Đề ôn tập thi môn Toán 9

Nội dung text: Đề ôn tập thi môn Toán 9

1. Đề 1 2x y 0 Bài 1: Giải các PT Và HPT. a/ b/ 2x4 – 3x2 – 2 = 0 3x 2y 1 Bài 2: a/ Với giá trị nào của x thì x 2 xác định. 2 b/ Tính 2 2 2 1 (a b)2 (a b)2 c/ Rút gọn M =(ab 0) ab Bài 3 : Cho (d) : y = - 3x +6 và (d’) :y = 2,5x – 2m2 + 1 . a/ Vẽ (d) b/ Tìm m để (d) và (d’) cắt nhau tại một điểm trên trục hoành. 2 4: Cho (P) : y = 2x và (d) : y = kx – 2 ( k là tham số). Gọi M(xM ;2) là điểm chung của hai đồ thị (P) và (d), biết xM > 0. Tìm k. 5.Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm A nằm ngoài O sao cho OA = 2R. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với (O). ( với B ; C là các tiếp điểm). H là giao điểm của BC và OA a/ C/m : Tứ giác ABOC nội tiếp. b/ Kẻ đường kính BD của (O). C/m: DC //OA. c/ Kẻ CE vuông góc với BD tại E. C/m: H· EB H· AB . d/ Tính theo R diện tích phần tam giác ABO nằm ngoài đường tròn (O). Đề 1 2x y 0 Bài 1: Giải các PT và HPT. a/ b/ 2x4 – 3x2 – 2 = 0 3x 2y 1 Bài 2: a/ Với giá trị nào của x thì x 2 xác định. 2 b/ Tính 2 2 2 1 (a b)2 (a b)2 c/ Rút gọn M =(ab 0) ab Bài 3 : Cho (d) : y = - 3x +6 và (d’) :y = 2,5x – 2m2 + 1 . a/ Vẽ (d) b/ Tìm m để (d) và (d’) cắt nhau tại một điểm trên trục hoành. 2 4: Cho (P) : y = 2x và (d) : y = kx – 2 ( k là tham số). Gọi M(xM ;2) là điểm chung của hai đồ thị (P) và (d), biết xM > 0. Tìm k. 5.Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm A nằm ngoài O sao cho OA = 2R. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với (O). ( với B ; C là các tiếp điểm). H là giao điểm của BC và OA a/ C/m : Tứ giác ABOC nội tiếp. b/ Kẻ đường kính BD của (O). C/m: DC //OA. c/ Kẻ CE vuông góc với BD tại E. C/m: H· EB H· AB . d/ Tính theo R diện tích phần tam giác ABO nằm ngoài đường tròn (O)
2. Đề 2 1/ Giải Pt và HPT. 4x y 5 x x 1 a) 3x4 – 5x2 – 28 = 0 b) c/ 2 0 3x 2y 12 x 1 x x2 2: Cho y (P) 2 a) Vẽ (P). b/ Tìm các điểm thuộc (P) có hoành độ gấp hai lần tung độ. 4/ Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 3m, Nếu tăng mỗi chiều thêm 2m thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 70m2. Tính các kích thước HCN. 5/ Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Vẽ OC vuông góc với AB tại O, Lấy K thuộc cung nhỏ AC, kẻ KH vuông góc với AB tại H, tia AC cắt HK tại I , tia BC cắt tia HK tại E, AE cắt (O) tại F. a/ C/m: Tứ giác BCIH nội tiếp b/ C/m: BI.BF = BC .BE c/ khi H là trung điểm của OA. Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của hình sinh ra khi quay tam giác ABE một vòng quanh cạnh AB . Đề 3. 3x 2y 3 1 3 1/ Giải PT và Hpt: a/ x2 + x – 20 = 0 b/ c/ 2 x y 1 x 2 x 6 2/ a/ Tính : 2 3 27 300 b/ Cho A = 2+3 và B =2 3 .Tính A + B và A.B . 3/ Cho (P) : y = x2 và (d) : y = x - m + 2 a/ Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. b/ Gọi A(x1 ;y1) và B(x2;y2) là hai giao điểm của (d) và (P). Tìm m để y 1 + y2 = y1y2. 4/ Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m và độ dài đường chéo là 13m . Tính diện tích của hình chữ nhật đó. 5/Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm bên ngoài đường tròn . Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) và một cát tuyến ADE không đi qua O. Gọi H là trung điểm của DE. a/ Chứng minh : 4 điểm A,B,C,O cùng thuộc một đường tròn. b/ Chứng minh : HA là tia phân giác của góc BHC. c/ BC và DE cắt nhau tại I. Chứng minh: AB2 = AI.AH d/ BH cắt đường tròn (O) ở K. Chứng minh : AE // CK Đề 4 1/ Giải Pt và HPT. x y 1 x2 3x 5 1 a/ b/ 4x2 + 7x – 2 = 0 c/ 2x 3y 7 (x 2)(x 3) x 3 4x2 4x 1 x 2 1 2/ / a/ Tính (2 9 3 36) : 6 25 b/ Rút gọn M =(x ) x 3 2 3/ a/ Tìm giá trị của m để hai đường thẳng y = ( m2 – 4)x + 2 ( m 2 ) và y = 5x + m – 1 song song với nhau. b/ Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d ) : y = 2mx + 1.Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đường thẳng d luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để hai điểm A,B đối xứng với nhau qua trục tung.
3. 4/ Hai người đi xe đạp khởi hành cùng lúc từ A đến B cách nhau 60 km biết vận tốc của người thứ nhất nhỏ hơn người thứ hai là 2 km/giờ và người thứ nhất đến muộn hơn người thứ hai là 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe. 5.Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ngoài (O) sao cho OA = 3R. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB ; AC với (O) ( B;C là các tiếp điểm.) a/ C/m: Tứ giác OBAC nội tiếp b/ Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) tại D.( D khác B), AD cắt đường tròn (O) tại E.( E khác D). Tính tích AD.AE theo R. c/ Tia BE cắt AC tại F. C/m: AF = FC. . Đề 5 1/ Tính a/ 2 1 2 1 b/ (4 2 8 3). 2 18 c/ (3 32 2 18 50) : 2 3x 2y 4 2/ Giải a/ x2 - 7x -144 =0 b/ 4x 3y 5 3/ Cho parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = 2x +m2 + 1 ( m là tham số ) a/ Chứng minh rằng với mọi m, (d ) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B 2 2 b/ Kí hiệu xA, xB là hoành độ của điểm A và điểm B. Tìm m sao cho xA xB 14 4/ Hai ô tô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 10 km nên đến B trước ô tô thứ hai là 0,4 giờ. Tính vận tốc của mỗi ô tô. 5/ Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB 3) 2 5 x 3 3/ a/ Với giá trị nào của k thì hàm số y = (3 - k) x2 đồng biến với x < 0. b/ Cho đường thẳng (d) : y = 2x – m và Parapol (P) : y = x2. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ cùng dấu. 4/ Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi về ngược gió nên vận tốc của người đó giảm 4km/h do đó thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ. Tính vận tốc lúc đi.
