Đề khảo sát chất lượng HSG lần 2 - Môn: Toán 9

Nội dung text: Đề khảo sát chất lượng HSG lần 2 - Môn: Toán 9

1. PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG_LẦN 2 TRƯỜNG THCS THANH LÃNG NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1 (2,0 điểm) 2 x 1 x 1 1 x Cho biểu thức A . (x 0; x 1). x 1 x 1 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức A. A b) Tìm tất cả các giá trị của x để 3. x Câu 2 (3,0 điểm) mx 2y 2 a) Cho hệ phương trình: (với m là tham số). 2x my 5 Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y thỏa mãn hệ thức: 2015m2 14m 8056 x y 2014 m2 4 b) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 2. Tìm n để A n4 5n2 6n 5 có giá trị là một số nguyên tố. Câu 3 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) và hai đường kính bất kì AH, DE. Qua H kẻ tiếp tuyến với (O) cắt các đường thẳng AD, AE lần lượt tại B, C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH, HC. a) Chứng minh rằng DM, EN là các tiếp tyến của (O;R); b) Chứng minh rằng trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH; c) Tìm điều kiện của hai đường kính AH, DE để diện tích tam giác AMN nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Câu 4 (1,0 điểm) Cho a,b,c là những số dương thỏa mãn: ab bc ca 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 b2 c2 S b2 15bc c2 15ca a2 15ab Câu 5 (1,0 điểm) Xét 100 số nguyên dương không vượt quá 100 sao cho tổng của chúng bằng 200. Chứng minh rằng trong 100 số đó luôn tồn tại một vài số có tổng bằng 100. Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay khi làm bài. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! 1
2. PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN HDC KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG_LẦN 2 TRƯỜNG THCS THANH LÃNG NĂM HỌC 2017-2018 MÔN: TOÁN 9 (Hướng dẫn này gồm 04 trang) Lưu ý chung: - Hướng dẫn chấm dưới đây chỉ trình bày vắn tắt một cách giải, các cách giải khác của HS nếu đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm theo thang điểm tương ứng. - Với câu 3, nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai ý nào thì không chấm điểm ý đó. - Tổ chấm có thể chia nhỏ thang điểm hơn so với đáp án, điểm toàn bài là tổng số điểm của các câu thành phần. Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 2,0 2 2 x 1 x 1 2 1 x 0,5 Với x 0; x 1 ta có A . x 1 2 x a 4 x (1 x)2 A . 0,25 x 1 4x 1 x 1 x A . Vậy A . 0,25 x x A 1 x Ta có 3 3 0,25 x x 1 x 1 4x 3 0 0 0,25 x x b 1 1 4x 0 x . 0,25 4 1 Vậy giá trị cần tìm của x là 0 x . 0,25 4 2 3,0 mx 2 mx 2 y mx 2y 2 y 2 a 2 0,75 2x my 5 mx 2 2x my 5 2x m 5 2 2
3. 2m 10 mx 2 x y m2 4 2 ,m R 5m 4 m2 4 x=2m+10 y m2 4 2015m2 14m 8056 Khi đó, x y 2014 trở thành m2 4 2014m2 7m 8050 2015m2 14m 8056 m2 4 m2 4 2014m2 7m 8050 2015m2 14m 8056 0,75 2 m 1 m 7m 6 0 m 1 m 6 0 m 6 Vậy với m = 1 hoặc m = 6 thỏa mãn yêu cầu đề bài A n4 5n2 6n 5 n2 n2 n 1 6 n2 n 1 n3 1 0,75 n2 n 1 n2 n 5 b Vì n là STN lớn hơn 2 nên n2 n 1 n2 n 5 2 . Do đó, để A là số 0,5 nguyên tố thì n2 n 5 1 , suy ra n = 3 Với n = 3 thì A= 13 là số nguyên tố, thỏa mãn. Vậy n = 3. 0,25 3 3,0 Từ gt suy ra các tam giác ODH và MDH cân tại O, M tương ứng ¶ ¶ ¶ ¶ D1 H1; D2 H2 a ¶ ¶ 0 ¶ ¶ 0 Mà H1 H2 90 D1 D2 90 , hay MDDO, tức là MD là tiếp tuyến của (O;R) Chứng minh tương tự, NE là tiếp tuyến của (O;R) 3
4. C DE là đường kính của đường tròn (ADE) nên tam giác ADE vuông ở A. E N Vì thế AH CH OH NH O I 2 A H AH BH.CH 1 BH AH BH AH 2 b AHN : BHO 1,0 1 · · · · · · 2 OBH NAH; NAH IMH OBH IMH D M OB / /MI Mà MB=MH do đó IO=IH (đpcm) B R R Dễ thấy S R.MN BH HC .2 BH.HC R. AH 2 2R2 AMN 2 2 c 1,0 Dấu bằng xảy ra khi BH=HC, hay tam giác ABC vuông cân tại A, tức là AHDE 2 Vậy minSAMN = 2R khi và chỉ khi AHDE. 4 1,0 Theo AM-GM ta có a2 8a2 8a2 0,25 , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi b = c b2 15bc 2 16b b 15c 17b 15c b2 8b2 c2 8c2 Chứng minh tương tự, ta được , 0,25 c2 15ca 17c 15a a2 15ab 17a 15b 2 8a2 8b2 8c2 a b c a b c Suy ra S 8. 0,25 17b 15c 17c 15a 17a 15b 32 a b c 4 2 3 Lại có a b c 3 ab bc ca 3 a b c 3 P 4 0,25 3 Dấu “=” xảy ra a b c 3 3 3 Vậy minS a b c 4 3 5 1,0 4
5. Nếu ai = aj với mọi i j thì hiển nhiên bài toán được giải quyết. 0,25 Nếu tồn tại 2 số khác nhau, giả sử a1 ≠ a2 thì ta lập dãy sau: 0,25 a1,a2 ,a1 a2 ,a1 a2 a3, ,a1 a2 a99 + Nếu tồn tại một số hạng nào trong dãy trên chia hết cho 100 thì số hạng đó 0,25 bằng 100, suy ra đpcm. Nếu không có số hạng nào chia hết cho 100 thì đem 100 số này chia cho 0,25 100 sẽ tồn tại 2 số hạng có cùng số dư. Hiệu của chúng cho ta điều cần chứng 0,25 minh. Hết BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MÔN TOÁN CẤP HUYỆN, TỈNH FILE WORD Zalo 0946095198 160 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6=110k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 6 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 250 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7=180k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 7 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 210 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8=150k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 8 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 30 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8 HÀ NỘI=50k 265 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 HUYỆN=200k; 230 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 CẤP TỈNH=180k 50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 HÀ NỘI=80k; 55 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 (2020-2021)=80k; 90 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 CÁC HUYỆN CỦA TỈNH VĨNH PHÚC=100k 5