Đề khảo sát chất lượng môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chất lượng môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam (Có đáp án)

1. Tailieutructuyen.vn HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN 9 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI AMSTERDAM NĂM 2017 7x 2 x 3 x 3 36 Câu 1) Cho 2 biểu thức AB , với x 0, x 9 . 2x 1 x 3 x 3 x 9 a) Rút gọn B , tìm x để AB . b) Tìm tất cả các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên dương. Câu 2) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài đường chéo là 13 m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó. Câu 3) Trên hệ trục tọa độ Oxy cho Parabol P : y x2 và đường thẳng d : y 2 x m2 1 a) Khi m 3 , chứng tỏ rằng d luôn cắt P tại 2 điểm phân biệt AB, . Từ đó tính diện tích tam giác OAB . b) Với giá trị nào của m thì d cắt P tại 2 điểm phân biệt DE, sao cho khoảng cách từ D đến trục Oy bằng khoảng cách từ E đến trục Oy . Câu 4) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp OR; đường cao AD, BE cắt nhau tại H , BE kéo dài cắt O tại F . a) Chứng minh: Tứ giác CDHE nội tiếp. b) Chứng minh: Tam giác AHF cân. c) Gọi M là trung điểm của AB . Chứng minh: ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE . d) Giả sử BC cố định và BC R 3 , xác định vị trí A trên đường tròn để DH. DA lớn nhất. 1 1 Câu 5) Cho 2 số thực dương x, y sao cho 2xy 4 x y . Tìm GTNN của P xy . x2 y 2
2. Tailieutructuyen.vn HƯỚNG DẪN GIẢI 7x 2 x 3 x 3 36 Câu 1) Cho 2 biểu thức AB , với x 0, x 9 . 2x 1 x 3 x 3 x 9 c) Rút gọn B , tìm x để AB . d) Tìm tất cả các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên dương. Giải: a) Ta có: x 3 x 3 36 x 3 x 3 x 3 x 3 36 12 x 36 12 B x 3 x 3x 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 12 7x 2 AB 12 2x 1 x 3 7 x 2 7 x 5 x 18 0 x 3 2 x 1 x 2 x 2 7 x 9 0 9 x 2 x 4 (TMĐK). x 7 7 11 7 2x 1 2 x 1 7 b) Ta có : 2 2 2 . Vì A là số nguyên dương nên ta có: 2x 1 2 x 1 2 7 A 1 0 A . 2 A 2 7x 2 9 TH 1: A 1 1 5 x 3 x thỏa mãn điều kiện. 2x 1 25 7x 2 16 TH 2: A 2 2 3x 4 x thỏa mãn điều kiện. 2x 1 9 Câu 2) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài đường chéo là 13 m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó. Giải: Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (m) , điều kiện x 7 .
3. Tailieutructuyen.vn Chiều rộng hình chữ nhật là: x 7 (m). Vì độ dài đường chéo là 13 m nên theo định lý Pitago ta 2 có: x2 x7 13 2 2 x 2 14 x 120 0 x 12 x 5 0 x 12 ( do x 7 ). Đối chiếu với điều kiện ta thấy x 12 thỏa mãn điều kiện. Vậy chiều dài hình chữ nhật là 12m, chiều rộng hình chữ nhật là 5 m. Câu 3) Trên hệ trục tọa độ Oxy cho Parabol P : y x2 và đường thẳng d : y 2 x m2 1 c) Khi m 3 , chứng tỏ rằng d luôn cắt P tại 2 điểm phân biệt AB, . Từ đó tính diện tích tam giác OAB . d) Với giá trị nào của m thì d cắt P tại 2 điểm phân biệt DE, sao cho khoảng cách từ D đến trục Oy bằng khoảng cách từ E đến trục Oy . Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của d và P là: x2 2 x m 2 1 x 2 2 x 1 m 2 0. a) Khi m 3 thì x2 2 x 2 0, ta có ' 1 2 3 0 và nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x 2 . Hay d luôn cắt P tại 2 điểm phân biệt AB, . Theo hệ thức Viet ta có: x1. x 2 2 0 nên hai giao điểm AB, nằm về 2 phía trục Oy , giả sử A x1;,; y 1 B x 2 y 2 với x1 0 x 2 ta có hình vẽ: Gọi HK, lần lượt là hình chiếu vuông góc của AB, lên trục Oy thì AH x1 x 1 , BK x2 x 2 , đường thẳng d cắt trục Oy tại I 0; 2 OI 2. 1 1 Ta có S S S AH OI BK OI OAB AOI BOI 2 2 1 .2 x x x x . Suy ra 2 2 1 2 1 2 2 2 SOAB x2 x 1 x 1 x 2 4 x 1 x 2 . Theo hệ thức Viet ta có: x x 2, x x 2 suy ra SS2 12 2 3 . 1 2 1 2 OAB OAB