4. 5/ Cho đường tròn tâm O đường kính AB =2R và C là một điểm nằm trên đường tròn sao cho CA > CB. Gọi I là trung điểm của OA. Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại I, d cắt tia BC tại M và đoạn thẳng AC tại H ; AM cắt đường tròn (O) tại điểm thừ hai K. a/ Chứng minh :Tứ giác BCHI nội tiếp. b/ Chứng minh: Tích AH.AC không đổi. c/ Chứng minh : Ba điểm B, H, K thẳng hàng. d/ Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn (O) cắt nhau tại Q. Tính diện tích của tứ giác QAIM theo R khi BC = R Đề 7: x2 4x 4 x 1/ a/ Tính M = 10 - 9 A = ( 5 2)2 5 b/ Rút gọn N = (x 2) x 1 x 3y 10 2. Giải a/ 2x2 + x – 15 = 0 b/ x 5y 16 3/ Cho (d): y= 2x – m ( m là tham số dương)và parabol (P): y = x2 Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Chứng minh rằng khi đó A, B có hoành độ dương. 4/ Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc không đổi.Khi đi từ B đến A người đó tăng vận tốc thêm 2 km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận tốc lúc đi từ A đến B. Biết quãng đường AB dài 30 km. 3/ Cho tam giác ABC cân tại A, Đường tròn tâm O đường kính AB = 2R cắt BC ; AC lần lượt tại I; K. Tiếp tuyến của (O) tại B cắt AI tại D, Gọi H là giao điểm của AI và BK. a/ C/m: Tứ giác IHKC nội tiếp b/ C/m: BC là tia phân giác của góc DBH. c/ Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác IHKC theo R khi tam giác ABC đều. Đề 8 1 1 1. Tính a/ Tính A = 20 3 5 80 :3 b/ 3 7 3 7 3x 2y 2 2/ Giải a/ 6x2 – 5x – 6 = 0 b/ 4x y 4 1 3/ a/ Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đồ thị hàm số y = ax 2 đi qua điểm M (- 2; ). Tìm hệ số 4 a. b/ Tìm m để đường thẳng (d) y = mx – 1 và ( d’): y = 3x - 2m + 3 cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung. 4. Một xe Ô tô đi từ A đến B cách nhau 150km và trở về hết cả thảy 5 giờ biết rằng vận tốc lúc về nhiều hơn vận tốc lúc đi là 25km/h. Tính vận tốc lúc đi. 5/ Tam giác AMB cân tại M nội tiếp trong đường tròn (O; R). Kẻ MH vuông góc AB (H AB), MH cắt đường tròn tại N. Biết MA = 10cm, AB = 12cm. a) Tính MH và bán kính R của đường tròn; b) Trên tia đối tia BA lấy điểm C. Đường thẳng MC cắt đường tròn tại D, ND cắt AB tại E.
5. Chứng minh tứ giác MDEH nội tiếp. c/ chứng minh : NB2 NE.ND . Đề 9. 99 2 1/ Tính a/ 75 : 3 b/ 7 2 56 11 x y 1 2/ Giải a/ 4x2 – 8x + 3 = 0 b/ x 2y 4 3/ Cho (P) : y = - x2 a/ Vẽ (P) b/ Cho (d): y = 2x + k2 . Tìm k để (P) và (d) tiếp xúc. 4/ Một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng khối lượng mỗi xe như nhau. Hôm làm việc có 2 xe phải điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn so với dự định( khối lượng mỗi xe vẫn chở bằng nhau). Hỏi ban đầu đội có bao nhiêu xe ? 5/ Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R, lấy H thuộc OA sao cho OH = R . Qua H vẽ 3 đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại C và D. Hai tiếp tuyến tại A và C cắt nhau tại E. a/ C/m: Tứ giác EAOC nội tiếp. b/ C/m : OE//BC c/ C/m: EA.HB = AO.CH d/ Tính diện tích của tứ giác ADBC theo R. Đề 10. 4x + 7y = 18 1/ Giải : a/ x2 – 14x + 48 = 0 b/ 3x - y = 1 5 2/ Tính B = 2( 50 3 2) b/ M = 2 5 5 2 x2 1 3: Cho (P): y = và (d): y = x 2 4 2 a/ Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b/ Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d). 4. Một đội xe cần vận chuyển 160 tấn gạo với khối lượng mỗi xe chở bằng nhau. Khi sắp khởi hành thì được bổ sung thêm 4 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn dự định lúc đầu 2 tấn gạo (khối lượng mỗi xe chở vẫn bằng nhau). Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu chiếc? 5/Cho đường tròn (O; R) , đường kính AB . Trên tiếp tuyến kẻ từ A của đường tròn này lấy điểm C sao cho AC = AB . Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD của đường tròn (O; R), (với D là tiếp điểm) .
6. a) Chứng minh rằng ACDO là một tứ giác nội tiếp. b) Gọi H là giao điểm của AD và OC. C/m: OC vuông góc với AD c) Tính theo R độ dài các đoạn thẳng AH ; AD. d) Đường thẳng BC cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai M. Chứng minh : góc MHD 450 Đề 11. 4x y 5 x 1 5 1/ Giải : a/ b/ 9x2 + 3x – 2 = 0 c/ 2 3x 2y 12 x x 2 1 1 2/ Tính . a/ M = 2 2 3 5 . 5 40 1 A = 6 2 6 2 3/ Cho hàm số y = ( m – 2)x + m + 3. ( m ≠ 2). a/ Tìm m để hàm số nghịch biến b/ Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 3 4/ Hai lớp 9A và 9B có tổng số 80 bạn. Trong đợt khuyên góp sách vở ủng hộ các bạn học sinh vùng bị thiên tai, bình quân mỗi bạn lớp 9A ủng hộ 4 quyển, mỗi bạn 9B ủng hộ 3 quyển. Vì vậy cả hai lớp ủng hộ 281 quyển sách, vở. Tính số học sinh của mỗi lớp. 5/ Cho đường tròn tâm O, đường kính AC. Lấy K thuộc AO. Vẽ dây BD vuông góc với AC tại K, Lấy điểm E trên cung nhỏ CD (E không trùng C và D), AE cắt BD tại H. a) Chứng minh tứ giác CEHK nội tiếp. b/ c/m: ·ACB ·ACD c) Chứng minh : AD2 = AH. AE. d) Cho BD = 24cm; BC = 20cm. Tính chu vi hình tròn (O). Đề 12 x 2y 5 2x x 8x 8 1/ Giải : a/ b/ 2x2 – 11x + 15 = 0 c/ 3x y 1 x 2 x 4 (x 2)(x 4) 18 12 x x x 4 2/ a/ Rút gọn A= 45 20 5 . B = M = với x > 0. 2 3 x x 2 3/ a/ Với giá trị nào của k, hàm số y = (3 - k) x + 2 đồng biến trên R. b/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x+1 và đi qua điểm M (-1; 2).Tìm hệ số a và b. 4/ Một tổ học sinh chuyển 105 bó sách cho thư viện. Đến buổi lao động có 2 học sinh bị ốm không tham gia được, vì vậy mỗi học sinh phải chuyển thêm 6 bó nữa mới hết số sách nói trên. Hỏi số học sinh trong tổ là bao nhiêu. 5/ Cho tứ giác ABCD nội tiếp nữa đường tròn (O) đường kính AD = 2R ( B thuộc cung nhỏ AC). Gọi I là giao điểm của AC và BD. Kẻ IH vuông góc AD tại H, Tia BH cắt (O) tại điểm thứ hai là K. a/ C/m; Tứ giác ABHK, CDHK nội tiếp , b/ C/m: HI// CK. c/ Tính theo R diện tích hình giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB khi góc ADB = 300. d/ AB và CD cắt nhau tại Q, Gọi P là trung điểm của IQ. C/m; góc PBD = góc BAD từ đó suy ra PB là tiếp tuyến của (O).
7. Đề 13. 2 3x y 1 1/ Giải . a/x 7x 18 0 b/ x 2y 5 2/ a/ Cho N = 5 2 và M = 5 -2 . Tính N + M và M.N 2 15 6 x 2 4x 5 b/ Rút gọn A= 2 3 B = ( x > -1) 5 2 x 1 3/ a/ Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết rằng đường thẳng : y = ax – 3 đi qua M(2;1). Tìm hệ số a. 2 b/ Cho (P) : y = x và (d) : y = mx - 2. Tìm m sao cho (P) cắt (d) tại hai điểm có tung độ y1; y 2 1 1 thỏa mãn : 7 y1 y2 4/ Lớp 9A dự định trồng 420 cây xanh. Đến ngày thực hiện thì có 7 bạn không tham gia được do bận học bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi nên mỗi bạn còn lại phải trồng thêm 3 cây mới đảm bảo kế hoạch đặt ra. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh? 5/ Cho ABC vuông tại A( AB < AC). Vẽ đường tròn tâm O đường kính AC = 2R, cắt BC tại Kẻ OI vuông góc với HC tại I . Tia OI cắt (O) tại F. a) C/m: Tứ giác ABIO nội tiếp b) C/m: CI.CB = 2R2. c/ C/m: AF là phân giác của góc H· AC . d) Tính theo R phần diện tích tam giác ABH nằm ngoài (O), Biết ·ACB 30 0 . Đề 14. 2x + y = 7 1/ Giải a/ 3x2 + 7x + 2 = 0 b/ x - 3y = - 7 2/ a/ Rút gọn M = 5 2 3 8 2 N= 20 - 45 + 3 18 + 72 1 b/ Cho biểu thức P = . Tính giá trị của P với x = 25. 3 x 3/ Cho đường thẳng (d) y 3x 6 và (d1) : y = ( m2 +1)x + 2m + 3 . a/ Vẽ (d) b/ Tìm m để (d) cắt (d1) tại điểm A có hoành độ bằng x =1. 4/ a) Cho đường thẳng (d ): y mx 2m 4 . Tìm m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ. b) Với những giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y (m2 m)x2 đi qua điểm A(-1; 2). 5/ Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OB, điểm N thuộc nửa đường tròn (O). Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By. Đường thẳng qua N và vuông góc với NM cắt Ax, By thứ tự tại C và D. a) C/m : ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
8. b) Chứng minh: ∆ANB đồng dạng với ∆CMD. c) Gọi I là giao điểm của AN và CM, K là giao điểm của BN và DM. Chứng minh : IK //AB. d/ Cho góc ABN = 300. Tính theo R phần nữa hình tròn nằm ngoài tam giác ABN. Đề 15 3x y 5 1) Giải b/ 4x 4 7x 2 2 0 x 2y 4 2/ Rút gọn a/ A= 12 75 27 : 3 b/ B = x 2y x2 4xy 4y2 ( với x > 2y) 3/ Cho parabol (P) y = x2 vµ ®­êng th¼ng (d) y = 2x + m - 3. T×m m ®Ó (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm 2 2 ph©n biÖt A vµ B tháa m·n x1 x2 x1 x2 víi x1, x2 lÇn l­ît lµ hoµnh ®é cña A vµ B. 4/ Một phòng họp có 360 ghế được chia thành các dãy, nếu bớt đi 3 dãy ghế thì phải thêm cho mỗi dãy 4 ghế để số ghế trong phòng không thay đổi. Hỏi ban đầu trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế ? 5 / Cho tam giác AMN nhọn ( AM < AN) nội tiếp đường tròn (O;R).Các đường cao ME, NK của tam giác MNA cắt nhau tại H. a) Chứng minh tứ giác AKHE nội tiếp được đường tròn. b) Kéo dài AO cắt đường tròn tại Q. Chứng minh : MQ//NK và góc KNM = góc NAQ. c) Biết R = 5cm. MN = 8cm. Tính độ dài AH . Đề 16 3x 2y 1 1/Giải . a/ 3x2 + 13x + 4 = 0 b/ x y 3 1 x 2 2/ Tính a/ 5. 20 3 45 1 b/ Rút gọn N = x 3 : (x 2) x 1 x 1 3/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 4x + m (m là tham số) a/ Vẽ (P). b/ Xác định m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ điểm tiếp xúc. 4/ Một phòng họp có 100 chỗ ngồi được xếp thành các dãy có số chỗ ngồi bằng nhau. Số người đến họp là 144 người nên để có vừa đủ chỗ ngồi người ta phải kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy phải thêm 2 chỗ. Hỏi phòng họp lúc đầu có mấy dãy ghế ? 5/ Cho đường tròn tâm O bán kính R, vẽ hai đường kính vuông góc AB và CD. Một dây vẽ từ A không đi qua tâm O cắt đoạn CD tại H và cắt đường tròn tại M. a/ Chứng minh: Tứ giác OBMH nội tiếp được trong một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này. b/ Tia BH cắt (O) tại F ( F khác B). C/m: MA là tia phân giác của góc OMF.
9. c/ Chứng minh: AM.AH = OA.AB d/ Tính AM và MB khi cho R = 4cm và OH = 3cm. Đề 17 4 2 2x y 3 1/ Giải a /x2 + 6x + 39 = 0 b/ 4x 13x 3 0 c/ 3x 2y 8 2/ a/ Cho biểu thức A=x 4 . Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36. 2 x y 4 xy b/ Rút gọn A= 12 48 75 B = (x 0, y 0, x y) x y 3/ a/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm 2-3 và 2+ 3 2 b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 3x – x – 2 = 0. Không giải phương trình. 2 2 Tính giá trị biểu thức P = x1 + x2 . 1 4/ Cho parabol (P): y x2 (P) và đường thẳng (d): y = x + m (m là tham số) 2 a/ Vẽ parabol (P) b/ Tìm m để (P) và (d) : Không có điểm chung. 5/ Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên tia AB lấy điểm D nằm ngoài đoạn AB sao cho AD = 3R và kẻ tiếp tuyến DC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Hạ AE vuông góc với CD.(E thuộc CD) và F là chân đường vuông góc hạ từ D xuống đường thẳng AC. a) Chứng minh:Tứ giác EFDA nội tiếp. b) C/m: E· AC B· CD . c) C/m : EF.CD= BC.AE. d/ Biết BAC = 300. Tính theo R thể tích của hình sinh ra khi quay tam giác ADF một vòng quanh cạnh AF. Đề 18 x y 1 1/ Giải : a) x4 - 9x2 + 20 = 0 b) 2x 3y 7 2 x2 - 2x + 1 2/ a/ Tính 32 3 18 : 2 b/ Rút gọn M= . ( x>0 ; x ≠1) x - 1 4x2 x2 3/ Cho (P) : y = - và ( d) : y = – 2x + 2. 2 a/ Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ . b/ Chứng tỏ (P) và (d) có một điểm chung . 4/ a/ Tìm hoành độ của điểm A biết A thuộc y = 2x2 và có tung độ bằng 18.
