Đề kiểm tra học kỳ II môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng giáo dục và đào tạo Cầu Giấy (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra học kỳ II môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng giáo dục và đào tạo Cầu Giấy (Có đáp án)

1. 1/7 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê ỦY BAN NHÂN DÂN QUẬN CẦU GIẤY KIỂM TRA HỌC KỲ II PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC: 2017-2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN 9 Ngày kiểm tra: 18/04/2018 Thời gian làm bài: 90 phút Câu I. (2 điểm) x x + 3 2 1 Cho hai biểu thức A = và B = + − với xx 0, 9. 13+ x x − 9 xx+−33 4 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 2) Rút gọn biểu thức B 3) Cho PBA= :. Tìm x để P 3. Câu II. (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai công nhân cùng làm chung một công việc thì trong 8 giờ xong việc. Nếu mỗi người làm một mình, để hoàn thành công việc đó thì người thứ nhất cần nhiều hơn người thứ hai là 12 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc đó? Câu III. (2,5 điểm) 14 +=3 2xy−+ 1 5 1) Giải hệ phương trình 32 − = −5 2xy−+ 1 5 2) Cho phương trình: x2 −2( m + 1) x + 2 m = 0( 1) ( x là ẩn số, m là tham số) a. Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b. Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là xx12, . Tìm giá trị của m để xx12, là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 12 . Câu IV. (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB . Gọi H là điểm nằm giữa O và B . Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H . Trên cung nhỏ AC , lấy điểm E bất kỳ ( E khác A và C ). Kẻ CK vuông góc với AE tại K . Đường thẳng DE cắt CK tại F. Nhóm Toán THCS:
2. 2/7 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 1) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh KH song song với ED và tam giác ACF là tam giác cân. 3) Tìm vị trí của điểm E để diện tích tam giác ADF lớn nhất. Câu V. (0,5 điểm) Giải phương trình 5x22+ 4 x − x − 3 x − 18 = 5 x . Hết Lưu ý: Cán bộ kiểm tra không giải thích gì thêm. Nhóm Toán THCS:
3. 3/7 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Hướng dẫn giải: Câu I. (2 điểm) 4 2 4 9 2 Thay x = vào A ta được: A = =3 = 9 4 39 13+ 9 x+3 + 2( x − 3) +( x + 3) x+ 3 x x 1) B = = = . ( x+3)( x − 3) ( x + 3)( x − 3) x −3 x x13+ x 2) PBA=:: = = x−3 1 + 3 x x − 3 1+ 3x 1+ 3xx − 3( − 3) 10 Ta có: P 3 3 0 0 x−3 x − 3 x − 3 Vì 10 0 nên x−3 0 x 3 x 9 Vậy khi 09 x thì P 3. Câu II. (2 điểm) Gọi thời gian để người thứ hai làm một mình hoàn thành công việc là x (giờ) (x 0) +) Nếu mỗi người làm một mình, để hoàn thành công việc đó thì người thứ nhất cần nhiều hơn người thứ 2 là 12giờ. Nên thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc một mình là x +12 (giờ) 1 +) Trong 1giờ, người thứ nhất làm được số phần công việc là x +12 1 +) Trong 1giờ, người thứ hai làm được số phần công việc là x Do hai công nhân cùng làm chung một công việc thì trong 8 giờ xong việc nên ta có phương trình: Nhóm Toán THCS:
