấn đi từ M đến N là : t = 푴푵 = =116 giây ~ 2 phút 풗 , Thời điểm Tuấn đi đến điểm N là : 7 giờ 10 phút + 2 phút = 7 giờ 12 phút Bài 7 : a/ Ta có : Góc ACB= 90* (Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn đường kính AB) Áp dụng hệ thức lượng trong ∆ABC vuông tại C có đường cao CH ta có :CH2=HA.HB (đpcm) Ta có :I là trung điểm của BC => OI vuông góc với BC (Quan hệ đường kính và dây cung ) => Góc OIC =90* Ta có : góc CHO = góc OIC= 90 * => 4 điểm C,H,O,I cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OC (đpcm) b/ Ta có :OB=OC=R=> Tam giác OBC cân tại O . Lại có OI là đường cao (OI_|_BC)
11. =>OI cũng là đường phân giác của góc BOC => góc BOD = góc COD Xét ∆ 푶푫 và ∆푪푶푫 ta có : OB=OC=R , góc BOD= góc COD (cmt ) , OD là cạnh chung =>∆ 푶푫 =∆푪푶푫 ( c-g-c )=> goc` COD= góc BOD =90* => CO_|_CD . Lại có C thuộc (O;R) => CD là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) (đpcm) c/ Cho IK cắt OB tại E Ta có : góc AKB= 90* ( Tam giác ABK nội tiếp trong đường tròn đường kính AB) =>BK vuông góc với AD Áp dụng hệ thức lượng trong ∆BOD vuông tại B có đường cao BI ta có :BD2=DI.DO ( 1a ) Áp dụng hệ thức lượng trong ∆ABD vuông tại B có đường cao BK ta có :BD2=DK.DA ( 1b ) 푫푰 푫 Từ (1a) ,(1b) => DI.DO=DK.DA => = 푫푲 푫푶 Xét ∆푫푰푲 và ∆푫 푶 ta có : 푫푰 푫 Góc ADO là góc chung , = (cmt) 푫푲 푫푶 =>∆푫푰푲 ~ ∆푫 푶 ( c-g-c )=> góc DAO= góc DIK (1c) Mà góc DIK = góc OIE ( 2 góc đối đỉnh ) (1d) Từ (1c) ,(1d) => góc DAO = góc OIE (1e) Xét ∆푬푰푶 và ∆푬 푲 ta có : Góc AEK là góc chung , góc DAO= góc OIE (cmt) 푬푰 푬 =>∆푬푰푶 ~ ∆푬 푲 (g-g)=> = => EO.EA=EI.EK ( 1f) 푬푶 푬푲 Tam giác ABK vuông tại K cho : góc DAO + góc KBA= 90* ( 1m) Ta lại có : góc OIE + góc BIE = góc OIB= 90 * (1n ) Từ (1m) ,(1n ) ,( 1e ) Ta có : góc BIE = góc KBA Xét ∆푬푰 và ∆푬 푲 ta có : Góc KBE là góc chung , góc BIE= góc KBA (cmt) 푬푰 푬 =>∆푬푰 ~ ∆푬 푲 (g-g)=> = => EB2=EI.EK ( 1h) 푬 푬푲 Từ (1f ) ,(1h ) => EB2 = EO.EA ( 1k) Ta có : EO =푶 − 푬 = 푹 − 푬 , EA = − 푬 = 푹 − 푬 Thế vào (1k) ta có : EB2 = (푹 − 푬)( 푹 − 푬 ) =2R2−푹. 푬 − 푹. 푬 +EB2
12. 푹 3R.BE =2R2  BE = (không đổi ) Ta có : E thuộc AB nên E nằm trên đường thẳng cố định .Lại có BE không đổi => E cố định .Vậy đường thẳng IK luôn đi qua điểm E cố định (đpcm) d/ Kẻ HM vuông góc với AD tại M , HN vuông góc với BK tại N Theo như trên ta có :BD2=DK.DA mà BD=CD ( Tính chất 2 tiếp tuyến tại B và C cắt 푪푫 푫 nhau A) => CD2 =DK.DA => = 푫푲 푪푫 Xét ∆푫푪푲 và ∆푫 푪 ta có : 푪푫 푫 Góc CDA là góc chung , = (cmt) 푫푲 푪푫 =>∆푫푪푲 ~ ∆푫 푪 ( c-g-c )=> góc DCA= góc DKC (2a) Áp dụng hệ thức lượng trong ∆ACB vuông tại C có đường cao CH ta có :AC2=AH.AB ( 2b ) Xét ∆ 푴푯 và ∆ 푫 ta có : Góc DAB là góc chung , góc AMH= góc ABD=90* 푴 =>∆ 푴푯 ~ ∆ 푫 (g-g)=> = => AH.AB=AM.AD ( 2c) 푯 푫 푴 푪 Từ (2b) ,(2c ) =>AC2=AM.AD => = 푪 푫 Xét ∆ 푴푪 và ∆ 푪푫 ta có : 푴 푪 Góc CAD là góc chung , = (cmt) 푪 푫 =>∆ 푴푪 ~ ∆ 푪푫 ( c-g-c )=> góc DCA= góc AMC (2d) Từ (2a) ,(2d) => Góc DKC = góc AMC =>Góc CMK = góc CKM ( Kề bù với 2 góc bằng nhau ) => CM=CK (2e) Gọi S là giao điểm của BC và AK Xét ∆ 푺푪 và ∆ 푺푲 ta có : Góc ACB = góc AKB= 90* , góc ASC= góc BSK (2 góc đối đỉnh) 푺 푺푪 =>∆ 푺푪 ~ ∆ 푺푲 (g-g)=> = 푺 푺푲 Xét ∆푪푺푲 và ∆ 푺 ta có : 푺 푺푪 Góc CSK = góc ASB ( 2 góc đối đỉnh ) , = (cmt) 푺 푺푲 =>∆푪푺푲 ~ ∆ 푺 ( c-g-c )=> góc KCB= góc KAB (3a)
13. Mà ta có : góc KAB = góc CHM ( cùng phụ với góc AHM ) (3b) Từ (3a) ,(3b) => Góc KCB= góc CHM Ta lại có góc CMH = góc CMK + góc HMK= góc CMK+90* Góc CKB = góc CKM+góc AKB= góc CKM+90* Mà góc CMK = góc CKM (cmt) => góc CMH = góc CKB Xét ∆푪푲 và ∆푯푴푪 ta có : Góc KCB = góc CHM (cmt ), Góc CMH = góc CKB (cmt) 푪푲 푴푯 =>∆푪푲 ~∆푯푴푪 ( g-g) => = =>MH.BK=CM.CK ( 3c) 푲 푴푪 Từ (2e) ,(3c) => MH.KB=CK2 (3d) Xét tứ giác HMKN ta có : góc HMK = góc AKB = góc HNK =90* =>Tứ giác HMKN là hình chữ nhật => MH=KN ( 3e) Xét ∆푲푵푯 và ∆푲푮 ta có : Góc KNH = góc KGB=90* , góc BKH là góc chung 푲푵 푲푮 =>∆푲푵푯 ~∆푲푮 ( g-g) => = =>KN.KB=KG.KH ( 3f) 푲푯 푲 푲푪 푲푯 Từ (3d) ,(3e) ,(3f) => CK2 =KG.KH => = 푲푮 푲푪 Xét ∆푲푪푮 và ∆푲푯푪 ta có : 푲푪 푲푯 Góc CKH là góc chung , = (cmt) 푲푮 푲푪 =>∆푲푪푮 ~ ∆푲푯푪 ( c-g-c )=> góc KCG= góc KHC (đpcm) Ta có : Góc CKI= góc CKA+ AKI (4a) Góc ABC+ góc IOB =90* ( Do tam giác OIB vuông tại I) (4b) Mà góc CKA = góc ABC ( do ∆푪푺푲~∆ 푺 ) (4c) Góc AKI = góc IOB ( do ∆푬푶푰~∆푬푲 ) (4d) Từ (4a ,(4b) ,(4c) ,(4d) => Góc CKI=90* hay CK vuông góc với IK Gọi F là trung điểm của EC Ta có : HF là đường trung tuyến trong tam giác vuông CHE =>EC=2HF hay FC=FE=HF ( Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (4e) Ta có : KF là đường trung tuyến trong tam giác vuông CKE =>EC=2KF hay FC=FE=KF ( Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (4f) Từ (4e) ,(4f) => FC=FE=FH=FK
14. Áp dụng tính chất trong các tam giác cân ta có: FC=FH => Tam giác FCH cân tại F => Góc HFE= 2 góc CHF ( 4h) ∗−품ó 푯푭푲 FH=FK=> Tam giác FHK cân tại F=> góc FHK= (4k) ∗−품ó 푲푭푬 FE=FK=>Tam giác EFK cân tại F=> góc CEK= ( 4m ) Ta lại có :góc HFE+ góc HFK+ góc KFE= 360 * (4n) Giả sử như góc CHF > góc CHK . Từ (4h) ,(4k ) ,(4m ( ,(4n ) ta có : 푮ó 푯푭푬 ∗−품ó 푯푭푲 Góc CHK = góc CHF− góc FHK = − 푮ó 푯푭푬+품ó 푯푭푲− ∗ ∗−품ó 푲푭푬− ∗ ∗−품ó 푲푭푬 = = = = góc CEK Tương tự nếu góc CHF góc CHK = góc CEK. Vậy trong mọi trường hợp ta luôn góc góc CHK = góc CEK ( 5a ) Trong tam giác ABC .Lấy điểm V thuộc AE sao cho CV//IE Ta có : CV//IE => góc CEK = góc VCE ( 2 góc ở vị trí sole trong ) (5b) Ta có : góc KCG= góc CHK ( cmt ) ,kết hợp với (5a ) ,(5b) =>Góc KCG= góc VCE => Tan KCG = Tan VCE ( 5c )
15. 푹 Theo như trên ta có : BE = = => AB=3BE => AE=2BE ( 5d) Trong tam giác CDB ta có : CV//IE , I là trung điểm của BC =>E là trung điểm của BV => BE =VE ( 5e) Từ (5d) ,(5e) => AE=2VE=> V là trung điểm AE => AV=VE . Vậy ta có :AV=VE=BE 푽 푬 =>AB=3AV =3EV=3BE , = = (5f) Kẻ VJ vuông góc với EC tại J . Dễ thấy trong tam giác CVJ ta có : CJ=CV. Cos VCE Áp dụng định lý pitago vào các tam giác vuông EVJ và CJV thì ta có : VE2 = VJ2 +EJ2 =VJ2 +(CE−CJ)2 = VJ2 +CE2 −2CE.CJ+CJ2 =(VJ2 +CJ2 )+EC2−2CE.CJ =CV2+EC2−2CV.CE.cos VCE 푪푽 +푬푪 −푽푬 =>cos VCE = (5k) .푪푽.푪푬 Kẻ VP vuông góc với AC tại P , EQ vuông góc với BC tại Q Ta có : VP//BC ( cùng vuông góc với AC).Áp dụng định lý ta lét trong tam giác ABC 푽푷 푽 푷푪 푽 kết hợp với 5f : = = ; = = 푪 푪 푪 푪 =>VP = , PC = 푪 ퟒ 푪 Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông CPV : CV2 =VP2+PC2= + (5m) Ta có : EQ//AC ( cùng vuông góc với BC).Áp dụng định lý ta lét trong tam giác ABC 푬푸 푬 푪푸 푬 kết hợp với 5f : = = ; = = 푪 푪