10. b/ Cho hàm số (P) : y = 2x2 .Tìm các điểm M thuộc (P) sao cho M có hoành độ bằng với tung độ. 5/ Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm K sao cho AK > R, từ K kẻ tiếp tuyến thứ hai KM với đường tròn O tại M.( M là tiếp điểm). a) Chứng minh: Tứ giác AOMK nội tiếp b) C/m: OK // MB. c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại E. Chứng minh tứ giác OBEK là hình bình hành. d) Biết góc ABM = 600. Tính diện tích tam giác KAM nằm ngoài hình tròn (O) theo R. Đề 19 1/ Giải a/ x2 – 7x + 3 = 0 b/ 9 a 25a 4a3 a b b a 1 2/ Rút gọn A = ( a > 0) M= : (a.b >0, a ≠ b) a a 2 a ab a b 2 3/ a/ Cho hàm số y = x . Tính y khi x = - 3 ; x = 6. 3 b/ Cho (P) : y = x2 và (d): y = mx + m2 – 4. Tìm m để (P) và (d) cùng đi qua điểm có hoành độ x = - 2. 4. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng nhỏ hơn chiều dài 4m và diện tích bằng 192m2. Tính chu vi mảnh đất. 5/ Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. a/ c/m: Tứ giác HECD nội tiếp. b/ C/m: B· AH D· CH c/ Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH. C/m: DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). d/ Tính DE biết DH = 2cm. AH = 6cm. Đề 20 2x y 3 2x x2 3x 12 1/ a/ Giải a/ b/ x4 – 7x2 + 12 = 0. c/ x y 6 x 3 (x 3)(x 2) 55 2/ Rút gọn a/ C=3 +5 (15 -5 ) + 5 M =2 5 500 . 11 3/ Cho (P) : y = - 2x2 a/ Vẽ (P) b) Tìm k để đường thẳng (d): y = kx + 2 cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 4/ Cho hàm số y = 2x – 4 ( d). a/ Vẽ (d) b/ Biết đường thẳng (d1): y = ax + 1 cắt (d) tại điểm có hoành độ x = 2. Tìm a.
11. Đề 21 1/ a) x2 – 6x + 14 = 0 b/ x4 x2 20 0 4/ Quãng đường từ A đến B dài 50km. Một người dự định đi xe đạp từ A đến B với vận tốc không đổi. Khi đi được 2 giờ, người ấy dừng lại 30 phút để nghi. Muốn đến B đúng thời gian đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 2 km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của người đi xe đạp? Đề 22 3./ Cho (P) y = x2 và (d): y = 2x + m. Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A và B, biết một điểm có hoành độ x = -1. Tìm hoành độ của điểm còn lại. 4/ 6/Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BM và CN cắt nhau tại H. a/ C/m: BCMN nội tiếp b/ kéo dài AO cắt (O) tại K. C/m; Tứ giác BHCK là HBH c/ Cho cạnh BC cố định, A thay đổi trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC luôn nhọn. Tìm vị trí A để diện tích BCH lớn nhất. Đề 23 1/ a/ x4 7x2 18 0 6/ Cho tam giác ABC vuông tại A. trên cạnh AC lấy điểm M. đường tròn tâm O đường kính MC cắt BC tại E. đường thẳng BM cắt (O) tại D. a/ C/m: Tứ giác ABEM; ABCD nội tiếp. b/ C/m: ME.CB=MB.CD c/ Gọi I là giao điểm của BA và DC, J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC. C/m: AD vuông góc IJ. Đề 25 1/ x4 13x2 38 0 2/ Cho đồ thị (P) : y = ax2 ( a # 0 ) a/ Tìm a biết điểm M(-4;-4) thuộc đồ thị (P). x b/ Vẽ đồ thị (P) và vẽ đồ thị của hàm số : y = 3 trên cùng mặt phẳng toạ độ. 4 c/ Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính. 3/ Hai người thợ cùng làm công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ, người thứ hai làm 1 6 giờ thì họ làm được công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì trong bao lâu làm xong công việc? 4 4/ Chiếc nón lá có chiều cao 28cm và đường kính vành nón là 42cm. Tính diện tích xung quanh của chiếc nón. 5/ Cho BC là dây cố định của đường tròn (O;R), BC < 2R. H là điểm có vị trí thay đổi trên dây BC sao cho HB < HC. Qua H vẽ dây AD vuông góc với BC tại H ( A thuộc cung lớn BC).Kẻ BI vuông góc với AC tại I ,BI cắt AD tại K. 1/ C/m: a/ Tứ giác HKIC nội tiếp b/ C/m: Tam giác BKD cân. 2/ Vẽ đường kính AG của (O),C/m: a/ Tứ giác BDGC là hình thang cân b/ HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = 4R2
12. Đề 26 1/ a/ 4x4 34x2 225 0 3/Cho đường thẳng y = x + m – 1 (d1) ; và y = - 3x + 2m – 5 (d2). Tìm m để d1 và d2 cắt nhau tại một điểm có hoành độ và tung độ đối nhau. 5/ Cho tam giác ABC ( AC > AB) nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Tia phân giác AD của góc BAC cắt (O) ở D. Tia DO cắt BC ở M và cắt đường tròn (O) ở E( E khác D). Kẻ EN vuông góc với AC tại N. Kẻ EK vuông góc với AB tại K. a/ C/m: các tứ giác ANEK và CENM nội tiếp b/ C/m: AD // MN c/ C/m: K,N, M thẳng hàng d/ Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC của (O),khi góc BAC = 600. Đề 27. 1/ b/ x4 6x2 16 0 x2 2. Cho (P) : y = a/ Vẽ (P) 2 b/Tìm các điểm thuộc( P) sao cho các điểm đó cách đều hai trục tọa độ bằng phép tính. 4/ Một nhà máy dự định sản xuất 3000 chi tiết máy trong thời gian đã định. Nhưng thực tế mỗi ngày đã làm thêm được 100 chi tiết, nên đã sản xuất thêm được tất cả là 600 chi tiết và hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày. Tính số chi tiết máy dự định sản xuất trong một ngày. 5/ Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và C là điểm chính giữa cung AB, Lấy H thuộc OA, CH cắt (O) tại I ( I # C). Tiếp tuyến tại I của (O) và đường thẳng vuông góc với AB tại H cắt nhau tại K. a/C/m: IHOK nội tiếp b/c/m: HCOK là HBH c/ đường thẳng BC cắt HK tại E, AE cắt (O) tại F ( F khác A). AC cắt EK tại D. c1: c/m: F; D;B thẳng hàng c2: Cho AH = R/3. Tính độ dài EF theo R. Đề 28. 17/ Cho nữa đường tròn (O) đường kính AB, đường thẳng qua O và vuông góc với AB cắt nửa (O) tại K. Lấy E thuộc cung BK ( EB < EK và E không trùng với B,K), Gọi C là hình chiếu của A trên đường thẳng EK, D là hình chiếu của B trên đường thẳng EK. a/ C/m: AOKC nội tiếp b/ C/m: Tam giác KAB vuông cân và OC vuông góc với OD. c/ Lấy P là điểm trên cung EK ( P khác E và K). Nối PA; PB cắt dây EK lần lượt tại M ; N. C/m: MC.ND = AC.BD d/ Tính diện tích phần nữa hình tròn nằm ngoài tam giác AKB theo R. 2/ Rút gọn
13. x x 1 A = x ( x > 1) x 1 2 x y 4 xy C= (x 0, y 0, x y) x y 1 3/ Cho parabol (P): y x2 (P) và đường thẳng (d): y = x + m (m là tham số) 2 a/ Vẽ parabol (P) b/ Xác định m để (P) và (d) : Không có điểm chung 4/ b/ Tìm m để đồ thị của hai hàm số y = (3m – 2) x + m – 1 và y = x + 5 song song với nhau 14/ Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cát nhau tại H. a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp. b) Chứng minh : AD. AC = AE. AB. c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA  DE. d) Cho biết OA = R , Góc BAC 600. Tính BH. BD + CH. CE theo R 17/ Cho đường tròn (O; R) , đường kính AB . Trên tiếp tuyến kẻ từ A của đường tròn này lấy điểm C sao cho AC = AB . Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD của đường tròn (O; R), với D là tiếp điểm. a) Chứng minh rằng ACDO là một tứ giác nội tiếp. b) Gọi H là giao điểm của AD và OC. Tính theo R độ dài các đoạn thẳng AH;AD. c) Đường thẳng BC cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai M. Chứng minh : MHD 45 . d) Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác MHB ( MOB). Tính diện tích phần của hình tròn này nằm ngoài đường tròn (O; R). 5/ Cho ABC nhọn, AB R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn víi (O) t¹i M. a/ Chøng minh r»ng : Tø gi¸c APMO néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn. b/ Gọi H là giao điểm của AM và OP.C/m: OH.OP = R2. c/ §­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh. d/ BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t nhau t¹i J. Chøng minh: I, J, K th¼ng hµng.
14. 18/ Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, lấy điểm M tùy ý thuộc đoạn HC (M không trùng với H, C). Hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh AB, AClầnlượtlàPvàQ. 1) Chứng minh rằng APMQ là tứ giác nội tiếp và xác định tâm O của đường trònngoạitiếptứgiácAPMQ. 2)Chứngminhrằng:BP.BA=BH.BM 3)Chứngminhrằng:OHvgPQ. 4) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên HC thì MP +MQ không đổi. 2/ Từ điểm A nằm ngoài (O), vẽ các tiếp tuyến AB ; AC với (O). ( B;C là các tiếp điểm). Kẻ dây CD //AB, tia AD cắt (O) tại E.Chứng minh: a/ Tứ giác ABOC nội tiếp b/ ·ACB ·AOC c/ AB2 = AE.AD d/ Tia CE cắt AB tại I.C/m: IA = IB. Bài 4: Một phòng họp có 360 chỗ ngỗi và được chia thành các dãy có số chỗ ngồi bằng nhau nhưng vì có 400 người họp nên phải kê thêm một dãy và mỗi dãy kê thêm 1 ghế. Hỏi ban đầu trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế? Bài 5: Hai lớp 9A và 9B có 82 học sinh. Trong đợt tham gia tết trồng cây do nhà trường phát động, mỗi học sinh lớp 9A trồng được 4 cây; mỗi học sinh lớp 9B trồng được 5 cây. Vì vậy cả hai lớp trồng được 368 cây. Tính số học sinh của mỗi lớp. Tìm m để đồ thị các hàm số y = 2x + 2 và y = x + m - 7 cắt nhau tại điểm nằm trong góc phần tư thứ II. Các Đề Thi Học Kì 2. 1/ Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 3AC. Trên AB lấy điểm D sao cho AD = AC, vẽ đường tròn (O) đường kính BD. Tia CD cắt (O) tại E. a/ C/m: Tứ giác ACBE nội tiếp. b/ C/m: Góc ACE = góc ABE. c/ AE cắt (O) tại F. C/m: BA là phân giác của góc CBF d/ Cho AC = 5cm. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BE và cung nhỏ BE của (O). 2/ Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. Trên tiếp tuyến của (O) tại A lấy điểm I rối vẽ tiếp tuyến thứ hai ID với (O). a/ C/m: tứ giác AODI nội tiếp.
15. b/ C/m; Góc OAD = OID. c/ Tia BD cắt AI tại K. c/m; IA = IK. d/ Cho R = 6cm. OI = 10cm. Tính thể tích của hình sinh ra khi quay tam giác AOI một vòng quanh cạnh IA. 3/ Cho đường tròn (O) đường kính BC = 6cm ; dây CD = 3cm. Qua O vẽ đường thẳng d vuông góc với BC cắt BD tại H, cắt CD tại A. đường thẳng AB cắt (O) tại E. a/ c/m; Tứ giác OCDH ; ODAB nội tiếp. b/ góc OCH = góc ODH. c/ Ba điểm C; H ;E thẳng hàng d/ Vẽ (H;OH). Tính phần diện tích nằm trong tam giác ABC và nằm ngoài (H:OH). 4/ Cho góc nhọn xBy , kẻ tia Bt là phân giác của góc xBy. Lấy A thuộc Bx; kẻ aH vuông góc với By( H thuộc By). Và AD vuông góc với Bt.( D thuộc Bt). a/ c/m: Tứ giác ABHD nội tiếp. Xác định tâm O của đường tròn này. b/ c/m: góc AOD = góc ABH. c/ C/m; OD vuong góc với AH. d/ Khi AH là cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn (O;R). tính theo R diện tích hình giới hạn bởi nữa đường tròn (O) và tam giác AHB. 5/ Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R và C là điểm trên cung AB. Trên dây AC lấy điểm D; kẻ DI vuông góc với AB ( I thuộc AB). a/ c/m: Tứ giác BCDI nội tiếp b/ Tia BD cắt (O) tại E. c/m: góc EAC = góc DIC. c/ tiếp tuyến của (O) tại A cắt tia BC tại K. Tìm vị trí của C trên (O) để tam giác ACK vuông cân. 6/ Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB tại O. trên cung nhỏ BC lấy điểm M. gọi I là giao điểm của AM và OC a/ c/m; Tứ giác OIBM nội tiếp b/ Tiếp tuyến tại M của (O) cắt tia AB tại E, DM cắt AB tại N. c/m; EM = EN và AI.AM = 2R2 c/ Cho MB = R. tính diện tích hình viên phân giói hạn bởi dây AM và cung AM. 7 /Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp (O;R), gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau tại M a/ C/m; Tứ giác OCMD nội tiếp b/ C/m: AD là phân giác của góc BAC c/ Cho góc BAC = 600. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây CD và cung nhỏ CD. d/ AD cắt CM tại E, CD cắt AB tại F. C/m: EF vuông góc OD. 5. Cho (O;R) và điểm A ở ngoài O sao cho OA = 2R . Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với (O) ( B ; C là tiếp điểm). a/ C/m; Tứ giác ABOC nội tiếp. b/ Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) tại D. C/m: Tam giác BCD cân. c/ Kẻ đường kính BE. C/m: CE //OA
16. d/ Tính phần diện tích tam giác AOB nằm ngoài (O). 9/ Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc (O). lấy D trên dây BC. Tia AD cắt cung nhỏ B tại E, Tia AC cắt tia BE tại F. a/ C/m: tứ giác FCDE nội tiếp b/ C/m: DA.DE = DB .DC và góc CFD = góc OCB c/ Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, C/m: IC là tiếp tuyến của (O). d/ Cho góc CBA = 300. Tính theo R diện tích hình viên phân giời hạn bởi dây AC và cung nhỏ AC. 10/ cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. Từ trung điểm I cùa OA vẽ dây CD vuông với AB. Trên cung nhỏ BC lấy điểm M. tiếp tuyến tại M của (O) cắt tia CD tại E. Gọi N là giao điểm của AM và CD. a/ Cm; Tứ giác BMNI nội tiếp b/ C/m; Tam giác EMN cân c/ C/m; AN.AM = R 2 d/ biết góc MAB = 300. Tính theo R thể tích của hình sinhra khi quay tam giác ABM một vòng