Đề kiểm tra học kỳ II - Môn thi: Toán học, lớp 9

Nội dung text: Đề kiểm tra học kỳ II - Môn thi: Toán học, lớp 9

1. UBND QUẬN HOÀN KIẾM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2014- 2015 Môn: Toán học, Lớp: 9 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I. (2,5 điểm) 1) Cho phương trình: x2 2(m 1)x 4m 0 (1) với x là ẩn số, m là tham số. a) Với m 3, hãy giải phương trình đã cho. b) Chứng minh: với mọi giá trị của m, phương trình đã cho luôn có nghiệm. 2 3 17 x 1 y 1 2) Giải hệ phương trình: . 5 6 2 x 1 y 1 Câu II. (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Phát huy truyền thống tôn sư trọng đạo, tôn vinh đạo làm thầy, đoàn đại biểu gồm cán bộ, giáo viên và học sinh quận Hoàn Kiếm tổ chức chuyến đi thăm Đền thờ Nhà giáo Chu Văn An tại Chí Linh, Hải Dương từ Hà Nội bằng ôtô. Khi đến nơi, đoàn dành 2 giờ thăm viếng và nghỉ ngơi rồi quay về Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 12km/giờ. Thời gian từ lúc bắt đầu đi từ Hà Nội đến lúc trở về đến Hà Nội là 5 giờ. Hãy tính vận tốc lúc đi và về, biết quãng đường từ Hà Nội đến Đền thờ Nhà giáo dài 80km. Câu III. (1,5 điểm) Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng d : y mx m 1. 1) Tìm m để d tiếp xúc với (P). Khi đó tìm tọa độ tiếp điểm. 2) Tìm các giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn điều kiện: 2x1 3x2 5. Câu IV. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) và dây cung BC cố định khác đường kính. Gọi A là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (A không trùng với các điểm B, C và AB AC). Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC; E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B, C đến AK. Chứng minh: 1) Tứ giác ABDE nội tiếp. 2) BD.AC AD.KC. 3) DE vuông góc với AC. 4) Khi A di động trên cung nhỏ BC, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF luôn là một điểm cố định. Câu IV. (0.5 điểm) Cho các số thực x, y không âm và thỏa mãn điều kiện: x2 y2 2 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P x(23x 4y) y(23y 4x). HẾT Ghi chú: - Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm. - Học sinh không được sử dụng tài liệu, không được trao đổi khi làm bài. Chúc các em học sinh làm bài đạt kết quả tốt!
2. ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Ý Đáp án Biểu điểm Câu I 1) a) Với m 3 phương trình (1) trở thành: x2 4x 12 0. 0,25 2,5 điểm 0,75 Giải phương trình được hai nghiệm x1 2; x2 6. b) Cách 1: phương trình (1) luôn có một nghiệm x 2. 0,75 ' 2 Cách 2: Xét (1) m 1 0 m suy ra (1) luôn có nghiệm. 2) ĐKXĐ: x 1; y 1. 0,25 1 4 x 1 Giải hệ phương trình đã cho được 0,25 1 3 y 1 5 4 Kết hợp với ĐKXĐ được nghiệm duy nhất ; 0,25 4 3 Câu II Gọi vận tốc lúc đi là x (km/giờ) (x 0) 0,25 2,0 điểm 80 Thời gian đi là (giờ) x 0,25 Vận tốc lúc về là: x 12 (km/giờ) 0,25 80 Thời gian lúc về là: (giờ) 0,25 x 12 80 80 Lập luận ra PT: 2 5 0,25 x x 12 Biến đổi về phương trình 3x2 124x 960 0 0,25 20 Giải phương trình: x 48 (TM) ; x (loại) 0,25 1 2 3 Kết luận: Vận tốc của ô tô lúc đi là 48 km/giờ, lúc về là 60 km/giờ. 0,25 Câu III 1) Phương trình hoành độ giao điểm đưa về: x2 mx m 1 0. (1) 0,25 1,5 điểm 2 d tiếp xúc P (1) 0 m 4m 4 0 m 2. 0,25 Khi m 2, (1) có nghiệm kép x 1. 0,25 Tọa độ tiếp điểm: 1;1 . 0,25 2) Nhận xét: (1) luôn có một nghiệm x 1 , một nghiệm x m 1. 10 0,25 TH1: x 1, x m 1 . Từ 2x 3x 5 ta được m . 1 2 1 2 3 TH2: x m 1, x 1 . Từ 2x 3x 5 ta được m 0. 1 2 1 2 0,25 Kết luận. Câu IV 1) Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp (1,0 điểm) 3,5 điểm
3. K Vẽ hình đúng câu a) 0,25 Vì AD  BC ·ADB 90 . 0,5 Vì BE  AA' ·AEB 90 . Xét tứ giác ABDE có hai đỉnh O kề nhau D và E cùng nhìn đoạn AB dưới một 90 0 nên ta có điều phải chứng minh. F 0,25 D B I C E A 2) Chứng minh: BD.AC AD.KC (1,0 điểm) Xét hai tam giác ABD và AA'C ta có: 0,25 · · ADB ACA' (= 90 ) (1) Mặt khác ·ABC ·AA'C (cùng chắn cung AC) (2) 0,25 BD AD Từ (1) và (2) suy ra: ABD : AA'C 0,25 A'C AC Từ đó ta có điều phải chứng minh. 0,25 3) Chứng minh: DE  AC (1,0 điểm) Tứ giác ABDE nội tiếp suy ra E· DC B· AK. 0,25 Mặt khác B· CK B· AK (cùng chắn cung BK ) 0,25 Suy ra E· DC B· CK dẫn đến DE // CK. (3) 0,25 Lại vì CK  AC (4) nên từ (3) và (4) suy ra DE  AC. 0,25 4) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF cố định. Gọi I là trung điểm của BC, suy ra I cố định. Tứ giác IFOC nội tiếp, tứ giác ADFC nội tiếp 0,25 IDF : OAC g.g ID IF. Tứ giác OIEB nội tiếp IEF : OBC IE IF. 0,25 Vây ID IE IF dẫn đến đpcm. Câu V Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số không âm ta có: 1 1 27x (23x 4y) 25x 2y 0,5 điểm x(23x 4y) 27x(23x 4y) . (1) 3 3 3 3 2 3 3 25y 2x 0,25 Tương tự, y(23y 4x) (2) 3 3 25x 2y 25y 2x Từ (1) và (2) ta có: P 3 3(x y) 3 3 3 3 Mặt khác, (x y)2 2(x2 y2 ) 4 x y 2. Từ đó P 6 3. 0,25 Vậy maxP 6 3 khi và chỉ khi x y 1. Lưu ý: - Điểm toàn bài để lẻ đến 0,25. - Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. - Câu IV: Nếu thí sinh vẽ hình khác với hình trong đáp án nhưng vẫn đúng thì chấm lời giải theo hình vẽ của thí sinh.