4. Tailieutructuyen.vn b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và P là: x2 2 x m 2 1 x2 2 x 1 m 2 0 . Ta có ' m2 , để d cắt P tại 2 điểm phân biệt thì ' 0 m2 0 m 0 . Khi đó 2 giao điểm D x1;,; y 1 E x 2 y 2 , gọi MN, lần lượt là hình chiếu vuông góc của DE, lên trục Oy thì khoảng cách từ DE, đến trục Oy tương ứng là độ dài của đoạn thẳng DM, EN . Ta có: DM x1 , EN x2 , yêu cầu bài toán tương đương với x1 2 x 2 x 1 2 x 2 0 (*), do vai trò DE, như nhau nên điều kiện (*) có thể viết lại 2 2 2 thành: xxxx1221 2 2022502 xxxx 1212 xx 12 450 xxxx 1212 x x 2 Theo hệ thức Viet ta có: 1 2 suy ra 2 2 2 x1 x 2 4 x 1 x 2 5 x 1 x 2 0 x1 x 2 1 m 8 4 1 m2 5 1 m 2 0 (1) . Trường hợp 1: 1 m2 0 m 1 hoặc m 1 đẳng thức (1) trở thành: 4 m2 1 4 m 2 4 0 m 2 loại. 3 Trường hợp 2: 1 m2 0 1 m 1 đẳng thức (1) trở thành: 1 1 5 1 m2 4 1 m 2 8 0 m 2 m thỏa mãn điều kiện. 9 3 1 Tóm lại m là các giá trị cần tìm. 3 Câu 4) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp OR; đường cao AD, BE cắt nhau tại H , BE kéo dài cắt O tại F . e) Chứng minh: Tứ giác CDHE nội tiếp. f) Chứng minh: Tam giác AHF cân.
5. Tailieutructuyen.vn g) Gọi M là trung điểm của AB . Chứng minh: ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE . h) Giả sử BC cố định và BC R 3 , xác định vị trí A trên đường tròn để DH. DA lớn nhất. Giải: a) Do HDC HEC 900 nên 4 điểm CDHE,,, cùng nằm trên 1 đường tròn đường kính HC hay tứ giác CDHE nội tiếp. gọi I là trung điểm của HC thì CDHE nội tiếp. HC đường tròn I; . 2 b) Ta có F AC FBC (cùng chắn cung FC ). Lại có EBC DAC (cùng phụ với ACB ) suy ra F AC DAC , tam giác AHF có AE là đường cao đồng thời cũng là trung tuyến nên AHF là tam giác cân. c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE cũng là đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE . Tam giác AEB vuông tại E , M là trung điểm cạnh huyền AB nên MA ME M EA M AE (2), tam giác HEC vuông tại C có I là trung điểm cạnh huyền HC nên IE IC suy ra IEC ICE (2). Từ (2),(3) ta có: MEA IEC MAE ICE 900 suy ra ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE . d) Xét tam giác vuông BDH và tam giác vuông ACD ta có: HBD DAC (cùng phụ BD AD ACB ) suy ra BHD ACD (g.g) DH DA BDCD . HD CD 2 BD CD BC23 R 2 3R2 Ta có BDCD. suy ra DH. DA , dấu đẳng thức xảy ra khi và 4 4 4 4 chỉ khi BD CD ABC cân tại A , hay A là điểm chính giữa cung lớn BC . 1 1 Câu 5) Cho 2 số thực dương x, y sao cho 2xy 4 x y . Tìm GTNN của P xy . x2 y 2
6. Tailieutructuyen.vn Giải: 2 2 1 1 x y 2 xy 2 xy 4 2 xy x3 y 3 4 x 2 y 2 18 xy 16 Ta có P xy xy xy . x2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 Từ giả thiết ta có: 2xy 4 x y 0 xy 2 . Ta cũng có: 2xy 4 2 x y 2 4 xy x2 y 2 5 xy 4 0 xy 1 xy 4 0 do xy 2 suy ra xy 4 . x3 y 3 4 x 2 y 2 18 xy 16 9 Ta chứng minh: 2x3 y 3 5 x 2 y 2 18 xy 16 0 x2 y 2 2 xy 4 2 x2 y 2 3 xy 4 0 . Do xy 4 nên bất đẳng thức luôn đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi xy 4 9 và chỉ khi x y 2 . Vậy GTNN của P là . x y 2