quanh cạnh AM. 12/ Cho điểm A ở ngoài (O;R). Từ A vẽ một đường thẳng không đi qua tâm O cắt (O) tại E và F. ( E nằm giữa A và F). Kẻ OI vuông góc với EF. Trên cung lớn EF. Vẽ tiếp tuyến AB với (O) ( B là tiếp điểm) a/ c/m; Tứ giác ABOI nội tiếp b/ C/m; AB 2 = AE.AF. c/ cho AO = R2 . kẻ tiếp tuyến AC với (O). ( C là tiếp điểm). Tính theo R diện tích tứ giác ABOC nằm ngoài hình tròn (O) d/ Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với OB cắt BC tại M. C/m: MI //BF 4/ Mét khu v­ên h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi lín h¬n chiÒu réng 8 m và diÖn tÝch b»ng 240 m2. TÝnh chu vi cña khu v­ên Êy. 5/ cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD( B thuộc cung nhỏ AC). Gọi H là giao điểm của AC và BD. Kẻ HK vuông góc với AD tại K, Tia BK cắt (O) tại điểm thứ hai là F. a/ C/m; Tứ giác ABHK nội tiếp , b/ C/m; AD vuông góc với CF. c/ Gọi P và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng AB ; BD, c1/ C/m; PQ //BC c2/ C/m; Đường thẳng PQ đi qua trung điểm của CF.( hay ba đường PQ ; AD ; CF đồng quy). 8/ Cho tam giác ABC vuông tại A. trên cạnh AC lấy điểm M. đường tròn tâm O đường kính MC cắt BC tại E. đường thẳng BM cắt (O) tại D. a/ C/m: Tứ giác ABEM; ABCD nội tiếp. b/ C/m: ME.CB=MB.CD c/ Gọi I là giao điểm của BA và DC, J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC. C/m: AD vuông góc IJ. 10/ Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C thuộc (O) sao cho CA < CB. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D. Vẽ dây AE vuông góc với OD tại F. a/ C/m: AC vuông góc với BD và tứ giác AFCD nội tiếp. b/ C/m: DE là tiếp tuyến của (O)
17. c/ Đường thẳng qua E và vuông góc với AB tại K cắt BC tại H. C/m: HF //AB. 11/ Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, Gọi d1 và d2 là hai tiếp tuyến của (O) tại A và B, Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thay đổi thuộc (O), E không trùng với A , B, Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với EI cắt d1 ; d2 lần lượt tại M và N. a/ C/m; AMEI nội tiếp b/ C/m : Tam giác IAE đồng dạng tam giác NBE. Từ đó C/m : IB.NE = 3 IE.NB c/ Khi E thay đổi, C/m; Tích AM.NB không đổi . 12/ Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và C là điểm chính giữa cung AB, Lấy H thuộc OA, CH cắt (O) tại I ( I # C). Tiếp tuyến tại I của (O) và đường thẳng vuông góc với AB tại H cắt nhau tại K. a/C/m: IHOK nội tiếp b/c/m: HCOK là HBH c/ đường thẳng BC cắt HK tại E, AE cắt (O) tại F ( F khác A). AC cắt EK tại D. c1: c/m: F; D;B thẳng hàng c2: Cho AH = R/3. Tính diện tích tam giác EFC theo R. 14/ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BM và CN cắt nhau tại H. a/ C/m: BCMN nội tiếp b/ kéo dài AO cắt (O) tại K. C/m; Tứ giác BHCK là HBH c/ Cho cạnh BC cố định, A thay đổi trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC luôn nhọn. Tìm vị trí A để diện tích BCH lớn nhất. 15/ Cho tam giác ABC ( AC > AB) nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Tia phân giác AD của góc BAC cắt (O) ở D. Tia DO cắt BC ở M và cắt đường tròn (O) ở E( E khác D). Kẻ EN vuông góc với AC tại N. Kẻ EK vuông góc với AB tại K. a/ C/m: các tứ giác ANEK và CENM nội tiếp b/ C/m: AD // MN c/ C/m: K,N, M thẳng hàng d/ Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC của (O),khi góc BAC = 600. 16/ Cho BC là dây cố định của đường tròn (O;R), BC < 2R. H là điểm có vị trí thay đổi trên dây BC sao cho HB < HC. Qua H vẽ dây AD vuông góc với BC tại H ( A thuộc cung lớn BC).Kẻ BI vuông góc với AC tại I ,BI cắt AD tại K. 1/ C/m: a/ Tứ giác HKIC nội tiếp b/ C/m: Tam giác BKD cân. 2/ Vẽ đường kính AG của (O),C/m: a/ Tứ giác BDGC là hình thang cân b/ HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = 4R2 17/ Cho nữa đường tròn (O) đường kính AB, đường thẳng qua O và vuông góc với AB cắt nửa (O) tại K. Lấy E thuộc cung BK ( EB < EK và E không trùng với B,K), Gọi C là hình chiếu của A trên đường thẳng EK, D là hình chiếu của B trên đường thẳng EK. a/ C/m: AOKC nội tiếp b/ C/m: Tam giác KAB vuông cân và OC vuông góc với OD. c/ Lấy P là điểm trên cung EK ( P khác E và K). Nối PA; PB cắt dây EK lần lượt tại M ; N. C/m: MC.ND = AC.BD d/ Tính diện tích phần nữa hình tròn nằm ngoài tam giác AKB theo R. 5/ Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, Gọi d1 và d2 là hai tiếp tuyến của (O) tại A và B, Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc (O), (E không trùng với A, B). Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với EI cắt d1 ; d2 lần lượt tại M và N. a/ C/m; AMEI nội tiếp b/ AM.BN = AI.IB c/ Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của (O). Hãy tính diện tích của tam giác MIN theo R khi E, I , F thẳng hàng. Bài 4 : ( 3,5 điểm)Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). AH là đường cao của tam giác ABC, M, N theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC.
18. a) Chứng minh AMHN là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh (ABC) =(ANM) c) Chứng minh OA ⊥ MN a) Xét tứ giác AMHN có: ∠AMH = 90o (MH ⊥ AB) ∠ANH = 90o (NH ⊥ AC) => ∠AMH + ∠ANH = 180o => Tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp b) Ta có: ΔAMH vuông tại M: ∠AHM + ∠MAH = 90o ΔABH vuông tại H: ∠ABC + ∠MAH = 90o => ∠AHM = ∠ABC Do tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp nên ∠AHM = ∠ANM (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AM) => ∠ABC = ∠ANM c) Kẻ đường kính AD của (O), Gọi I là giao điểm của AD và MN ΔANH vuông tại N: ∠AHN + ∠NAH = 90o ΔACH vuông tại H: ∠AHN + ∠ACB = 90o => ∠NAH = ∠ACB Ta lại có: ∠ACB = ∠ADB (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB) => ∠NAH = ∠ADB Mặt khác: tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp nên ∠AMN = ∠AHN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN) => ∠AMN = ∠ADB Xét ΔAMI và ΔABD có: ∠BAD là góc chung
19. ∠AMN = ∠ADB => ΔAMI ∼ ΔADB => ∠ AIM = ∠ABD Mà ∠ABD = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => ∠AIM = 90o Hay OA ⊥ MN Bài 4 : ( 1 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Nhà máy luyện thép hiện có sẵn hai loại thép chứa 10% Cacbon và loại thép chứa 20% Cacbon. Gỉa sử trong quá trình luyện thép các nguyên liệu không bị hao hút. Tính khối lượng thép mỗi loại cần dùng để tạo ra 1000 tấn thép chứa 16% Cacbon từ hai loại thép trên. Bài 5 : (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. C là điểm nằm bất kì trên đường tròn sao cho C ≠A,B và AC Khối lượng Cacbon có trong x tấn thép 10% Cacbon là 10% x = 0,1x (tấn) Khối lượng thép chứa 20% Cacbon cần dùng là y ( tấn) => Khối lượng Cacbon có trong x tấn thép 20% Cacbon là 20% x = 0,2y (tấn) Theo bài ra cần tạo 1000 tấn thép chứa 16% Cacbon nên ta có hệ phương trình: Vậy cần 400 tấn thép loại 10% Cacbon 600 tấn thép loại 20% Cacbon
20. Bài 5 : a) ∠ACB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)=>∠FCE = 90o ∠ADB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)=>∠FDE = 90o Xét tứ giác CEDF có: ∠FCE = 90o ∠FDE = 90o => ∠FCE + ∠FDE = 180 o => Tứ giác CEDF là tứ giác nội tiếp b) Xét ΔAFD và ΔBFC có: ∠AFB là góc chung ∠ADF = ∠BCF = 90o => ΔAFD ∼ ΔBFC => => FA.FC = FB.FD c) Do ∠FCE = 90oNên FE là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEDF Do đó trung điểm I của FE là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEDF Tam giác CFI có IC = IF => ΔCFI cân tại I => CFI = ∠FCI Tứ giác CEDF nội tiếp =>∠CFI = CDE (2 góc nội tiếp cùng chắn ) Tứ giác ACDB nội tiếp =>∠CDE = ∠CBA(2 góc nội tiếp cùng chắn ) ΔAOB cân tại O =>∠BCO = ∠CBA => ∠FCI = ∠BCO => ∠FCI + ∠ECI = ∠BCO + ∠ECI ∠FCE = ∠ICO => ∠ICO = 90o
21. Vậy IC là tiếp tuyến của (O) Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120km trong một thời gian quy định . Sau khi đi được một giờ ô tô bị chắn đường bởi xe hoả 10 phút. Do đó, để đến tỉnh B đúng hạn, xe phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính vận tốc ô tô lúc đầu. Bài 5 : ( 3,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. 1) Chứng minh tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh: 3/ BE và CF lần lượt cắt (O) tại điểm thứ hai là M và N. Chứng minh EF // MN 4) Giả sử B và C cố định; A thay đổi. Tìm vị trị của A sao cho tam giác AEH có diện tích lớn nhất. Gọi vận tốc ban đầu của ô tô là x (km/h) (x > 0) Thời gian dự định đi của ô tô là (h) Quãng đường còn lại sau khi ô tô đi được 1 giờ là: 120 – x (km) tô đi trên quãng đường còn lại với vận tốc là x + 6 (km/h) Thời gian ô tô đi trên quãng đường còn lại là (h) Theo bài ra ta có phương trình: => x2 + 42x - 4320 = 0 Do x > 0 nên x = 48 Vậy vận tốc dự định của ô tô là 48 km/h. Bài 5 : a) Xét tứ giác BFEC có:
22. ∠BFC = 90o (CF là đường cao) ∠BEC = 90o (BE là đường cao) => 2 đỉnh E và F cùng nhìn BC dưới một góc bằng nhau => Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp b) Xét ΔABE và ΔACF có: ∠BAC là góc chung ∠AEB = ∠AFC = 90o => ΔABE ∼ ΔACF (g.g) => = ∠EFC = ∠EBC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC) Xét (O) có: ∠CNM = ∠EBC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MC) => ∠EFC = ∠CNM Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị => EF // MN d) Kẻ đường kính AA', Nối A'H cắt BC tại K Ta có: ∠ABA' = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => AB ⊥ BA' HC ⊥ AB (HC là đường cao) => BA' // HC Tương tự: ∠ ACA' = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => AC ⊥ CA' HB⊥AC (BH là đường cao) => CA' // HB
23. Xét tứ giác BA'CH có: => Tứ giác BA' CH là hình bình hành. 2 đường chéo BC và A'H giao nhau tại K => K là trung điểm của A'H và BC Do B, C,O cố định nên OK cố định Xét tam giác AHA' có: O là trung điểm của AA' K là trung điểm của A'H => OK là đường trung bình của tam giác AHA' => OK= AH => AH = 2OK 2 2 2 2 Ta có: 4SAHE = 2AE.EH => AE + EH = AH = 4OK 2 => SAHE => OK Dấu bằng xảy ra khi AE = EH => ΔAHE cân tại E => ∠HAE = 45o => ∠CAB = 45o Vậy điểm A nằm trên đường tròn sao cho ∠CAB = 45o
24. Cho Parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = (2m - 1)x - m + 2 (m là tham số) a) Vẽ đồ thị hàm số P b) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1) và B(x2;y2) thỏa x1y1 + x2 y2 = 0 Một phòng họp có 360 ghế được xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi bằng nhau. Nhưng do số người đến họp là 400 nên phải kê thêm 1 hàng và mỗi hàng phải kê thêm 1 ghế mới đủ chỗ. Tính xem lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có bao nhiêu ghế Bài 5 : ( 3,5 điểm)Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Đường thẳng qua O và vuông góc với AB cắt cung AB tại C. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BC, AE cắt nửa đường tròn tâm O tại F (F khác A). Đường thẳng qua điểm C và vuông góc với AF tại G cắt AB tại H. 1) Chứng minh tức giác CGOA nội tiếp. Tính số đo của góc OGH 2) Chứng minh OG là tia phân giác của góc COF 3) Chứng minh hai tam giác CGO và CFB đồng dạng. a) Xét tứ giác ACGO có: ∠CGA = 90o (CG ⊥ AG) ∠COA = 90o (CO ⊥ AO) => 2 đỉnh G và O cùng nhìn CA dưới 1 góc bằng nhau => Tứ giác ACGO là tứ giác nội tiếp b) Tứ giác ACGO là tứ giác nội tiếp => ∠COG = ∠CAG (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CG) Mà ∠CAG = (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn 1 cung) => ∠COG = => OG là tia phân giác của góc ∠COF c) Xét (O): ∠FCB = ∠FAB (2 góc nội tiếp cùng chắn cung FB) Tứ giác ACGO là tứ giác nội tiếp