16. 푪 푪 =>EQ = , QC = 푪 ퟒ 푪 Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông CEQ :CE2 =EQ2+CQ2= + (5n) Kết hợp (5f) và định lý pitago trong tam giác vuông ABC: 푪 푪 VE = => EV2= = + (5o ) 푪 Đặt góc CAB=a .Trong tam giác ABC ta có : tana = 푪 Thế (5m) ,(5n ) ,(5o) vào (5k) ta có : 푪 ퟒ 푪 푪 ퟒ 푪 푪 푪 ퟒ 푪 ퟒ 푪 + + + − − + Cos VCE = = 푪 ퟒ 푪 푪 ퟒ 푪 푪 ퟒ 푪 푪 ퟒ 푪 .√ + .√ + .√ + .√ + 푪 푪 + ( 푪 + 푪 ) 푪 푪 + 풕 풏 = = = √ 푪 +ퟒ 푪 .√ 푪 +ퟒ 푪 푪 ퟒ 푪 푪 ퟒ 푪 √ퟒ+풕 풏 .√ +ퟒ풕 풏 √ + .√ + 푪 푪 푪 푪 Áp dụng công thức : tan2VCE+1= 풐풔 푽푪푬 (ퟒ+풕 풏 ).( +ퟒ풕 풏 ) => tan2VCE= − = – 풐풔 푽푪푬 ( + 풕 풏 ) (ퟒ+풕 풏 ).( +ퟒ풕 풏 )−( + 풕 풏 ) = ( + 풕 풏 ) ퟒ+ 풕 풏 +풕 풏 +ퟒ풕 풏ퟒ −ퟒ− 풕 풏 −ퟒ풕 풏ퟒ 풕 풏 = = ퟒ( +풕 풏 ) ퟒ( +풕 풏 ) 풔풊풏 풕 풏 풕 풏 풐풔 =>Tan VCE = = = = .sina.cosa √ ( +풕 풏 ) ퟒ( +풕 풏 ) 풐풔 Theo bất đẳng thức cosi và công thức lượng giác ta có : 풔풊풏 + 풐풔 .sina.cosa ≤ . = . = ퟒ Dấu = xảy ta khi sina=cosa  tana= 1  a= 45 *  Tam giác ABC vuông cân tại C
17. Kết hợp với (5c) .Vậy giá trị lớn nhất của tan KCG là khi tam giác ABC vuông cân ퟒ tại C. Lúc này ta có : AC=AB= √ = √ . 푹 OC vuông góc với AB ( OC là đường trung tuyến tam giác cân ABC) => H trùng với O Xét tứ giác DCOB ta có : góc COB= góc OBD = góc OCD=90* => Tứ giác COBD là hình chữ nhật => BD=OC=R Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông ABD : AD2=AB2+BD2=4R2+R2=5R2 Kẻ KT vuông góc với AB thì KT//BD ( cùng vuông góc với AB ) .Áp dụng hê thức lượng trong tam giác vuông ABD có đường cao BF và định lý ta lét ta có : 푲푻 푲 푲. 푫 ퟒ푹 ퟒ ퟒ ퟒ푹 = = = = = => KT =BD. = 푫 푫 푫 푫 푹 Ta có : ON//AD ( cùng vuông góc với BK ) ,lại có OA=OB => N là trung điểm của BK. Theo hệ thức lượng tam giác vuông ABD có đường cao BK ퟒ푹 √ .푹 = + = + = => BK=√ = 푲 푫 푹 ퟒ푹 ퟒ푹 푲 푹√ =>KN= = 푹√ √ .푹 푲푵 푲 . 푹 Theo như trên ta có :KG.KO=KN.KB =>KG= = = 푲푶 푹 푹 푹 푶푮 = 푶푲 − 푲푮 = 푹 − =
18. Kẻ GL vuông góc với OB tại L thì GT//KT .Áp dụng định lý ta lét ta có : 푮푳 푶푮 푹 푲푻 ퟒ푹 푹 = = : R= => GL = = . = 푲푻 푶푲 Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông OGL : OG2=OL2 +GL2 푹 푹 푹 =>OL=√푶푮 − 푮푳 = √( ) − ( ) = 푹 ퟒ푹 AL =AO+OL =R+ = Ta có : OC//GL ( cùng vuông góc với AB ) .Diện tích tứ giác COLG là : 푹 푹 푹 푹 .(푹+ ) . (푶푪+푮푳).푶푳 푹 S ( COLG) = = = = 푶 .푶푪 푹 Diện tích tam giác AOC là :S (AOC) = = 푳.푮푳 ퟒ푹 푹 ퟒ푹 Diện tích tam giác AGL là :S (AGL) = = . . = Diện tích tam giác AGC là : S (AGC) =S (AOC)+ S(COLG)−S (AGL) 푹 푹 ퟒ푹 푹 = + − = .푮푳 푹 푹 Diện tích tam giác AGB là : S (AGB) = = . .2R = 푶푪. 푹. 푹 Diện tích tam giác ABC là : S (ABC) = = = R2 Diện tích tam giác CBG là : S(CBG) = S(ABC)− S (AGC)−S (AGB) 푹 푹 푹 =R2− − = (đpcm)