4. 4/7 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 1 1 1 xx++12 1 += = xx+12 8 xx(+ 12) 8 8(2x + 12) = x ( x + 12) 16x + 96 = x2 + 12 x xx2 −4 − 96 = 0 x=12( TM ) . xL=−8( ) Vậy thời gian để người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là 24 giờ. Thời gian để người thứ hai làm một mình hoàn thành công việc là 12giờ. Câu III. (2,5 điểm) 14 +=3 2xy−+ 1 5 1) Giải HPT 32 − = −5 2xy−+ 1 5 1 a = 21x − a+4 b = 3 a = − 1 Đặt . Khi đó, HPT tương đương: 1 3a− 2 b = − 5 b = 1 b = 21x − 1 =−1 21x − x = 0 Suy ra 11y = =1 21x − Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (0;1) . 2) Cho phương trình: x2 −2( m + 1) x + 2 m = 0( 1) ( x là ẩn số, m là tham số) a. Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . 2 Ta có: '=(m + 1) − 2 m = m2 + 1 0,  m . Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . Nhóm Toán THCS:
5. 5/7 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê b. Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là xx12, . Tìm giá trị của m để xx12, là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 12 . x12+ x =21( m + ) Theo Vi-et, có: . x12 x= 2 m xx12, là độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 12 . xx12 0; 0 Khi đó ta có: 22 xx12+=12 x1 00 x 1 + x 2 2(m + 1) 0 +) Xét: m 0 x2 0 x 2 . x 2 0 20m 22 2 +) Xét: x1+ x 2 =12 ( x 1 + x 2) − 2 x 1 x 2 = 12 2 4(mm + 1) − 4 = 12 mm2 + −20 = m =1 m =−2 Vậy giá trị m cần tìm là m =1 . Câu IV. (3,0 điểm) F K 1) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp. C o E J Xét (O) có CH⊥ AB( gt) CHA = 90 A B CK⊥ AK( gt) AKC = 90o O H Xét tứ giác AHCK có CHA+ CKA =90o + 90 o = 180 o D Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau AHCK nội tiếp (dhnb) 2) Chứng minh KH// ED và ACF là tam giác cân. +) Chứng minh: KH / / ED Nhóm Toán THCS:
6. 6/7 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Xét (O) có CDE= CAE (cùng chắn EC ) Xét tứ giác nội tiếp AHCK có CAK= CHK (t/c) =CHK CDE mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị Suy ra KH / / ED (dhnb) +) Chúng minh: AFC cân Xét (O) có CH⊥ AB( gt) Mà AB là đường kính H là trung điểm của CD (tính chất) Xét CDF có: H là trung điểm của CD và KH// DF Theo hệ quả định lý về đường trung bình trong tam giác CDF suy ra K là trung điểm của FC . Xét AFC có: AKC = 90o (cmt) ⊥AK CF AK là đường cao của AFC . Mà K là trung điểm của CF (cmt) AK là trung tuyến của AFC . Do đó AFC cân tại A (dhnb). 3) Tìm vị trí của điểm E để diện tích tam giác ADF lớn nhất. Xét (O) có AB⊥ CD( gt) AC= AD (t/c) =AC AD(t/c) Mà AC= AF AC = AF ( AFC cân) =AD AF AFD cân tại A (dhnb) Kẻ AJ⊥ FD J là trung điểm của FD . Dễ dàng chứng minh AJFD = AJ =SS AJFD AJ =SS AFD 2 AJD Nhóm Toán THCS:
7. 7/7 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê AJ.JD Xét AJD có: S = AJD 2 Áp dụng BĐT Cô-si cho AJ và JD ta có: AJ2+ JD 2 AD 2 AJ.JD AD2 AJ2+JD 2 2 AJ 2 . JD 2 = 2 AJ . JD AJ.JD = 2224 Dấu “=” xảy ra =AJ JD nên AJD vuông cân suy ra ADJ = 45o hay ADE = 45o . Vậy diện tích tam giác ADF lớn nhất khi điểm E nằm vị trí sao cho ADE = 45o . Câu 5: (0,5 điểm) Giải 5x22+ 4 x − x − 3 x − 18 = 5 x 5xx2 + 4 0 xx(5+ 4) 0 Điều kiện xác định: x2 −3180 x − ( x − 6)( x + 30) x 6(*) x 0 x 0 Khi đó phương trình 5x22 + 4 x = x − 3 x − 18 + 5 x 5x2 + 4 x = x 2 + 22 x − 18 + 10 x( x 2 − 3 x − 18) 5x( x − 6)( x + 3) = 2 x2 − 9 x + 9 5( x22 − 6 x)( x + 3) = 2( x − 6 x) + 3( x + 3) (1) 2 a= x −60 x 22 Đặt .Khi đó (1) trở thành: 2a+ 3 b − 5 ab = 0 bx= +33 ab= (a − b)(2 a − 3 b) = 0 . 23ab= 7+ 61 x = (TM *) 22 2 +) Trường hợp a= b x −6 x = x + 3 x − 7 x − 3 = 0 7− 61 x = (KTM *) 2 x= 9*( TM ) 22 +) Trường hợp 23a= b 4( x − 6 x) = 9( x + 3) 4 x − 33270 x − = −3 x= ( KTM *) 4 7+ 61 Vậy nghiệm của phương trình là x = hoặc x = 9 . 2 Nhóm Toán THCS: