Đề ôn tập môn Toán học 9

Nội dung text: Đề ôn tập môn Toán học 9

1. ĐỀ ÔN TẬP 1. 4 3 6 a 2 Bài 1. Cho biểu thức: P = với a 0;a 1 a -1 a +1 a -1 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của biểu thức P khi a = 6 + 2 5 . Bài 2. Cho phương trình: x2 - 2x + m = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = - 3. 1 1 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 2 2 = 1. x1 x2 Bài 3. Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m. Tính diện tích của hình chữ nhật đó. Bài 4. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = - x + 6 và parabol (P): y = x2 . a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P) . b) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB. Bài 5. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. a) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF. c) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm I, đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P. Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP. Bài 6. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: P = 2x2 - xy - y2 với x, y thoả mãn điều kiện sau: x2 + 2xy + 3y2 = 4. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI NỘI DUNG 1 a) Với a 0;a 1 1
2. 4 3 6 a 2 P = a -1 a +1 a -1 4( a +1) 3( a -1) 6 a 2 P = ( a -1)( a +1) ( a -1)( a +1) ( a -1)( a +1) 4( a +1) 3( a -1) (6 a 2) P = ( a -1)( a +1) 4 a + 4 3 a -3 6 a 2 P = ( a -1)( a +1) a 1 P = ( a -1)( a +1) 1 P = a +1 b) Với a = 6 + 2 5 ( 5 1)2 x = ( 5 1)2 5 1 thõa mãn ĐKXĐ, thay vào 1 biểu thức P = được a +1 1 5 1 A = 5 1 5 2 5 4 2 Khi m = - 3, ta có phương trình x2 - 2x - 3 = 0 Vì a - b + c = 1 - (- 2) + (- 3) = 0 nên x1 = - 1; x2 = 3. Phương trình có nghiệm ' > 0 1 - m > 0 m m2 + 2m - 4 = 0 ' = 1 + 4 = 5 => ' = 5 nên m = -1 + 5 (loại); m = - 1 - 5 (T/m vì m 0) 2
3. chiều dài của hình chữ nhật là x + 7 (m). Vì đường chéo là 13 (m) nên theo định lý Piatago ta có : 132 x2 x 7 2 2x2 14x 49 169 2 x 5 x 7x 60 0 . Chỉ có nghiệm x 5 thoả mãn. x 12 Vậy mảnh đất có chiều rộng 5m, chiều dài 12m và diện tích là S = 5.12 = 60 (m2). 4 2 Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x + x - 6 = 0 D = 25> 0 suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = 2, x = - 3 2;4 Với x = 2 thì y = 4 , suy ra A( ) . - 3;9 Với x = - 3 thì y = 9 , suy ra B( ) . 2;4 - 3;9 Vậy (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A( ) và B( ) . Gọi A¢, B¢ lần lượt là hình chiếu của A và B xuống trục hoành. S = S - S - S Ta có: DOAB AA¢B¢B DOAA¢ DOBB¢ ¢ ¢ ¢ ¢ A B = xB¢- xA¢ = xA¢- xB¢ = 5, AA = yA = 4, BB = yB = 9 AA¢+ BB¢ 9+ 4 65 S ¢ ¢ = .A¢B¢= .5 = Ta có: AA B B 2 2 2 (đvdt) 1 1 ¢ ¢ SD ¢ = AA .OA = .4.2 = 4 OAA 2 2 (đvdt) 1 1 27 ¢ ¢ SD ¢ = BB .OB = .9.3 = OBB 2 2 2 (đvdt) 65 27 SDOAB = S ¢ ¢ - SD ¢- SD ¢ = - 4- = 15 Vậy diện tích tam giác OAB là: AA B B OAA OBB 2 2 3
4. (đvdt). 5 Hình vẽ A y A 3 1 2 3 1 x M 1 E J P 1 J E N F 1 H O 1 F O H 1 1 2 1 1 B C 2 K I B C 1 1 D D Vì BE, CF là các đường cao của ABC nên: B· EC B· FC 90o E, F thuộc đường tròn đường kính BC Bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn. Cách 1: Vẽ đường kính AD của (O), AD cắt EF tại J. o Vì BCEF là tứ giác nội tiếp Eµ 1 A· BC ( 180 C· EF) 4
5. · µ 1 » µ µ Mà ABC D1 sđAC E1 D1 2 Ta có A· CD 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) o o o Aµ 1 Dµ 1 90 Aµ 1 Eµ 1 90 A· JE 90 OA  EF tại J Cách 2: µ · 1 » Qua A, vẽ tiếp tuyến xy của (O) A2 ABC sđAC 2 µ · o · Vì BCEF là tứ giác nội tiếp E1 ABC 180 CEF Do đó Aµ 2 Eµ 1 xy // EF Mà OA  xy (tính chất tiếp tuyến) OA  EF Cách 3: Tia BE cắt (O) tại M, tia CF cắt (O) tại N Vì BCEF là tứ giác nội tiếp Bµ 1 Cµ 1 A¼M A»N (tính chất góc nội tiếp) OA  MN (liên hệ giữa cung và dây) µ  µ Dễ chứng minh N F1 B2 MN // EF OA  EF o Dễ thấy Aµ 3 A· BC 90 o Mà Aµ 1 Dµ 1 90 và A· BC Dµ 1 Aµ 3 Aµ 1 B· AI P· AE APE và AIB có: P· AE B· AI ; Eµ 1 A· BC AP AE APE AIB (g-g) (1) AI AB AE AH Dễ chứng minh AEH ABD (g-g) (2) AB AD 5
6. AP AH Từ (1) và (2) PI // HD (định lí Ta-lét đảo) AI AD Chứng minh được BHCD là hình bình hành H, K, D thẳng hàng KH // IP (đpcm). 6 2 2 2x xy y p Đưa về bài toán tìm P để hệ phương trình: có nghiệm. 2 2 x 2xy 3y 4 8x2 4xy 4y2 4p (1) Hệ trên . Lấy (1) - (2), ta có: 2 2 px 2pxy 3py 4p (2) (8 - p)x2 - 2y(2 + p)x - (4 + 3p)y2 = 0 (3) - Nếu y = 0 => (8 - p)x2 = 0 x = 0 hoặc p = 8 p 0;p 8. - Nếu y 0 chia 2 vế pt (3) cho y2 ta có : x (8 - p)t2 - 2(2 + p)t - (4 + 3p) = 0 (4) với t = . y 7 + Nếu p = 8 thì t = - . 5 + Nếu p 8: Phương trình (2) có nghiệm ' = (2 + p)2 + (8 - p)(4 + 3p) > 0 p2 - 12p - 18 6 - 3 6 p 6 3 6 . Dấu “=” có xảy ra. Vậy min P = 6 - 36 , max P = 6 +36 . 6