25. => ∠OCG = ∠FAB (2 góc nội tiếp cùng chắn cung GO) => ∠FCB∠ = ∠OCG Xét ΔCGO và ΔCFB có: ∠OCG = ∠FCB ∠GOC = ∠FBC (= ∠CAF ) => ΔCGO ∼ ΔCFB (g.g) d) Gọi D là giao điểm của CO và AE Xét tam giác CAB có: CO là trung tuyến AE là trung tuyến CO giao AE tại D => D là trọng tâm của tam giác CAB. Xét tam giác AOD vuông tại O có: Xét ΔAOD và ΔAFB có: ∠FAB là góc chung ∠AOD = ∠AFB = 90o => ΔAOD ∼ ΔAFB => SAFB = SAOD Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x2 = (2m - 1)x - m + 2 x2 - (2m - 1)x + m - 2 = 0
26. δ = (2m - 1)2 - 4(m - 2) = 4m2 - 8m + 10 = 4(m - 1)2 + 6 > 0 ∀m Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m Theo định lí Vi-et ta có: ta có: y1 = (2m - 1) x1 - m + 2 y2 = (2m - 1) x2 - m + 2 Khi đó: x1 y1 + x2 y2 = x1 [(2m - 1)x1 - m + 2] + x2 [(2m - 1)x2 - m + 2] 2 2 =(2m - 1)(x1 + x2 ) + (2 - m)(x1 + x2 ) 2 =(2m - 1)[(x1 + x2 ) -2x1 x2 ] + (2 - m)(x1 + x2 ) =(2m - 1)[(2m-1)2 - 2(m - 2)] + (2 - m)(2m - 1) =(2m - 1)3 - (2 - m)(2m - 1) =(2m - 1)[(2m - 1)2 - (2 - m)] =(2m - 1)(4m2 - 3m - 1) Theo bài ra: x1y1 + x2y2 = 0 (2m - 1)(4m2 - 3m - 1) = 0 Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài là Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Dựng đường tròn tâm O, đường kính AH cắt AB tại E, cắt AC tại F. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại E và F. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại E và F lần lượt cắt cạnh BC tại M và N a) Chứng minh MEOH là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh rằng: AB. HE = AH. HB c) Chứng minh 3 điểm E, O, F thẳng hàng
27. d) AB = 2√10 cm, AC = 2√15 cm, Tính diện tích tam giác OMN. a) Xét tứ giác MEOH có: ∠MEO = 90o (ME là tiếp tuyến của (O)) ∠MHO = 90o (OH ⊥BC) =>∠MEO + ∠MHO = 180o => Tứ giác MEOH là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Ta có: ∠AEH = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => ∠BEH = 90o Xét ΔABH và ΔBHE có: ∠ABH là góc chung ∠BHA = ∠BEH = 90o =>ΔABH ∼ ΔHBE (g.g) => =>AB.HE=AH.BH c) Xét tứ giác AEHF có: ∠AEH = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ∠EAF = 90o ∠AHF = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => Tứ giác AEHF là hình chữ nhật Mà O là trung điểm của AH => O là trung điểm của EF Hay E, O, F thẳng hàng. d) Xét ΔMEO và ΔMHO có: ∠MEO = ∠MHO = 90o
28. EO = OH MO là cạnh chung => ΔMEO = ΔMHO (c.h-c.g.v) => ME = MH Ta có: =>MO là đường trung trực của EH => MO ⊥ EH Mà AB ⊥EH => MO // AB Xét tam giác ABH có: O là trung điểm của AH MO // AB => MO = AB = √10 Chứng minh tương tự, ta có: NO // AC ; NO = AC = √15 Ta có : =>MO ⊥ NO => ΔMON vuông tại O Cho (O; R), dây BC cố định không đi qua tâm O, A là điểm bất kì trên cung lớn BC. Ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Chứng minh tứ giác HDBF, BCEF nội tiếp b) K là điểm đối xứng của A qua O. Chứng minh HK đi qua trung điểm của BC c) Gỉa sử ∠BAC = 60o. Chứng minh Δ AHO cân a) Xét tứ giác BDHF có: ∠BDH = 90o (AD là đường cao)
29. ∠BFH = 90o (CF là đường cao) =>∠BDH + ∠BFH = 180o => Tứ giác BDHF là tứ giác nội tiếp Xét tứ giác BCEF có: ∠BFC = 90o (CF là đường cao) ∠BEC = 90o (BE là đường cao) => 2 đỉnh E và F cùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc vuông => Tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp b) Ta có: ∠KBA) = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) =>KB⊥AB Mà CH⊥AB (CH là đường cao) => KB // CH Tương tự: ∠KCA) = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) =>KC⊥AC BH⊥AC (BH là đường cao) => HB // CK Xét tứ giác BKCF có: KB // CH HB // CK => Tứ giác BKCH là hình bình hành => Hai đường chéo BC và KH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường => HK đi qua trung điểm của BC
30. c) Gọi M là trung điểm của BC Xét tam giác AHK có: O là trung điểm của AK M là trung điểm của BC => OM là đường trung bình của tam giác AHK => OM = AH (1) ΔBOC cân tại O có OM là trung tuyến => OM là tia phân giác của ∠BOC => ∠MOC = ∠BAC = 60o (= ∠BOC ) Xét tam giác MOC vuông tại M có: OM = OC.cos⁡(MOC) = OC.cos⁡60o= OC = OA (2) Từ (1) và (2) => OA = AH => ΔOAH cân tại A 2) Quay hình chữ nhật vòng quanh chiều dài được một hình trụ có bán kính đáy là R= 2 cm, chiều cao là h = 3 cm Khi đó diện tích toàn phần của hình trụ là 2 22 2 Stp = 2πR + 2πRh = 2π + 2π.2.3 = 20π (cm ) Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng . Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng . Tìm phân số đó. Bài 4 : ( 3,5 điểm) 1) Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định, BC= R√3 A là điểm di động trên cung lớn BC (A khác B, C) sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Kẻ đường kính AF của đường tròn (O), AF cắt BC tại điểm N. a) Chứng minh tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp
31. b) Chứng minh AE.AB = AD.AC c) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh rằng F, I, H thẳng hàng Gọi tử số của phân số đó là x Mẫu số của phân số đó là y (y ≠ 0) Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng nên ta có phương trình => 8x = y + 8 (1) Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng nên ta có phương trình => 24x + 168 = 15y (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình Vậy phân số cần tìm là Bài 4 : a) Xét tứ giác BEDC có: ∠BEC = 90o (CE là đường cao) ∠BDC = 90o (BD là đường cao) => Hai đỉnh D và E cùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc vuông => Tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp b) Xét ΔAEC và ΔADB có: ∠BAC là góc chung ∠AEC = ∠BDA = 90o
32. => ΔAEC ∼ ΔADB (g.g) => AE.AB = AC.AD c) Ta có: ∠FBA = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) =>FB⊥AB Lại có: CH⊥AB (CH là đường cao) => CH // FB Tương tự,( FCA) = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) =>FC⊥AC BH là đường cao => BH ⊥AC => FC // BH Xét tứ giác CFBH có: CH // FB FC // BH => Tứ giác CFBH là hình bình hành. Mà I là trung điểm của BC => I cũng là trung điểm của FH Hay F, I, H thẳng hàng. 2) Diện tích xung quanh của hình trụ: S = 2πRh = 2πR2 = 128π (do chiều cao bằng bán kính đáy) => R = 8 cm ; h = 8cm Thể tích của hình trụ là V = πR2 h = π.82.8 = 512π (cm3)